SOLO分类理论指导下的高中数学深度学习的实践

[摘 要] SOLO分类理论指导下的深度学习是一种聚焦于学习主体思维的批判性，强调学生认知的主动性，基于高阶思维参与深加工教学内容，抽象出相应的数学模型的教学模式.文章以“SOLO分类理论、深度学习以及深度学习与SOLO分类理论的关系”为起点，通过“指数函数的性质”这一教学案例，从基础训练、变式训练与例题应用三个层面由浅入深地设计问题，旨在引导学生在SOLO分类理论的指导下，实现深度学习的提升.

[关键词] SOLO分类理论;深度学习;指数函数

作者简介：陈慧玲（1982—），本科学历，一级教师，从事高中数学教学工作.

传统的数学教学存在“全活动”与“满堂问”的现象，这种教学模式的单一性无法满足学生日益增长的思维发展需求，导致学生的表达能力和思维深度显得过于单薄. SOLO分类理论指导下的深度学习可让学生在丰富的教学活动中主动参与并体验教学活动，积累学习经验，锤炼数学思维，促进核心素养的形成与发展.

核心概念概述

1. SOLO分类理论

瑞士著名儿童心理学家皮亚杰按照学生的年龄段提出认知发展学说，澳大利亚著名教育心理学家比格斯（Biggs）和卡利斯（Collis）在此基础上按照学生学习的结果创设了SOLO分类理论[1]. 此为一种描述等级与性质的学业评价方式. 该理论主要以皮亚杰的认知发展理论为基础，认为各个年龄阶段学生的认知发展水平有着各自的特点. SOLO分类理论主要从思维方式与反应水平两个方面对评价方式进行划分. 其中，思维方式由出生后的感觉运动方式→2岁后的形象方式→6，7岁后的具体符号方式→15，16岁后的形式方式→22岁左右的后形式方式. 而按照反应水平分类，则为：无学习→低层次的浅层学习→高层次的浅层学习→深度学习.

2. 深度学习

深度学习主要关注学生在知识体系、数学语言、符号抽象以及思想方法等方面的掌握情况. 即引导学生积极主动地参与知识的形成与发展过程，让学生切身体会活动内涵，感悟数学本质，从真正意义上实现对知识、技能、思想方法、能力素养的提升，从源头上杜绝“题海战术”带来的负面影响，达到“减负增效”“融会贯通”“立德树人”的目的. 从本质上而言，深度学习是知识结构的完善，是思维的提升，亦是解决问题与创新意识发展的基础.

3. 深度学习与SOLO分类理论的关系

从学生思维发展的角度来看，主要经历五种SOLO结构水平变化过程. 在这些过程中，学生的思维结构从简单思维逐渐发展到复杂思维，再从具体思维逐步演变为抽象思维，同时SOLO结构水平也随着思维的发展而提升. 如图1，当学生的SOLO结构水平处于关联与抽象拓展这两个层次时，学生进入深度学习状态[2].

教学分析

本节课旨在为高三学生提供复习指导，考虑到学生已经积累了一定的知识和经验，教学目标是深化他们对基础知识点和方法的理解，完善他们的认知结构，并提升他们的思维层次，培养他们能够触类旁通的解题技巧. 为了实现这些目标，可从以下几个方面来设计教学策略：①通过构建基于整体视角的问题链，激发学生对指数函数特性的认识，并借助数形结合思想，促进深入学习;②增加学生在课堂上的参与机会，确保深度学习的实现;③依据SOLO分类理论，逐步推进教学过程，让学生在对比和归纳中提升思维能力，提炼出思想方法，并发展核心素养.

教学简录

1. 基础训练

问题1 函数y=ax-3+1（a>0，a≠1）必过哪个点？

设计意图 关于函数性质的探索，就是对函数的“变”与“不变”的分析. 从指数函数的性质来看，其值域、定义域与定点均具有“不变”的特点.

问题2 已知指数函数f（x）=（m2-1）x是R内的减函数，那么该函数中的实数m的取值范围是什么？

设计意图 指数函数底数的取值范围决定着它的图象与单调性，反之，根据指数函数的单调性可获得指数函数底数的取值范围，此为探索指数函数的“变”的关键路径.

