J#-U-clean环与强J#-U-clean环

摘要：设R是一个环，如果U（R） = U（R） + J #（R），则称R是GUJ环；如果对于任意a∈R，都存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d（且ap = pa），则称R是（强） J #-U-clean环。GUJ环和J #-U-clean环分别是GUJ环和GJ-clean环的真推广。文章研究了GUJ环的基本性质，证明了R是GUJ环当且仅当R/J是UU环且U（R/J） = （U（R） + J）/J，R是UJ环当且仅当R是GUJ环且R/J是reduced的。此外，给出了（强） J #-U-clean环的例子，得到了（强）" J #-U-clean环的性质和一些等价刻画，证明了若R是一个交换环，则R是GJ-clean环当且仅当存在整数n≥1使得T（R）是GJ-clean环，当且仅当存在整数n≥2使得T（R）是J #-U-clean环。进一步地，研究了强J #-U-clean环的Morita不变性。

关键词：GUJ环；GJ-clean环；GUJ环；J #-U-clean环；强J #-U-clean环

中图分类号： O153.3" " " " " " " " 文献标志码： A文章编号： １６７３－２３４０（２０24）０1－００87－０8

Abstract： A ring R is GUJ if U（R） = U（R） + J #（R）; R is （strongly） J #-U-clean ring if for any a∈R， there exists g∈U（R）， p = p∈R，d∈J #（R）， such that ag = p + d （and ap = pa）. GUJ rings and J #-U-clean rings are proper generalizations of GUJ rings and GJ-clean rings， respectively. The properties of GUJ rings are obtained. It is proved that a ring R is GUJ if and only if R/J is UU and U（R/J） = （U（R） + J）/J， R is a UJ ring if and only if R is GUJ and R/J is reduced. Furthermore， examples， extension properties and some equivalent characterizations of （strongly） J #-U-clean rings are studied， and it is proved that if R is a commutative ring， then R is GJ-clean if and only if T（R） is GJ-clean for some integer n≥1， if and only if T（R） is J #-U-clean for some integer n≥2. Additionally， the study explores the Morita invariance of strong J#-U-clean rings.

Key words： GUJ ring; GJ-clean ring; GUJ ring; J#-U-clean ring; strongly J#-U-clean ring

文中讨论的环均指有单位元的结合环。设R是一个环，用符号J（R）、U（R）、C（R）和nil（R）分别表示环R的Jacobson根、R中可逆元集合、环R的中心和R中幂零元集合。为方便起见，记U（R） = U（R）∩C（R）。令J #（R） = {x∈Rx∈J（R），存在整数n≥1}。显然，nil（R）和J（R）都包含在J #（R）中。用M（R）表示环R上n阶全矩阵环，用I表示n阶单位矩阵。

环中元素的加法分解性质是环论研究的重要内容之一。1977年，Nicholson[1]引入了clean环的概念。如果环R中每个元素都可以表示为一个幂等元与一个可逆元之和，则称R是clean环。2005年，Nicholson等[2]引入了半布尔环的概念。如果环R中每个元素都可以表示为一个幂等元与一个J（R）中元素之和，则称R是半布尔环（亦称为J-clean环[3]）。2013年，Diesl[4]引入了诣零-clean环。如果环R中每个元素都可以表示为一个幂等元与一个幂零元之和，则称R是诣零-clean环。文献[5-14]进一步研究了环的诣零-clean性。2020年，Cui等[15]将J-clean环进行了推广，引入了GUJ环和GJ-clean环。如果U（R） = 1 + J #（R），则称R是GUJ环；如果对于任意a∈R，都存在e = e∈R，b∈J #（R）使得a = e + b，则称R是GJ-clean环。2022年，Tang等[16]引入了（强）诣零G-clean环和UU环，其中G称为“unit-picker”。根据文献[16]，如果对于任意a∈R，都存在v∈U（R），e = e∈R，b∈nil（R）使得a = ve + b（且ae = ea），则称R是（强）诣零U-clean环；如果U（R） = U（R） + nil（R），则称R是UU环。根据文献[17]，如果U（R） = U（R） + J（R），则称R是UJ环。

