基于深度学习的高中物理习题教学探索

摘"要：深度学习不仅应在新课教学中得到广泛应用，而且在习题教学中也应得到贯彻落实。本文以“万有引力与宇宙航行”一章为例，从变轨运动、椭圆轨道和地球上物体的圆周运动入手，结合椭圆轨道的曲率半径和卫星运动时的机械能，进行了定量分析，旨在探索深度学习在习题教学中的应用。

关键词：物理教学；深度学习；核心素养；椭圆轨道

1"引言

深度学习是指在教师的引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。［1］这种学习模式下，学生的求知欲被激活，思维活跃的他们将遵循认知的递进规律，逐步深入探索知识的本质内涵，形成严谨、求实的科学态度，建构、重塑自己的核心知识体系。

深度学习不仅要体现在课堂的新课教学中，也要贯彻落实在习题的教学中。物理新课教学中，教师往往更关注学生对概念的理解和基本原理、规律的掌握。然而，受限于教学时间的紧凑和新知识难度的递增，课堂教学很难系统性地深入展开，而习题教学则恰好弥补了这一不足，因为对于某个知识点，想知道学生是否真正理解，只有通过他们在具体问题中的应用来加以检验。通过找出学生在解题过程中犯的错误，教师可以引导他们识别原有理解中的误区，再适当进行拓展，触发学生的深度思考，揭示问题的本质内涵。这样有助于学生真正做到对概念和原理的深层理解。本文以“万有引力与宇宙航行”的习题教学为例，探索如何在习题教学中促进学生的深度学习。

2"变轨问题

例题"如图所示，卫星在P点由椭圆轨道2变轨到靠近火星的圆形轨道1（可认为半径等于火星半径R）。已知椭圆轨道2上的远火点Q到火星表面高度为6R，火星表面重力加速度为g，引力常量为G，下列说法错误的是（""）。

A. 火星的平均密度为3g4πGR

B. 卫星在轨道2上由Q点运动到P点所用时间为16πRg

C. 卫星在轨道2上运动到Q点时的速度小于gR7

D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于在轨道1上经过P点时的加速度

选项C易错点分析：以火星球心到Q点距离7R为半径，作圆形轨道3，由环绕速度可知卫星在轨道3上的速度大小为gR7，从轨道3变轨到轨道2，卫星需要减速，所以卫星在轨道2上Q点的速度小于gR7。学生往往对环绕速度GMr理解不够深刻，以为Q点到火星球心的距离为7R，结合GM＝gR2求得速度等于gR7，这属于浅层的记忆结论。深度学习要求学生知其然，还要知其所以然，即学生需要了解结论的推理演绎过程，从而准确把握它的适用条件。环绕速度是指，当一个质量为m的天体在只受质量为M的中心天体的万有引力作用下，围绕该中心天体做半径为r的匀速圆周运动时，所具有的线速度。由万有引力提供向心力有GMmr2＝mv2r，可得v＝GMr。而本题涉及的是椭圆轨道，因此上述关于匀速圆周运动的环绕速度结论并不适用。

在找出原因后，深度学习模式鼓励学生在学习过程中勤于总结与反思，以巩固学习成果。教师引导学生去思考：这个结论在我们常见的哪些情形中是不适用的？经过师生共同讨论，得出了高中阶段常见的三种不适用情形。一是，轨迹为椭圆的系统；二是，轨迹为圆但中心天体也在动的系统，比如双星系统就不适用；三是，虽然中心天体不动，轨迹也是圆，但存在不只一个万有引力的系统，比如拉格朗日点问题。通过梳理和回顾，概念在学生脑海中得以对比和巩固。

深度拓展：学生的思维还可以再深入一些，比如让学生思考卫星在轨道2上Q点的速度有定值吗？在“万有引力与宇宙航行”这章的学习中，圆周运动的线速度大小是能定量计算的，但对于椭圆运动受限于高中数学知识，其线速度大小很多时候都是定性描述的。此时教师可以进行补充，以帮助学生更深入地理解这两种运动在线速度计算上的不同之处。椭圆的标准方程示意图如图1所示，由椭圆的标准方程x2a2＋y2b2＝1，根据曲率半径的公式ρ＝（1＋y′2）32｜y″｜，可求出椭圆长轴端点处的曲率半径为ρ＝b2a。［2］由题意知半长轴a＝6R＋2R2＝4R，焦距c＝a－R＝3R，半短轴b＝a2－c2＝7R，在Q点有动力学方程GMmr2＝mv2ρ，代入r＝7R和ρ＝b2a＝74R，可得卫星在轨道2上Q点的速度大小v＝GMρr2＝GM28R＜GM7R。

在圆周运动中的曲率半径概念已在数学教材中有所提及，平时习题中也会经常遇到。介绍椭圆特殊点的曲率半径表达式，可以帮助学生在解决变轨问题时，实现从定性分析向定量分析的转变，从而更深入地理解物理现象的本质。对于例1中选项D，教师要引导学生通过牛顿第二定律去分析，指出不管在哪个轨道上，只要是同一点，所受火星引力的大小便是相等的，故加速度的大小也是相等的。学生可能出现的疑惑在于，如果根据运动学公式a＝v2r分析，卫星在轨道2上P点的速度大小大于其在轨道1上P点的速度大小，为什么不是卫星在轨道2上P点的加速度大呢？有了椭圆的曲率半径后，就可以定量比较。卫星在轨道1的线速度v1＝GMR，故在P点的加速度a1P＝v21R＝GMR2，卫星在椭圆轨道上运动时的机械能E仅与椭圆轨道的半长轴a相关，即E＝－GMm2a。［3］可由机械能守恒12mv22P－GMmR＝－GMm2a，解出卫星在轨道2上P点的线速度v2P＝2GM1R－12a＝7GM4R，代入可得a2P＝v22Pρ＝GMR2，所以a1P＝a2P。