问题3 分析函数y=的定义域.

设计意图 先将“8-4x”视为一个整体，获得“4x≤8”这个不等式，再结合函数的图象与单调性，确定x的取值范围. 本题旨在深入贯彻数形结合思想方法，进一步巩固学生的认知基础.

问题4 若函数y=mx（m>0，m≠1）在区间[-1，1]上的最大值与最小值之间的差为，则实数m的值是什么？

设计意图 求函数的值域与最值是不少学生的易错点. 设计本问题，一方面强化学生对函数基础知识及其常见题型的认识，另一方面提升学生的实际应用能力. 该问题要求学生运用分类讨论的方法，结合图象应用综合分析技巧，以促进知识基础与思维方法的融合，为提升思维层次和深化学习奠定基础.

2. 变式训练

变式题1 已知函数y=m2x+2mx-1（m>0，m≠1）在区间[-1，1]上的最大值为14，则实数m的值是什么？

解析 令mx=t，则y=m2x+2mx-1=t2+2t-1=（t+1）2-2. 在m>1的情况下，x∈[-1，1]，t∈

，m

，y=（t+1）2-2在区间

，m

上单调递增，因此y=（m+1）2-2=14，解得m=3（舍掉负值）;在0<m<1的情况下，因为x∈[-1，1]，所以t∈

m，

，y=（t+1）2-2在区间

m，

上单调递增，y=

+1

-2=14，解得m=（舍掉负值）.

综上分析，m=或3.

设计意图 整体换元法将陌生的函数转化成学生熟悉的二次函数，再根据二次函数的图象以及指数函数的性质获得答案. 该变式题能够进一步巩固学生的数形结合思想，为培养学生的数学逻辑推理能力和数学转化思维打下基础.

变式题2 已知函数y=2x的图象与过原点O的直线分别于点A，B处相交，过点B作纵轴的垂线与函数y=4x相交于点C，如果AC与纵轴为平行的关系，那么点A的坐标是什么？

解析 假设点C（m，4m），则点A（m，2m），B（2m，4m）. 又点A，B，O处于同一条直线上，所以=，即4m=2×2m，即2m=2或2m=0（舍去），解得m=1. 所以，点A的坐标为（1，2）.

设计意图 本题设计主要考虑了两个方面：首先，通过结合图形的特征，从多个维度分析其中的关系，并利用这些特征来构建方程;其次，对函数y=2x与y=4x的图象进行分辨时，需要从底数入手. 这透露出了一个重要的信息，即数形结合是“数”与“形”的双向互动，既可以是“以形助数”，也可以是“以数定形”.

变式题3 已知关于x的方程

mx-1

=2m（m>0，m≠1）有两个不相等的实根，则m的取值范围是什么？

解法1 将关于x的方程mx-1=2m的两个实根转化成函数y=2m与y=mx-1的两个交点的横坐标. ①如图2所示，在0<m<1的情况下，0<2m<1，也就是0<m<;②如图3所示，在m>1的情况下，y=2m>1，与题设要求不相符，舍去. 所以，m的取值范围为

解法2 根据mx-1=2m，易得mx=1±2m. 又mx=1±2m存在两个不相等的实根，根据y=mx的图象，易得0<1-2m. 因此，m的取值范围为

解法3 根据mx-1=2m，易得mx=1±2m，在两边取对数，可得x=log（1+2m），x=log（1-2m）. 根据对数函数的性质，易得2m+1>0，1-2m>0. 因此，m的取值范围为

设计意图 由动到静、化繁为简的过程可有效提升学生的识图与用图能力. 本题融入了转化与化归、数形结合等思想，促进了学生的认知逐步深化，突显了应用SOLO理论的关键性，引领学生的思维进入深度学习的境界.

3. 例题应用

分析函数f（x）=的单调性、奇偶性以及值域.