受上述研究的启发，本文引入并研究了GUJ环和（强）J#-U-clean环，给出了UU、UJ环和GUJ环之间的关系。R是GUJ环当且仅当R/J是UU环且U（R/J） = （U（R） + J）/J；R是UJ环当且仅当R是GUJ环且R/J是reduced的。证明了若R是一个交换环，则R是GJ-clean环当且仅当存在整数n≥1使得T（R）是GJ-clean环，当且仅当存在整数n≥2使得T（R）是J#-U-clean环。此外，得到了强J#-U-clean环的刻画。环R是强J#-U-clean的当且仅当幂等元模J（R）可提升，U（R/J） = （U（R） + J）/J，且R/J是强诣零U-clean环。进一步地，研究了强J#-U-clean环的Morita不变性。若R是强J#-U-clean环，则对任意e = e∈R，eRe也是强J#-U-clean环；对任意整数n≥2，M（R）均不是强J#-U-clean环。

1" "GUJ环

在本节中，我们引入GUJ环。根据文献[16]，设R是一个环。令I是环R的一个理想，X是环R的一个子集。为了方便，我们用X + I/I来表示R/I的子集{x + I：x∈X}。

定义1" "设R是一个环，u∈U（R）。如果存在g∈U（R），d∈J #（R）使得ug = 1 + d，则称u是GUJ的；如果R中的每个可逆元都是GUJ的，则称R是GUJ环。

易见，R是GUJ环当且仅当对任意的u∈U（R），都存在v∈U（R），b∈J #（R）使得u = v + b（即U（R） = U（R） + J #（R））。

命题1" "设R是一个环，则下列结论成立：

1）设T是R的商环且T中的可逆元可提升到R中，若R是GUJ环，则T也是GUJ环；

2）若R是GUJ环，则对任意的e = e∈R，eRe也是GUJ环。

证明：1）设f：R → T是满的环同态。任取v∈U（T）。由假设，存在u∈U（R）使得v = f（u）。因为R是GUJ环，所以存在g∈U（R），b∈J（R）（n为正整数）使得u = g + b。于是v = f（u） = f（g） + f（b），其中f（g）∈U（T），f（b） = f（b）∈J（T）。因此，T是GUJ环。

2）任取u∈U（eRe）。注意到u + 1 - e∈U（R），且逆为u + 1 - e。由于R是GUJ环，因此存在g∈U（R），b∈J #（R）使得u + 1 - e = g + b。又因为e（g + b） = e（u + 1 - e） = u = （u + 1 - e）e = （g + b）e，可得eb = be，所以u = eg + eb，其中eg∈eU（R）？哿U（eRe），eb∈J #（eRe）。于是，eRe也是GUJ环。

对任意的正整数n，令Z为整数环Z模n的剩余类环。下面的结论是显然的。

例1" "1）任意的域均为GUJ环；

2）若R是一个交换环，则R是GUJ环；

3）令R = Z，则R是GUJ环当且仅当n = 2（t≥1）。易见，R是GUJ环。

设R是一个环，I是环R的理想，元素a∈R。商环R/I中的元素记为。

引理1" "环R是GUJ的当且仅当R/J是GUJ环，且U（R/J） = （U（R） + J）/J。

证明：假设R是GUJ环，则由命题1可知，R/J是GUJ环。显然有（U（R） + J）/J？哿U（R/J）。下证U（R/J）？哿（U（R） + J）/J。任取∈U（R/J），则u∈U（R）。由R是GUJ环可知，存在v∈U（R），b∈J（R）（n为正整数）使得u = v + b。从而在R/J中， = "- 是中心的。又由b∈J（R）可得（） = "= 0。于是可知∈J（R/J） = 0，故 = 。因此，U（R/J）？哿（U（R） + J）/J。

