超越感知：将“尺规作图”嵌入周长学习的独特价值与实践探析

【摘 要】将“尺规作图”与“认识周长”相结合具有独特的价值。尺规作图虽然不能直接用于测量图形的周长，但却为测量图形周长提供了一个全新的视角和方法，其利用与多边形边长等长的线段构建了一条新的线段，将多次测量转换成一次测量，不仅减少了分段测量中的误差，还让学生经历了求总量可以不必知道各分量具体数值的全新体验，见识到推理的力量。为落实这一独特价值，需要先引导学生厘清周长的数学本质，突出边线概念，然后创设测量情境，让学生在问题解决中感悟体验，从而使他们的思维产生突破性提升。

【关键词】尺规作图；周长；推理

对于“认识周长”的教学，《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）提出要与“尺规作图”相结合。其目的是为了加深对周长的理解吗？倘若如此，那么是不是只要使用扣条制作一个三角形学具，使其展开后成为一条线段，就能够让学生“感知线段长度的可加性，并理解三角形的周长”？这样的方法岂不是更加便捷？究竟什么才是周长？将“尺规作图”嵌入周长的学习中具有怎样的独特价值？又能为学生带来哪些新启发？

一、什么是周长

（一）数学分析

不同版本的教材对周长的定义存在差异，如“封闭图形一周的长度，是它的周长”（人教版）、“图形一周的长度就是图形的周长”（北师大版）。尽管表述有所不同，但都明确提出周长是长度。那么，“图形一周”具体指的是什么呢？比如，图1所示的多孔环形（阴影部分）的一周是指什么？图2所示的五角星是否需要像“一笔画”那样遍历图形中的所有线段？

《几何原本》虽然没有直接定义图形的周长，但在第一卷的第13条和第14条分别定义了边界和图形。即：“边界是物体的边缘”“图形是被一个边界或几个边界所围成的”。［1］这里的“图形”指的是封闭图形，封闭图形具有“边界（Boundary）”，边界使得图形有了“内”和“外”的区别。边界的本质是线，无论是直线还是曲线，都统称为边界线或边线。有的图形只有一条边线，如圆；有的图形则有若干条边线，如三角形等多边形。图形中的线，如图2中五角星内部的线段，不属于边线，而多孔环形的内外环线（如图1）则都是边线。一个封闭图形的边线总长度即是周长。

（二）教材分析

周长取决于图形各边线的长度，其前概念是边线。因此，中国香港和中国台湾的教材均采用“周界”一词来表示封闭图形所有的边线。例如，台湾通行版教材三年级上册第5单元中有“周界”“周长”等概念。周界和周长是两个既有联系又有所区别的概念。简单地说，周界指向图形的边线，学生可以通过画、描、摸等方法认识周界。周长则指向边线的总长度，可以通过工具进行测量。教材中给出的教学路径是先认识“周界”，判断一个点是在图形的内部、外部还是周界上，然后认识三角形的周长，进而概括出图形周界的长度称为周长。

人教版、北师大版等教材没有“周界”的概念，而是直接学习周长。在实际教学中，教师可能会提出“描出图形周长”这一不妥要求。因此，无论从数学本质还是教学便利性的角度考虑，引入“周界”的概念都是有效的。如果担心数学严谨性的不足，则可以用“一周边线”来替代。建议教材将对周长的描述加上“边线”二字，更新为：封闭图形一周边线的长度是周长。

二、为什么要将“尺规作图”与“认识周长”结合

（一）数学分析

周长本质上是线段的总长度，通过测量工具可以得到较为准确的数量。以多边形周长的测量为例，如果使用以厘米为基本单位的直尺来测量各边的长度，当边长是整厘米数时，测量比较方便。但当边长是非整厘米数时，如四边形四条边的长度分别是5.26厘米、4.32厘米、5.19厘米和4.25厘米时，使用普通直尺测量将产生4次误差。相比之下，尺规作图将不同方向的线段等长地转移到同一条直线上，并将它们连接成一条线段，随后使用直尺测量这条线段的长度，这样测量得出的周长仅产生1次误差。因此，尺规作图能够减少误差，实现更精确的测量。

更重要的是，“尺规作图”从测量方法的角度给学生“开了脑洞”。对于处于具体运算阶段的小学生来说，他们的认知特点是具体和直接，最自然的测量物体长度的方式是直接测量。当测量结果不准确时，他们往往会认为“这条线段不对”，而不会考虑改变测量方法。“尺规作图”并没有直接测量线段的长度，而是通过等距变换将多条线段转换成一条等长的线段，本质上是一种推理活动。学生通过这种经历，认识到“求总量不必知道各分量的具体数值”的独特价值。这是他们在之前的学习中未曾接触过的，是一种全新的数学思维方式，有利于培养学生的理性精神和创新意识。