解析 因为R为函数f（x）的定义域，同时f（-x）==-f（x），所以f（x）为奇函数. 因为f′（x）=≥0，所以函数f（x）在R上为增函数. 因为f（x）==1-，令t=ex，则y=1-（t>0），所以y∈（-1，1）.

设计意图 本题意在引导学生自主回顾分析函数奇偶性与单调性的一般方法. 当学生分析出该函数的单调性与值域后，教师鼓励学生将函数f（x）=的大致图象作出来，再次强化“以数定形”的重要性，为后续灵活应用做铺垫.

4. 课堂小练

已知函数f（x）=kmx-m-x（m>0，m≠1）为一个奇函数，定义域为R，且f（1）=.

（1）不等式f（x2+2x）+f（x-4）>0的解集是什么？

（2）如果g（x）=m2x+m-2x-4f（x），那么g（x）在区间[1，+∞）上的最小值是什么？

解析 因为R为f（x）的定义域，且该函数为奇函数，所以f（0）=0，k-1=0，即k=1. 所以，f（x）=mx-m-x. 因为f（1）=，所以m-=，即2m2-3m-2=0，解得m=2或m=-（舍去）. 所以，f（x）=2x-2-x.

（1）因为f（x）在R上为奇函数，所以可将f（x2+2x）+f（x-4）>0转化成f（x2+2x）>f（4-x）. 又f（x）在R上为增函数，所以x2+2x>4-x，即x2+3x-4>0，解得x>1或x<-4. 所以，所求的解集为{xx<-4或x>1}.

（2）g（x）=22x-4（2x-2-x）+2-2x=（2x-2-x）2-4（2x-2-x）+2. 令t（x）=2x-2-x（x≥1），则t（x）在区间（1，+∞）上是增函数，即t（x）≥t（1）=. 由此可确定函数ω（t）=t2+2-4t=（t-2）2-2在t=2时取得最小值-2（此时x=log（+1））. 也就是说，g（x）在x=log（+1）时取得最小值-2.

设计意图 引导学生从解不等式、求最值、恒成立等维度思考问题，不仅能够巩固他们的基础知识，还能进一步加强他们的转化与化归思想.

教学反思

1. 反思教学内容

指数函数在数学学习中具有承前启后的关键作用，它是高中生学完函数的概念和性质后首次接触的函数模型. 因此，对指数函数的掌握程度将直接影响学生对后续其他函数的研究. 本节课采用SOLO分类理论，依据学生的认知发展规律设计问题链，旨在帮助学生巩固研究函数的一般方法，并亲身体验数学深度学习的过程. 从教学内容的角度来看，本节课的复习不仅具有基础性，而且起到了提纲挈领的作用.

2. 反思教学过程

指向深度学习的课堂，不仅要夯实学生的知识基础，还要发展学生的创新意识. 这就要求教师深刻理解传统教学模式的局限性，并基于SOLO分类理论构建创新的教学策略. 在本节课中，教师基于学情与教情，以问题为导向，通过经典问题的应用，激发学生的思维潜能，促使学生自主领略解题思想方法，感知指数函数性质的实际应用，让学生在自主探究中形成了良好的解题能力.

3. 反思思想方法

数形结合思想、分类讨论思想、整体思想和转化思想贯穿了本节课的始终，学生在思考和解决每个问题的过程中，得益于这些思想方法的辅助，效率得到了显著提升. 纵观课堂教学，可以发现各种思想方法的应用并非孤立无援，它们之间存在着紧密的内在联系. 这一点清晰地表明，数学思想方法是推动深度学习的关键路径.

总之，基于SOLO分类理论的深度学习是值得深入研究的话题，这种教学方式具有操作简单、层次清晰等特点，对发展学生的数学学科核心素养具有指导意义.

参考文献：

[1] 周莹，陆宥伊，吴晓红. 基于SOLO分类理论的中考数学试题比较研究：以2017—2019年南宁市中考试卷为例[J]. 数学通报，2020，59（3）：41-46+60.

[2] 龚妍静. 基于SOLO分类理论的初中数学深度学习评价研究[D]. 云南师范大学，2020.