反之，任取u∈U（R）。由假设可知在R/J中存在∈U（R/J），（）∈J（R/J）（m为正整数）使得 = "+ 。由于U（R/J） = （U（R） + J）/J，从而可设g∈U（R）。又由于J（R/J） = 0，从而 = （） = 0，因此b∈J（R）。综上可知，存在j∈J（R）使得u = g + （b + j），且（b + j）∈b + J（R）？哿J（R）。这就表明R是GUJ环。

如果环R中不包含非零的幂零元，则称R是reduced环。众所周知，reduced环是阿贝尔环（即每个幂等元都是中心的环）。接下来给出UU、UJ环和GUJ环之间的关系。

定理1" "设R是一个环，则下列结论成立：

1）R是GUJ环当且仅当R/J是UU环，且U（R/J） = （U（R） + J）/J；

2）R是UJ环当且仅当R是GUJ环，且R/J是reduced的。

证明：1）若R是GUJ环，则由引理1可知R/J是GUJ的，且U（R/J） = （U（R） + J）/J。注意到J（R/J） = 0，从而nil（R/J） = J #（R/J）。故R/J是UU环。反之，若R/J是UU环，则R/J是GUJ环。再由引理1知R是GUJ环。

2）若R是UJ环，则R一定是GUJ环。再由文献[17]中的命题2.7（1）可知，R/J是reduced环。反之，任取b∈J #（R），则存在整数n≥1，使得b∈J（R）。注意到，在R/J中，（） = "= 。由于R/J是reduced环，从而 = ，可知b∈J（R），因此J #（R） = J（R）。于是，R是UJ环。

设R是一个环，a，b∈R。如果由ab = 1可推出ba = 1，则称R是直有限的。

推论1" "设R是一个环，则下列结论成立：

1）对任意整数n≥2，M（R）均不是GUJ环；

2）若R是GUJ环，则R是直有限的。

证明：1）用反证法。假设M（R）是GUJ环，由定理1中的1），M（R）/J（M（R））？艿M（R/J）是UU环。这与文献[16]中的引理3.4相矛盾。

2）类似于文献[17]中的引理2.4可证。

命题2" "设R是一个环，a，c∈R。若ac是GUJ的，则ca是GUJ的当且仅当c∈U（R）。

证明：设c∈U（R）。由于ac是GUJ的，从而存在g∈U（R），b∈J #（R）使得ac = g + b。因此，ac - g = b∈J #（R），于是存在整数k≥1，使得（ac - g） = b∈J（R）。又由（ca - g）c = c（ac - g），可得（ca - g）c = c（ac - g）∈J（R）。此外，由c∈U（R）有（ca - g）∈J（R）。这就表明存在j∈J #（R）使得ca - g = j，进而ca = g + j是GUJ的。反之，若ac和ca都是GUJ的，则ac，ca∈U（R），故有c∈U（R）。

2" "J#-U-clean环

定义2" "设R是一个环。如果对任意的a∈R，都存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d，则称R是J#-U-clean环。

易见，如果R是J#-U-clean环当且仅当对任意的a∈R，都存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ve + b。

例2" "设R = Z。易见J #（R） = {}，R的幂等元集为{，}。可以验证R是J#-U-clean环。但由于R中的元素不能表示为R中幂等元与J #（R）中元素和的形式，故R不是GJ-clean环。