（二）教材分析

关于“尺规作图”在“认识周长”中的重要性，各版教材有不同的实施方式。不过，2022年版课标中还提供了相关样例（如图3），据此，今后的新教材都会将此内容纳入其中。在当今主要发达国家的教材中，将认识周长与尺规作图相结合的做法并不常见，而中国教材的这种编排方式独树一帜，为数学教学提供了创新的范例。

三、学情调查

小学生对“边界线”“一周”“周长”等概念的已有认知状况如何？他们是否能联想到将“尺规作图”与测量联系起来？为了解这些问题，笔者在教学前对三年级某班41名学生做了前测调查。

（一）“周长”的前概念调查

前测问题1：你知道什么是图形的周长吗？请你写一写。

调查结果显示：有6名学生（约14.63%）采用画图来描述，如画正方形、三角形等；有8名学生（约19.51%）使用文字表述，主要内容包括“一个物体的外围”“图形一周的长”等；约65.86%的学生未能作答。由此可见，学生对“周长”有一定的认知基础，但在表达上存在困难。

（二）“边界线”的前概念调查

前测问题2：请你用水彩笔描一描下面图形的边界线。

调查结果显示：学生对三角形、树叶、五角星边界线描画的正确率分别为100%、100%和95.12%，正确率较高，表明学生对“边界线”的理解有一定的生活经验和认知基础。然而，在环形图形的描画上，学生间的分歧较大，除 1 名学生未作答外，24名学生（约58.54%）仅画出外圈，16名学生（约39.02%）画出了内外两圈。可见，超过半数的学生对边界线的理解局限于图形的外部。

（三）测量周长

前测问题3：（1）下图中三角形的周长是多少？量一量，算一算。（2）如果只能量一次，你有什么办法量出这个三角形的周长？

虽然前测卷中的三角形各边长是整厘米数（3厘米、4厘米、5厘米），但能够用直尺正确测量的学生并不多。在这三边中，有一条边测量正确（主要是水平方向的底边）的有39名学生（约为95.12%），但三条边都测量正确的仅有 16 名学生（约39.02%）。当边的方向改变或测量次数增加，错误率也随之升高。此外，在测量过程中想到用尺规作图的仅有 2 名学生（约4.88%）。由此可见，为减少测量次数，在教学中有必要引入“尺规作图”。

（四）周长的变式

前测问题4：在下图的长方形中剪去一个方格（边长是 1 厘米），周长会变小吗？写一写你的想法。

调查结果显示：有 12名学生（约29.27%）回答正确，其中有 7名学生通过计算方法比较变化前后的周长，有5 名学生通过平移方法说明周长不变。有18名学生（约43.90%）回答错误，主要原因有两个：其一，认为图形（面积）变小，所以周长减少；其二，量错或数错，未能正确计算图形的所有边。还有 11名学生（约26.83%）未作答。

通过上述调查可以发现：学生对“边界线”的概念有一定的生活经验和认知基础，总体掌握较好；对“周长”能进行直观描述，但表达上存在困难，并且容易受到“面”的影响；对于周长的测量，随着边线方向的改变和测量次数的增加，正确率下降明显。同时，学生很少主动想到尺规作图与周长的联系，因此在教学中需要教师进行点拨。

四、教学设计与分析

综合上述分析，确立了以下教学目标。

（1）通过辨认图形的内部与外部，认识图形的边线和周长，并能够进行测量。

（2）经历多边形的测量过程，感悟“尺规作图”的独特性，初步感受等量代换思想，发展推理意识。

（一）判断内外，认识边线

教师呈现秋季运动会情境（如图4），引导学生讨论投掷沙包时可能出现的问题：“沙包投向地面的圆形区域，可能会落在哪里？”学生基于已有经验，会想到沙包可能落在圆内、圆外或边界线上。师生小结：“这条线就是圆形区域的边界线，它帮助我们区分图形的内部和外部。”教师运用课件动态演示：使用色块填充图形，区分内部和外部。

【分析】根据前测结果，学生对边界线的封闭性和边缘性已有一定了解。因此，本环节通过呈现投掷沙包的情境，帮助学生理解边界线的含义，并建立图形的边和面之间的联系。借助课件的演示，学生可以清晰地看到边界线将圆形分为圆内和圆外两部分，边界线即为分界线。

（二）测量边长，讨论误差

教师出示运动会场地图（如图5），组织学生讨论：“运动会每个场地的周长是多少？”

