核心素养导向下数学差异化教学的范式研究

[摘 要] 核心素养导向下的高中数学课堂教学，需充分尊重学生个体之间客观存在的差异，并明确实施差异化教学是实现新课标要求的基本方法. 文章以“椭圆定点、定值与范围”的习题教学为例，提出学情调查是差异化教学的基础，优选教学内容是差异化教学的关键，过程评价是差异化教学的核心.

[关键词] 核心素养;差异化;椭圆

基金项目：福建省教育科学“十四五”规划2023年度“协同创新”专项课题“核心素养导向差异数学实践范式研究”（Fjxczx23-006）.

作者简介：蔡明溪（1981—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：数学教育的核心在于促进学生的全面发展，课堂教学应当尊重学生的个性化差异，并通过差异化教学策略来支持每位学生的个性化成长. 实践证明，差异化教学能够有效地将“育人”理念贯彻到每位学生身上. 教师应根据学生的实际情况，创新设计教学活动，根据学生的个体差异实施有针对性的教学，确保每位学生都能在课堂上取得适合自己水平的进步，从而实现数学教学的“立德树人”宗旨，并真正地培养学生数学学科核心素养.

学情调查是差异化教学的基础

差异化教学旨在满足学生个体间客观存在的差异，其实施的前提是深入了解每位学生的实际认知水平. 习题课作为新课程的延伸活动，旨在引导学生运用所掌握的知识和解题策略来解决实际问题，从而加深对知识和技能的理解，提升思维层次，并为培养扎实的数学思维打下坚实基础.

传统意义上的习题教学模式虽然能为师生共同探索解决问题，但学生之间客观存在的差异导致他们在应对各种数学符号系统时，会表现出个体偏好，并展现出不同的能力水平. 为了深入了解学生的实际认知水平，并为设计教学活动提供依据，教师可以在课前通过调查的方式收集并统计学生在各个领域的能力. 习题课的调查通常以问题为“引子”，通过对学生解题思维状况的分析，获得真实的学情. 在本节课开始之前，教师精心设计了三个问题，供学生自主选择并解答.

问题1 如图1所示，已知平面直角坐标系xOy中的点A与点B分别为椭圆+=1的左、右顶点，点M恒保持MB⊥AB，将点A，M连接起来，与椭圆相交于点P，求证：·恒为定值.

问题2 如图2所示，已知平面直角坐标系xOy中的一条直线l与椭圆+=1相交于点A，B，且过该椭圆的右焦点F. 如果直线l与坐标横轴是非重合的关系，那么在坐标横轴上是否存在定点C使得坐标横轴恒平分∠BCA？若存在，写出点C的坐标;若不存在，说明为什么.

问题3 如图3所示，已知平面直角坐标系xOy中存在三个动点A，B，P，这三点均在椭圆E：+=1上运动，且恒满足·=0. 若线段AB上存在一个动点Q，且恒满足·=0，那么

的取值范围是什么？

设计意图 上述三个问题是根据课标要求、教学目标、学生常犯的错误类型以及思维障碍点，按照由浅入深的梯度设计的. 学生在课前根据自己的实际认知水平挑选一道题目进行解答. 课代表将解答问题1、问题2、问题3的学生分别归纳到第1组、第2组、第3组进行统计. 这种安排旨在准确掌握学生的实际认知水平，为课堂教学提供有价值的参考.

优选教学内容是差异化教学的关键

工欲善其事，必先利其器. 让每一名学生都能成为合格的人才，是每一位教育工作者都在不断思考和探索解决的问题[1]. 想要真正提高差异化教学的效益，就要在充分了解学情的基础上优选教学内容，使学生在典型、层次清晰的问题中逐渐拔高思维，发展核心素养. 优选教学内容主要从以下几个方面着手.

1. 逐层递进，铺设台阶

此为针对第1组学生而设定的教学方案，之所以如此计划，是因为选择问题1的学生的基础普遍偏弱，教学重点在于动态处理问题与设立参数上. 问题1明确提出了一条动直线和两个动点的关系，核心目标是解决与这些动点相关的定值问题. 结合学生的实际情况和教学目标，教师可以为这部分学生设计以下例题，为他们的思维发展搭建“脚手架”.

引例1 如图4所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1的左、右顶点分别为点A，B，点P是该椭圆上的一个动点，k，k分别为AP，BP的斜率，求证：k·k恒为定值.

本题难度适中，仅存在一个动点，学生能够轻松发现并运用“设参法（设点P）”来解决问题.

引例2 如图5所示，在平面直角坐标系xOy中存在一个椭圆+=1，点C为该椭圆的上顶点，一条过原点的直线与该椭圆相交于点A，B，明确k，k分别为CA，CB的斜率，那么k·k的值是多少？

本题将引例1内的椭圆的“长轴”转化为“动直线”，对学生的思维能力提出了更高的要求. 本题可应用“k参法”揭露动直线方程，再借助韦达定理获得k·k的值为-.

设计意图 根据第1组学生的认知水平设计上述两道引例，一方面，巩固他们的知识基础;另一方面，激发他们的潜能. 通过解决这两道引例，学生将掌握运用“设参法”解决问题的技巧，这有助于培养他们的数学逻辑思维能力，并为提高核心素养奠定坚实的基础.