设R是一个环。如果对于任意a∈R，都存在k∈U（R），e = e∈R，u∈U（R）使得a = ke + u，则称R是拟-clean环[18]。

命题3" "设R是一个环，则下列结论成立：

1）设I是环R的理想，若R是J#-U-clean环，则R/I也是J#-U-clean环；

2）若R是J#-U-clean环，则R是拟-clean环；

3）若R是J#-U-clean环，则R/J是诣零U-clean环；

4）环直积？鄯R是J#-U-clean的当且仅当每个R都是J#-U-clean环。

证明：1）任取∈R/I，由于R是J#-U-clean环，故存在g∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ge + b。所以，在R/I中有 = "+ ，其中（） ＝ ∈R/I，∈J #（R/I）。又由（U（R） + I）/I？哿U（R/I），有∈U（R/I）。因此，R/I是J#-U-clean环。

2）对每个a∈R，由于R是J#-U-clean环，从而存在g∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得-a = ge + b。从而a = g（1 - e） + （-g - b），其中（1 - e） = 1 - e∈R，-g - b∈U（R）。因此，R是拟-clean环。

3）任取∈R/J。由于R是J#-U-clean环，可设a = ve + b，其中v∈U（R），e = e∈R，b∈J（R）（n为正整数）。于是在R/J中， = "+ ，其中∈U（R/J），（） = ，（） = "= 0。因此R/J是诣零U-clean环。

4）任取r = （r，r，…，r）∈？鄯R。由于每个R都是J#-U-clean环，从而存在v∈U（R），（e） = e∈R，b∈J #（R）使得r = ve + b，i = 1，2，…，n。令v = （v，v，…，v），e = （e，e，…，e），b = （b，b，…，b）。于是r = ve + b，其中v∈U（？鄯R），e = e∈？鄯R，b∈J #（？鄯R）。故？鄯R是J#-U-clean环。反之，若？鄯R是J#-U-clean环，则由1）可知每个R都是J#-U-clean环。

命题 4" "若R是J#-U-clean环，则U（R/J） = （U（R） + J）/J，且R/J也是J#-U-clean环。进一步地，若幂等元模J（R）可提升，则反之成立。

证明：由于（U（R） + J）/J？哿U（R/J），因此只需证U（R/J）？哿（U（R） + J）/J。任取∈U（R/J）。由R是J#-U-clean环可设u = ve + b，其中v∈U（R），e = e∈R，b∈J（R）（n为正整数）。从而在R/J中， = "- 是可逆的，这就表明 = ，因此 = "- 是中心的。由b∈J（R）可知（） = "= ，于是∈J（R/J） = 。因此U（R/J）？哿（U（R） + J）/J，再由命题3的1）有R/J是J#-U-clean环。

反之，任取a∈R。由于R/J是J#-U-clean环，故在R/J中存在∈U（R/J），（） = ∈R/J，∈J #（R/J）使得 = "+ 。首先，由于幂等元模J（R）可提升，从而可以设e = e∈R。其次，由于U（R/J） = （U（R） + J）/J，从而可以设v∈U（R）。最后，由于∈J #（R/J），故存在整数n≥1，使得 = （）∈J（R/J） = ，可知b∈J（R）。于是存在j∈J（R），使得a = ve + （b + j），其中（b + j）∈J（R）。因此，R是J#-U-clean环。

命题 5" "设R是一个环，则下列条件等价：

1）R是J#-U-clean环；

2）R[[x]]是J#-U-clean环。

证明：1）？圯2）" "任取f（x） = a + ax + ax + … ∈R[[x]]，其中a∈R，i = 0，1，…。因为R是J#-U-clean环，所以存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ve + b。于是f（x） = ve + b + ax + ax + … = ve + α（x），其中α（x） = b + ax + ax + …。由于J（R[[x]]） = {b + bx + bx + …b∈J（R）}，其中b∈R，i = 0，1，…，可知α（x）∈J #（R[[x]]）。因此R[[x]]是J#-U-clean环。

2）？圯1）" "定义同态映射φ：R[[x]] → R，f（x） "f（0）。于是有kerφ = {ax + ax + …a∈R}，i = 1，2，…，则R[[x]]/kerφ？艿R。因此R是R[[x]]的像。由命题3的1）可知R是J#-U-clean环。

