“三新”背景下的高中数学解题教学实践与建议

[摘 要] 解题教学是高中数学教学中常见的一种课型，“三新”（新课标、新教材、新高考）悄悄到来之际该如何实施解题教学？文章通过具体的教学案例，阐释在当前解题教学中，如何贯彻立德树人根本任务、发挥学科独特育人功能、深入研读课程标准以及领悟教育改革方向等四项重要的教学建议.

[关键词] 解题教学;立德树人;核心素养;策略意识

作者简介：陈应全（1979—），本科学历，中学高级教师，现任广东省高州市教师发展中心高中数学教研员，曾获茂名市首届青年名师培养对象与茂名市教育系统名教师等称号.

问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》自发布以来，由此编写的新教材陆续投入使用. 目前，全国多个省份正逐步实施新高考制度. 广东省自2021年起开始实行新高考，而2021年和2022年的高考沿用了旧教材，因此被称为“过渡期”高考. 到2023年，广东省迎来了首次采用新教材的新高考. “三新”（新课标、新教材、新高考）的悄然降临为高中数学教学带来了前所未有的挑战与机遇.

解题教学构成了高中数学课堂的常规教学方式，它在巩固基础知识、渗透数学思想方法以及发展学生的核心素养方面发挥着至关重要的作用. 然而，目前仍有不少教师坚持传统的教学理念，过分重视解题模式的识别，而忽视了学生的主体性，这与当前课程改革的目标并不一致. 那么，在解题教学中，究竟该如何落实立德树人根本任务，如何发挥学科独特育人功能呢？

试题选取

近三年来，全国卷高考试题的编制严格遵循《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》以及《中国高考评价体系》等权威文件的指导，同时参照了“一核”“四层”“四翼”的目标框架，致力于贯彻“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的命题原则. 教育部教育考试院在2023年精心设计了六套数学试卷，全面覆盖了数学核心素养的各个方面，并突出了“四翼”考查要求，以助力选拔具有创新精神的人才. 这六套试卷中包含许多优秀题目，例如新课标Ⅱ卷第21题，它是一道极具教学价值的题目，能够有效促进学生核心素养的发展. 该题不仅有助于拓展和引申知识，而且便于实现深度学习，培养学生规范思考问题的能力. 因此，笔者选择2023年新课标Ⅱ卷第21题（2）作为例题，尝试解决问题的教学策略，旨在抛砖引玉.

试题 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2，0），离心率为.

（1）求C的方程;（答案：-=1）

（2）记C的左、右顶点分别为A，A，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA与NA交于点P. 证明：点P在定直线上.

探究过程

1. 强化策略意识，树立大局观念

解题策略体现了数学素养，是解题者根据经验和知识选择与搭配解题方法的过程. 这些策略不缺乏数学逻辑推理，更不是通过多次的错误尝试而获取的，而是在总纲领下的具体操作的思想[1]. 它们是学生解决难题的有力工具，同时也是衡量学生知识掌握程度、思维能力强度以及核心素养水平的重要指标. 新高考命题聚焦于核心内容，并构建了真实的问题情境. 通过引入创新的题型，对学生运用基础知识解决实际问题的能力进行了深入的评估. 这种评估方式往往使得解题方法事先不为人知，因此要求学生不仅要掌握常规的解题方法，还要具备高度的核心素养，以便能够自信地应对各种挑战. 在解题教学过程中，教师应当加强策略意识的培养，激励学生深入理解解题策略的精髓，并逐步培养出全面的解题观念.

教学片段1 （解题策略指引）

师：证明点P在定直线上，这条直线有怎样的特点？

生（众）：特点不明显！

师：我们可以通过什么解题策略获取该直线的特点呢？

生1：可以借助对称性（直线MN与M′N′关于x轴对称），分别作出P，P′，直观发现PP′⊥x轴，猜想点P所在的定直线垂直于x轴.

师：如果点P所在的定直线垂直于x轴，那么如何转化待证明的结论呢？

生2：可以将其转化为求点P的横坐标.

点评 在探究问题的过程中，教师并未直接阐述例题的具体解法，而是引导学生通过数形结合与特殊化策略，揭示点P所在定直线的特点，从而将运算对象从二维降至一维. 通过这种方式，帮助学生运用解题策略发现探究路径，逐渐培养他们在数学解题中需要具备的宏观视角.