学生经过讨论后交流：可以用直尺测量这三个图形，量出各边线的长度，然后再相加。

师：如果知道①号场地是长方形，你准备测量几次？

生：测量2次就够了。长方形的长和宽分别相等。

师：②号场地还有其他测量周长的方法吗？

生：可以用平移法，把它移动成一个长方形。周长就是长方形的周长加上原来两条线段的长度。

生：周长应该是长方形的周长，移动后原来的线段没有了，测量2次，就行了。

师：前两个图形的周长大家测量的结果都一致。为什么③号场地的周长，大家测量的结果各不相同呢？

生：③号场地的每条边量出来都不是整数，是不是印错了？

生：我测量出的长度分别是4.5厘米、3厘米、2.5厘米，周长是10厘米。

生：不对，应该分别是4.5厘米、3.5厘米、2.5厘米，周长是10.5厘米。

……

师：看来③号场地的三条边大家测量的结果不一样。虽然每条边误差都不大，但是合在一起的周长差得还是挺明显的。有没有什么方法能够减少测量次数，只测量1次呢？

【分析】度量属性的教学，应遵循确定度量对象、选择度量方法、选择度量单位、获得度量结果的顺序进行实施。［2］首先，学生需要明确周长是线段长度，可以借助直尺进行测量。其次，学生需要根据图形边线的特征选择合适的策略，一般可以采用分段测量相加的方法。最后，学生需要选择度量单位，有些边线不是整厘米数，可以选择以毫米为单位。不过类似③号场地的边长即使以毫米为单位也会出现不同测量结果，需引导学生继续思考。

（三）尺规作图，等量代换

师：大家有没有办法使测量③号场地周长时的误差小一些？

生：如果三角形能剪开来就好了。如果能把三角形的两边剪开，放平，就可以变成一条线段。

（教师展示用扣条制作的三角形，并展开变成一条线段，如图6所示）

师：是不是像这样把两边展开，将三角形的三条边连成一条线段？看来我们的想法不谋而合，这样只要测量1次就行了。那么，有没有一种工具能像扣条一样将线段进行旋转呢？（展示圆规）你们会用吗？谁愿意来试试？

（学生尝试尺规作图，取等长线段，测量周长，如图7所示）

师：原来的三角形没有字母标记，线段AB、线段BC、线段CD分别对应三角形的哪一段？

生：线段BC是最长的，对应三角形中最长的那条边。线段CD是最短的，对应三角形中最短的那条边。剩下的那条就是线段AB。

师：这里的点D是怎么来的？

生：就是点A。从起点开始，又回到了起点。

师：除了以A为起点，还有什么方式可以画出这样的线段？（展示学生作品，如图8所示）

师生小结：尽管起点不同，但都是从起点开始，又回到了起点，刚好一周。

【分析】学生通过将扣条展开联想到尺规作图，将三角形的三条边放置到同一条直线上，构建了一条新的线段。在此基础上，教师引导学生讨论两个关键问题：（1）为什么三角形的周长就是线段AD的长度？（2）原来的三角形只有三个点，这里的第四个点是如何产生的？针对问题（1），学生通过“等量的等量相等”进行分析，在这一过程中促进了推理意识的发展。通过问题（2），学生进一步明确第四个点就是起点，从起点开始，又回到起点，周长就是封闭图形一周边线的长度。

如此，一方面帮助学生聚焦概念本质，理解周长；另一方面帮助学生体验“尺规作图”能产生新事物，开拓了解决问题的新视角，有助于学生养成发散性思维，学会从多角度出发，创造性地解决问题。

（四）变式应用，深化理解

教师再次呈现①号场地的格子图，提问：“刚才①号场地的周长是10厘米，它占了几格？”师生一起数出占6格。教师继续提问：“现在要准备一个运动员休息区，同样占6格。你们能否设计不同形状的运动员休息区呢？周长会有变化吗？”让学生独立思考，并交流他们的作品。

【分析】周长是一维线段的度量，需要从二维的面上提取出来，这两个概念容易相互干扰，但又不可割裂。通过设计运动员休息区的环节，学生在周长和面积的不断对比中，明确了研究的对象是边线而不是面积，图形里面的线段不是周长，周长与图形的边线有关，与面积无关。

作为小学生认识几何图形的一条新路径，2022年版课标在小学阶段对尺规作图提出了三次要求，嵌入周长学习是其中之一 ［3］。尺规作图的独特价值不仅在于作图本身，也不只是多了一种方法，而是给学生打开了一扇思考的窗，让学生在经历测量与推理活动的过程中体验了超越直接感知的理性力量，这对学生今后的学习与生活都将产生深远的影响。

参考文献：

［1］欧几里得. 欧几里得·几何原本［M］.兰纪正，朱恩宽，译.西安：陕西科学技术出版社，2003.

［2］畅东燕，李怀军，朱艳红.深度理解周界的内涵，自然生成周长的概念：“认识周长”单元起始课的教学与思考［J］.小学教学（数学版），2021（5）：11-15.

［3］刘加霞.小学阶段“尺规作图”功能定位、内容逻辑及教学建议［J］.新教师，2023（12）：39-42.