如果环R中的每个元素都可以表示为两个可逆元的和，则称R为2-good环。我们有以下结论：

命题6" "设R是J#-U-clean环。如果2∈U（R），则R是2-good环。

证明：任取a∈R。由于R是J#-U-clean环，从而存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得 = ve + b，于是a = v（2e - 1） + （v + 2b）。易验证（2e - 1） = 1，这就表明v（2e - 1）∈U（R），且有v + 2b∈U（R）。证毕。

命题6中“2∈U（R）”是不可缺少的。例如Z是J#-U-clean环，但由于不能表示为两个可逆元的和，所以Z不是2-good环。

设R为一个环，M为（R，R）双模。定义R∝M = {r" "x0" "rr∈R，x∈M}为R通过M的平凡扩张，其中的加法为普通的加法，乘法为普通矩阵的乘法。我们有以下结论：

命题7" "设R是一个环，M为（R，R）双模，则R∝M是J#-U-clean的当且仅当R是J#-U-clean的。

证明：假设R∝M是J#-U-clean的。令A = 0" "M0" "0，于是有（R∝M）/A？艿R。因此R是J#-U-clean的。反之，任取r" "x0" "r∈R∝M，其中r∈R，x∈M。由于R是J#-U-clean环，从而存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得r = ve + b。注意到r" "x0" "r = v" "00" "ve" "00" "e + b" "x0" "b，其中v" "00" "v∈U（R∝M），e" "00" "e = e" "00" "e∈R∝M，且b" "x0" "b∈J #（R∝M）。因此R∝M是J#-U-clean的。

设R是一个环。用T（R）表示环R上n × n的上三角矩阵全体，容易验证U（T（R）） = {uI对于所有的u∈U（R）}。

定理2" "设R是一个交换环，则下列条件等价：

1）R是GJ-clean环；

2）存在整数n≥1使得T（R）是GJ-clean环；

3）存在整数n≥2使得T（R）是J#-U-clean环。

证明：1）？圯2）" "由文献[15]中的定理3.3可得。

2）？圯3）" "显然。

3）？圯1）" "令A = a" "0" "0" "…" "00" "1" "0" "…" "00" "0" "0" "…" "0" " " " " " " " "0" "0" "0" "…" "0。由于T（R）是J#-U-clean环，故存在V = vI∈U（T（R）），E = E = （e）∈T（R）及B = （b）∈J #（T（R）），使得A = VE + B。注意到e = e∈R，b∈J #（R），对任意i = 1，2，…，n。由A = VE + B可得，a = ve + b，1 = ve + b。故ve = 1 - b∈U（R），从而e = 1。那么a = ve + b = （1 - b）e + b = e + （b - be），即证R为GJ-clean环。

根据文献[19]，设D是一个环，C是D的子环且1∈C。记

S = R[D，C] =

{（d，…，d，c，c，…）d∈D，c∈C，n≥1}，

S′ = R{D，C} =

{（d，…，d，c，c，…）d∈D，c∈C，n≥1}，

其中R[D，C]（R{D，C}）中加法和乘法分别定义为对应分量的加法与乘法，则R[D，C]（R{D，C}）关于所定义的加法与乘法构成一个环。显然，这是一种环的扩张。