2. 展示思维过程，感悟数学灵魂

数学思想方法是数学的灵魂，在知识的产生、发展以及解题思维的过程中孕育而生. 数学思想方法具有普遍适用性，并且具备强大的迁移能力，可视为解决问题的根本策略. 在解题教学中，教师应当依托例题，预先设计一系列问题，用以引导学生深入思考. 同时，应创造契机，使学生能够充分展示其思维过程. 在此基础上，深入分析学生的思维习惯与思维短板，并提供针对性的帮助. 通过师生间及生生间的互动交流，使学生深入理解数学精髓，以便在解决问题时为他们提供坚实的思想基础.

教学片段2 （思维过程展示）

师：P是直线MA与NA的交点，显然直线MA与NA在变动. 它们变动受什么影响？

生3：受直线MN的影响.

师：直线MN过点（-4，0），因此其横截距为-4，如何可以更好地设定直线MN？

生4：可以设直线MN的横截式方程x=my-4.

师：显然，点P的横坐标需要通过联立直线MA与NA的方程才能得到. 你能写出直线MA与NA的方程吗？

生5：可以！运用“设而不求”思想，设M（x，y），N（x，y），则直线MA的方程为y=（x+2），直线NA的方程为y=（x-2）.

师：直接联立直线MA与NA的方程求点P的横坐标，目测运算量不小. 能否通过恰当的处理降低运算量呢？

生6：将直线MA与NA的方程相除，消去y，得到=.

在教师的指导和启发下，大约4分钟后，生7展示了他的解答过程.

生7：直线MA的方程为y=（x+2），直线NA的方程为y=（x-2）. 联立直线MA与NA的方程，消除y，得===.

此时，生7的思路受阻，问题在于无法将式子简化为常数.

师：如何建立式子与韦达定理之间的联系？

生8：通过配凑将式子转化为关于纵坐标的和与积的形式，得到=.

学生议论纷纷，似乎突然间明白了什么，几分钟后，学9展示了他的解答过程.

生9：联立x=my-4与-=1，可得（4m2-1）y2-32my+48=0，且Δ=64（4m2+3）>0，则y+y=，yy=.

所以，==== -. 所以，=-，解得x=-1，即x=-1. 所以，点P在定直线x=-1上.

点评 教师通过构建一系列层次性问题，引导学生“再创造”解题思路. 这不仅使学生的思维过程得以充分展现，而且帮助他们深刻理解数形结合、转化与化归等数学思想，并积累数学探究经验.

3. 适度拓展引申，发展核心素养

在数学解题教学过程中，教师应当注重对数学问题的拓展和引申，以此来培养学生的创造性思维. 通过引导学生类比和探索方法，旨在提升学生的数学综合能力，并促进其核心素养的发展. 通过研究高考真题，学生认识到，尽管解析几何解答题具有一定的难度，但只要重视解题策略的指导，并在遇到难题时依靠优秀的思维能力和坚定的毅力，就能够实现突破. 这种教学方式不仅展现了立德树人教育理念，并且使学生在学习数学的过程中更容易获得信心和兴趣. 基于这样的教学思路，对例题进行了拓展和引申.

教学片段3

教师：波利亚曾言：“好的问题就像某些蘑菇一样，往往成簇出现. ”请同学们思考以下问题.

拓展1 设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左、右顶点分别为A，A，过点（t，0）（t<-a）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA与NA交于点P. 证明：点P在定直线上.

问题提出后，学生立刻拿起笔，画出草图并类比例题的解法判断点P所在定直线必然垂直于x轴，从而确定运算对象为点P的横坐标. 然而，由于时间限制以及复杂的符号运算，学生在课堂上无法彻底解答问题. 因此，教师要求他们在课后完成解答，并额外提供了两道拓展性问题，供愿意深入学习的学生在课后进一步研究，为后续探究课程做准备.

拓展2 设椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，A，过点（t，0）（0<t<a）的直线与C交于M，N两点，直线MA与NA交于点P. 证明：点P在定直线上.

拓展3 已知抛物线C：y2=2px（p>0），过点（t，0）（t>0）作直线交抛物线C于M，N两点，连接M，O，与过点N且与x轴平行的直线交于点P. 证明：点P在定直线上.