2. 先学后教，适当启发

此为针对第2组学生设定的教学方案. 尽管这组学生在认知方面存在一定的不足，但他们已经展现出了良好的思维能力. 只要教师能够提供恰当的启发，就能够引导他们找到解决问题的途径. 实践发现，鼓励学生自主先学，可激发学生的思维，增加点拨的效果. 教师带领学生提炼问题2中的核心信息，要求学生自主描述解决问题的突破口. 在学生自主探究的基础上，教师再给予适当点拨，以逐步提升学生的思维能力.

当学生解答完问题2后，教师应有针对性地提出变式问题，为学生的思维搭建阶梯，使他们能够在现有基础上进一步提升思维能力. 重要的是，教师需要确保学生拥有足够的思考时间和空间，鼓励他们在自我评价和相互评价的过程中积极思考，以此加深对问题的理解，并减少认知上的偏差.

变式题1 如图6所示，在平面直角坐标系xOy中存在一个椭圆+=1，点C为该椭圆的上顶点，一条直线l与该椭圆相交于点A，B，明确k，k分别为BC，AC的斜率，且k·k=-1，求证：直线l恒过一个定点.

设计意图 变式题1以问题2为母题，通过对问题条件与结论的互换，培养学生的灵活思维. 本题的解题思路与原题高度相似，先设直线l的方程为y=kx+m，将所设方程代入椭圆的方程内，再利用韦达定理对等式k·k=-1进行化简，如此获得直线l恒过定点的坐标为

0，-

.

变式题2 如图7所示，在平面直角坐标系xOy中存在一个椭圆+=1，点C，D分别为该椭圆的上、下顶点，点B为该椭圆上与C，D不重合的动点，AC，BD相交于点A. 已知k，k分别是BC，AC的斜率，且k·k= -，求证：点A必定位于一条定直线上.

在教师的点拨下，学生运用“设参法（设点B）”，结合条件k·k=-，通过“交轨法”获得点A恒位于y=3这条直线上，由此避免了复杂的二元二次方程运算过程，简化了运算难度.

设计意图 通过对问题2中直线条件的改变引发学生思考，让学生进一步理解斜率间的等量关系. 此变式题应用三条动直线、两个动点和两个定点，进一步提升了问题的难度，为这一层次的学生带来了新的挑战.

3. 以学定教，全面发展

此为针对第3组学生设定的教学方案. 传统的数学教学以教师的“传授”为主，这种“注入式”的教学模式难以调动学生自主探索的积极性，更难激发学生的创新意识. 在核心素养导向的课堂教学中，强调“学习共同体”的教学理念. 这一理念倡导将具有不同认知水平和专长的师生融合成一个共同体，紧密围绕学习目标进行协作与互动. 在这一过程中，学生主动展示自己的思维过程，并在同伴的启发下相互学习，取长补短. 同时，教师提供必要的指导和支持，以促进教学相长.

第3组学生的认知能力较为突出，思维层次也相对较高. 针对他们，教师可在问题3的基础上，开展互动和交流活动. 在这一过程中，教师应扮演好引导者的角色，努力激发学生的潜能，培养他们的创新思维，并为他们建立扎实的逻辑推理能力打下基础.

问题3的解题方法主要有以下三种，在教师的引导下，学生合作交流、展示与分享.

解法1 设参数k，利用方程思想，借助“交轨法”获得动点Q的轨迹为“以原点为圆心，以为半径的圆”，由题设条件可得

-，2+

为

的取值范围.

解法2 设参数k，利用数形结合思想，根据圆的定义获得点Q的轨迹，最后得到问题的答案[2].

解法3 设点坐标，在消元的基础上，利用转化思想，根据圆的定义获得点Q的轨迹，最后得到问题的答案.

设计意图 问题3的难度较高，尽管一些认知能力较强的学生在课前尝试去解决这道题，但能够灵活运用上述三种方法解题的学生却寥寥无几. 因此，教师在课堂上以团队合作的方式，鼓励学生发挥自己的长处，将自己的所感、所想展示出来，在取长补短的基础上建构学习共同体. 如此设计，为师生的积极互动提供了机会，学生在师生、生生之间的拓展性对话与交流中不断完善认知体系，重塑思维.

过程评价是差异化教学的核心

核心素养导向下的课堂教学需将传统意义上的“终结性评价”模式转化为“过程性评价”模式，此为促进学生长远发展的基础，也是发挥课堂长久教学效应的基本方法. 实践发现，教师结合学生客观存在的差异性，设置差异化的评价机制，可让每个认知层次的学生都能感受到学习带来的成就感，由此产生更强烈的表现欲，为推动学力发展服务.

为了提升学生对过程性评价的认识，教师可激励他们在课后通过小组合作的方式，将学习的全过程、心路历程以及感悟整理成数学小论文，并在班级中进行分享. 这一做法旨在培养学生的创新意识和对数学严谨性的理解.

总之，核心素养导向下的数学差异化教学的研究任重而道远，这是一种关注学生个体长期发展变化的教学模式，对学生的必备品格与关键能力的发展具有重要意义. 在这样的课堂氛围中，学生能够体验到尊重、理解和促进，这正是新课程改革的核心方向之一，也是促进学生数学学科核心素养发展的重要策略.

参考文献：

[1] 谢志琴. 因材施教，实施差异化教学[J]. 学周刊，2019（9）：27.

[2] 陈玉娟，季建生. 基于数学理解性学习的习题课教学：从学习者差异原则谈起[J]. 数学通报，2019，58（7）：50-53.