引理2[19]" "设D是一个环，C是D的子环且1∈C。令S = R[D，C]，则D同构于S的一个直和项，C为S的满同态象。

引理3[19]" "设D是一个环，C是D的子环且1∈C。令S = R[D，C]，S′ = R{D，C}，则下列结论成立：

1）J（S） = R[J（D），J（D）∩J（C）]；

2）J（S′） = R{J（D），J（D）∩J（C）}。

命题8" "设D是一个环，C是D的子环且1∈C，则下列条件等价：

1）S = R[D，C]是J#-U-clean环；

2）D是J#-U-clean环，且对于任意c∈C，存在g∈U（C）， f "= f∈C使得c - gf∈J #（D）∩J #（C）；

3）S′ = R{D，C}是J#-U-clean环。

证明：1）？圯2）" "首先，由于J#-U-clean环的直和项还是J#-U-clean的，从而由引理2有D是J#-U-clean环。其次，对于任意c∈C，令a′ = （c，c，…）∈S。因为S是J#-U-clean环，所以存在g′ = （g，…，g，g，g，…）∈U（S），（f ′） = f ′ = （f，…，f，f，f，…）∈S使得a′ - g′f ′∈J #（S），其中g∈U（D），f = f∈D，g∈U（C）， f "= f∈C，i = 1，…，n。注意到g∈U（C），f = f∈C，根据引理3有c - gf∈J #（D）∩J #（C）。

2）？圯1）" "任取a = （d，…，d，c，c，…）∈S，其中d∈D，c∈C，n≥1。由假设可知，存在v∈U（D），e = e∈D，g∈U（C），f "= f∈C，i = 1，…，n使得d - ve∈J #（D），c - g f∈J #（D）∩J #（C）。令g = （v，…，v，g，g，…），e = （e，…，e，f，f，…），则g∈U（S），e = e∈S。于是有a - ge∈J #（S），即S是J#-U-clean环。

1）？圳3）" "类似1）？圳2）可证。

3" "强J#-U-clean环

设R是一个环，a∈R。如果存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d，且ap = pa，则称元素a是强J#-U-clean的；如果R中每个元素都是强J#-U-clean的，则称R是强J#-U-clean环。易见，如果R是强J#-U-clean环当且仅当对于任意a∈R，都存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得a = ve + b，且ae = ea。

对于元素a∈R，我们记comm（a） = {x∈Rxa = ax}。

定理3" "设R是一个环，a∈R，则下列条件等价：

1）a是强J#-U-clean的；

2）存在u∈U（R），e = e∈comm（a），v∈U（R）使得au = e + v，且a - au∈J #（R）。

证明：1）？圯2）" "因为a是强J#-U-clean的，所以存在u∈U（R），p = p∈R，b∈J #（R）使得au = p +b，且ap = pa，从而bp = pb。注意到au = （1 - p） + （2p - 1 + b），其中（1 - p） = 1 - p∈comm（a），2p - 1 + b∈U（R）。此外，由于（au） = p + 2pb + b，于是au - （au） = （1 - 2p - b）b∈J #（R），因此a - au∈J #（R）。

2）？圯1）" "设au = e + v，其中u∈U（R），e = e∈comm（a），v∈U（R），且a - au∈J #（R），则（au） = e + 2ev + v，从而（a - au）u = au - （au） = （1 - 2e - v）v∈J #（R），于是1 - 2e - v∈J #（R）。注意到au = （1 - e） + （2e - 1 + v），这就表明a是强J#-U-clean的。

推论2" "环R是强J#-U-clean的当且仅当幂等元模J（R）可提升，U（R/J） = （U（R） + J）/J，且R/J是强诣零U-clean环。

证明：设环R是强J#-U-clean环。根据命题3的3）及命题4，我们只需证幂等元模J（R）可提升。任取a∈R，则存在g∈U（R），p = p∈R，d∈J #（R）使得ag = p + d，且ap = pa。注意到[ p - （1 - p）g·（1 - p）][p - （1 - p）g（1 - p）] = 1，故