点评 在数学教学中，每个环节都应致力于提升学生的数学核心素养. 利用例题进行深入探讨和拓展是实现这一目标的有效方法. 特别重要的是，这种深入探讨和拓展应当基于学生的实际学习状况和考试需求，既要体现个性化教学的原则，也要确保每位学生都能获得均衡的成长. 笔者由此提出了两种例题拓展策略：（1）泛化拓展，通过将双曲线的特性泛化，并引入一些复杂的符号运算，来锻炼学生的数学运算技能和空间想象能力;（2）类比拓展，将双曲线的特性类比到椭圆和抛物线中，旨在帮助学生掌握解决定直线问题的策略，同时增强他们的逻辑推理和数学运算能力.

教学建议

1. 研读课程标准，领悟教改方向

《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》在“深化高考考试内容改革”部分提出：“依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容.”因此，课程标准构成了教学和考试命题的核心基础. 显然，当前的数学教学实践是“依标施教”，只有遵循课程标准来实施教学，我们才能确保新课改顺利进行，避免不必要的弯路. 因此，在解题教学中，教师应摒弃填鸭式、满堂灌的教学方式，转而注重培养学生的思维品质、发展数学能力，并提升其核心素养，以促进学生的全面发展，助力实现立德树人的根本任务.

2. 注重例题筛选，凸显素养导向

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出：全面落实立德树人要求，深入挖掘数学学科的育人价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识[2]80. 因此，在解题教学中，教师在确定教学目标时要充分关注核心素养与例题的关联，思考核心素养在解题教学中的生长点与孕育点，凸显素养导向. 在与学生的课后交流中，笔者得知：尽管本次课程仅解决了高考中的一道真题，学生却获得了丰富的知识. 首先，他们掌握了研究定直线问题的基本方法：通过数形结合、特殊化等策略，揭示了定直线的特性，并将问题简化为求解点P的横坐标，这是解析几何中探讨定直线问题的关键思路之一. 其次，学生体验了解析几何的一般研究方法：将几何问题转化为代数问题，领略了“设而不求”思想. 最后，学生经历了提升数学运算素养的过程：在理解运算对象的基础上，创造条件让学生思考如何探索运算思路，设计恰当的运算方案以求得正确的运算结果.

3. 加强过程探究，发展数学思维

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：基于数学学科核心素养的教学要创设合适的教学情境、提出合适的数学问题[2]84. 在当前的解题教学中，教师的主要任务不是罗列各种题型并详细讲解，而是在精选例题的基础上，加强对解题过程的探究，通过设计具有思维深度和梯度的问题链，促使学生养成勤于思考的良好习惯. 在遇到思维障碍时，引导学生进行思维的“转向”至关重要. 这不仅帮助他们逐步理解解题思维活动的基本规律，而且还能教会他们如何选择有效的思维路径. 例如，在本节课中，当式子与韦达定理的应用相去甚远时，通过差异分析，引导学生通过配凑法得出纵坐标的表达式，从而有效克服运算上的障碍.

4. 重视问题拓展，实现深度教学

数学深度教学是指数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升[3]. 深度教学的核心要领涉及两个主要方面. 首先是知识层面，这意味着要深入挖掘数学知识的内在含义，并深刻把握不同知识点之间的联系. 其次是思维层面，这要求我们从培养学生思维能力的角度出发，通过扩展和延伸例题，加强学生对解题策略的理解，并促进他们对解题方法的灵活运用，从而激发学生的深度学习. 例如，在本节课中，教师对例题进行了三个拓展，引导学生在学习过程中体验数学之美、掌握思考方法，从而促进他们优秀思维品质的培养和数学学科核心素养的提升.

结束语

综上所述，教师应当深刻理解课程标准等纲领性文件的内涵，明确课程改革的具体要求. 通过巧妙运用教学策略，促进解题教学从“问题导向”向“素养形成”转变，进而构建高质量的数学课堂.

参考文献：

[1] 苏洪雨，冯伟贞，等. 中学数学解题研究（第二版）[M]. 北京：科学出版社，2022.

[2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3] 郑毓信. 数学教学的关键[M]. 上海：华东师范大学出版社，2022.