3"地球上的物体和近地卫星

例题"如图所示，a为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b为近地轨道卫星（轨道半径可认为等于地球半径），c为同步轨道卫星，d为高空探测卫星。若a、b、c、d绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动。则（""）。

A. a、b、c、d中，a的加速度最大

B. a、b、c、d中，a的线速度最大

C. a、b、c、d中，d的周期最大

D. a、b、c、d中，d的角速度最大

易错点1

混淆地球上物体和近地卫星。这两个物体都在做轨道半径等于地球半径R的匀速圆周运动，a为地上物体，b为天上物体，但它们所需的向心力差别很大，所以两者在运动学上的差别极为悬殊。地球上物体做圆周运动的动力学方程为GMmaR2－mag赤＝maaa，可得aa＝GMR2－g赤；而对于近地卫星，有GMmbR2＝mbab，可得ab＝GMR2，可知aa＜ab。b、c、d可以用卫星环绕规律，通过比较半径大小得出b的加速度最大。其他物理量同理可知，线速度、角速度b最大，周期d最大。当然，我们还可以将a、c角速度相同作为解题切入点，即用相应的运动学公式先比较a、c的相关物理量，再与b、d的相关物理量比较。地球上的物体，其向心力只是由万有引力的一个分力来提供，因此不能根据轨道半径大小，比较a与b、c、d的线速度等物理量。

深度拓展：上面的分析是基于表达式得出的结果。对于各物理量大小的比较，我们还可以通过计算出具体的数值让学生去直观感受。为方便计算，取地球半径R＝6371km，地球质量M＝5.965×1024kg，自转周期T＝24h，引力重量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球上物体的向心加速度aa＝2πT2R≈0.0337m/s2，线速度va＝2πRT≈463m/s，而近地卫星加速度ab＝GMR2≈9.802m/s2，线速度vb＝GMR≈7.9×103m/s，周期Tb＝2πR3GM≈1.4h，由此可以更直观地比较a、b的运动差异。

易错点2

开普勒第三定律适用条件不清楚。b、c、d轨道的运动都遵循开普勒第三定律，地球上物体看起来也在做以地球为中心的圆周运动，这个定律也适用吗？对于卫星轨道有GMmr2＝m2πT2r，可得r3T2＝GM4π2，r3T2只与中心天体质量相关，而对于地球上的物体则有GMmR2－mg赤＝m2πT2R，R3T2＝GM－g赤R24π2，可见地球上物体的运动并不遵循开普勒第三定律。

深度拓展：在变轨问题中，有时候会有椭圆轨道的周期计算，在高中知识范围内，我们还无法列出动力学方程求解，因此只能去找另一条圆轨道，用开普勒第三定律进行求解。学生从上述的圆轨道可以自行推导出结论，但受限于数学知识，无法理解椭圆轨道为何也遵循开普勒第三定律。对此我们可以做如下推导，由开普勒第二定律可知，椭圆轨道上各处卫星在相等的时间内扫过的面积相等（见图2），我们选长轴左端点A求解，取极短时间dt，阴影部分面积dS＝12rAdl，椭圆面积速度dSdt＝12rAdldt＝12rAvA，其中rA为A点到左焦点的距离，A点的曲率半径ρA＝b2a，对A点列动力学方程有GMmr2A＝mv2AρA，联立解得dSdt＝12GMρA＝b2GMa。椭圆面积S＝πab，故椭圆周期T＝

SdtdS＝2πa3GM，得出a3T2＝GM4π2，因此同一中心天体的椭圆轨道和圆轨道都遵循开普勒第三定律。椭圆曲率半径和卫星运动的机械能是辅助补充内容，学生了解即可，此时不需深究，也不妨碍学生对整体内容的理解。经过严格的推理过程，学生能够了解其来龙去脉，不再只是机械地记忆，而是从根本上理解这些概念。

4"结束语

习题教学是新课教学的延续，是反馈学习成果的有效方式。时下，学生仍存在只注重刷题数量，而不看重刷题质量的现象，这样耗费了大量时间，换来的却是更多迷惑。立足于深度学习的习题教学，不仅仅是解答习题自身的知识点，更重要的是在学习中培养学生的思维能力和探索精神，帮助他们从繁重的作业负担中解脱出来，用正确的方式进行高效学习。这种教学旨在使学生从学习知识过渡到能够处理其他多种问题，形成伴随终身学习的必备素养，这也是教育的根本任务。

参考文献

［1］郭华.深度学习及其意义［J］.课程·教材·教法，2016，36（11）：25"-32.

［2］王吉旭，缑秀琴.用物理方法求常见曲线的曲率半径［J］.物理教师，2012，33（8）：66"-67.

［3］程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程.力学篇（第2版）［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2013：310.

基金项目：本文系安徽省教育科学研究项目2019年度立项课题“基于核心素养的高中物理深度学习的实践研究”（课题编号：JK19088）的研究成果。