[a - （1 - p）]g = ag - （1 - p）g =

p + d - （1 - p）g =

p - （1 - p）g（1 - p） + d∈U（R），

从而a - （1 - p）∈U（R），于是可得R是强clean环，这就表明幂等元模J（R）可提升。反之，由命题4可得。

命题9" "设R是强J#-U-clean环，则下列条件等价：

1）U（R） = U（R）；

2）J #（R）？哿C（R）；

3）R是交换环。

证明：1）？圯2）" "任取b∈J #（R）。于是1 + b∈U（R） = U（R），从而J #（R）？哿C（R）。

2）？圯3）" "设J #（R）？哿C（R）。对于任意e = e∈R，eR（1 - e）和（1 - e）Re都包含在nil（R）中。注意到nil（R）？哿J #（R）？哿C（R），对于任意r∈R，有er（1 - e）·（1 - e） = （1 - e）er（1 - e） = 0，故er = ere。同样可证re = ere，从而er = re，于是可知R中的所有幂等元都是中心的。令a∈R。由于R是强J#-U-clean环，故存在v∈U（R），p = p∈comm（a），b∈J #（R）使得a = vp + b。因为vp∈C（R），b∈J #（R）？哿C（R），所以a∈C（R），从而R是交换环。

3）？圯1）" "显然。

命题10" "强J#-U-clean环都是GUJ环。

证明：任取u∈U（R）。由R是强J#-U-clean环可知存在v∈U（R），e = e∈R，b∈J #（R）使得u = ve + b，且ue = eu。于是有ub = bu，从而ve = u - b∈U（R），可得e = 1，因此u = v + b。证毕。

下面讨论强J#-U-clean环的Morita不变性。

命题11" "设R是一个环，则下列结论成立：

1）若R是强J#-U-clean环，则对任意e = e∈R，eRe也是强J#-U-clean环；

2）对任意整数n≥2，M（R）均不是强J#-U-clean环。

证明：1）任取a∈eRe。由于R是强J#-U-clean环，由定理3可知，存在u∈U（R），p = p∈comm（a），v∈U（R）使得au = p + v，且a - au∈J #（R）。注意到au（1 - p） = v（1 - p），故1 - p = vau（1 - p） = avu（1 - p）∈eRe。所以1 - p = （1 - p）e = e（1 - p），于是有ep = pe。再由a∈eRe有eau = aue，即e（p + v） = （p + v）e，可推出ev = ve。因此aeu = ep + ev，其中eu∈eU（R）？哿U（eRe），ep是eRe中的幂等元且a（ep） = （ep）a，ev∈U（eRe）。此外，由eu∈U（eRe），有a - au = a - a（eu）∈J #（eRe）。根据定理3，eRe是强J#-U-clean环。

2）结合命题10和推论1可得。

命题12" "设R是强J#-U-clean环，则下列条件等价：

1）R是阿贝尔环；

2）对于任意a∈R，均存在u∈U（R），使得au可以唯一地表示为e + b，其中e = e∈comm（a），b∈J #（R）。

证明：1）？圯2）" "设R是阿贝尔环。任取a∈R，记au = e + b = e + b，其中u∈U（R），e = e∈comm（a），b∈J #（R），i = 1，2。由于R是阿贝尔环，于是有e - e = b - b∈J #（R）。注意到（e - e） = e - e，因此e = e，从而b = b。

2）？圯1）" "任取r， f∈R，e = e∈comm（f）。记f = e + er（1 - e），从而er（1 - e）∈nil（R）？哿J #（R），f "= f。于是有f = f + 0 = e + er（1 - e）。由假设表示是唯一的，可知er（1 - e） = 0，即er = ere。同样可证re = ere。因此，R是阿贝尔环。

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CHENG G P. The structure of ring R[D， C] and its characterizations[D]. Nanjing：Southeast University， 2006. （in Chinese）

（责任编辑：张燕）

收稿日期： 2023-08-28 接受日期： 2023-10-11

基金项目： 安徽省自然科学基金项目（2008085MA06）；金融数学福建省高校重点实验室项目（JR202203）；安徽省教育厅研究项目（gxyqZD2019009）

第一作者简介： 靳丹亚（1996— ）， 女， 硕士研究生。

* 通信联系人： 崔建（1984— ）， 男， 教授， 博士， 主要研究方向为环模理论。E-mail：cui368@ahnu.edu.cn