GeoGebra软件在物理高考真题分析中的应用

摘"要：本文结合2020年高考全国Ⅰ卷第18题和浙江1月选考第22题的解答过程，利用GeoGebra软件模拟带电粒子在匀强磁场中运动轨迹圆的动态变化，建构直观清晰的几何模型，帮助学生解决思维上的难点，培养学生的物理思维。

关键词：GeoGebra软件；高考真题；带电粒子；动态圆问题

1"前言

带电粒子在磁场中运动的“动态圆问题”是高考的高频考点。在2020年的高考中全国Ⅰ卷第18题、全国Ⅲ卷第18题、浙江1月选考的第22题和7月选考的第22题都考查了不同类型的“动态圆问题”。同时，“动态圆问题”又是学生学习的难点。当粒子的速度大小或方向发生改变时，粒子在磁场中运动的轨迹圆会相应地进行“缩放”或“旋转”的动态变化。因涉及较为复杂的几何关系，致使很多学生无法建构正确的物理模型，进而在解答问题上出现困难。利用GeoGebra软件的动态演示功能，可展示轨迹圆的动态变化过程，把抽象的物理模型显性化和直观化，快速创设易于学生理解的学习情境。笔者通过分类讨论，梳理高考真题的解答步骤，详细介绍在GeoGebra软件中制作带电粒子在磁场中运动的“动态圆问题”的方法。

2"真题分析

2.1"缩放圆问题（粒子入射速度方向不变，大小改变）

例题"（2020年全国Ⅰ卷第18题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，弧ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。［1］在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（""）。"

A. 7πm6qB

B. 5πm4qB

C. 4πm3qB

D. 3πm2qB

2.1.1"问题解析

此题考查的是带电粒子在有界磁场中的运动。带电粒子从c点垂直于ac射入磁场，这些带电粒子的速度方向相同，但具有各种速率，因此运动轨迹各不相同，这构成了一道典型的“缩放圆”问题。粒子进入磁场后，所受的洛伦兹力提供其在磁场中做匀速圆周运动的向心力。通过推理可得粒子的运动周期为T＝2πmqB，在磁场中运动的时间t＝θ2πT＝θmqB。由表达式可知，粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，只与轨迹圆对应的圆心角有关［2］，对应的圆心角越大，在磁场中运动时间就越长。因此解决此题的关键在于寻找轨迹圆对应的最大的圆心角，由于粒子的速度大小发生变化，粒子射出磁场的位置会在半圆边界上移动，寻找轨迹圆对应的最大圆心角对于多数学生来讲存在困难。针对上述困难，可以利用GeoGebra软件直观地显示带电粒子的动态轨迹，结合数理分析进行解决。

2.1.2"GeoGebra动态演示

第一步，绘制情境。打开GeoGebra软件，选择“线段”工具在x轴上绘制线段cd，长度为“12”，再选择“半圆”工具绘制半径为“3”的半圆ab。

第二步，绘制缩放圆。选择“向量”工具过c点画出垂直cd向上的向量，代表粒子的速度v，再选择“圆（圆心与一点）”工具在cd上任选一点为圆心O画圆并与速度v相切作为粒子的运动轨迹，切点为c。拖动O点即可实现轨迹的“缩放”。

第三步，绘制角度。选择“交点”工具，点击粒子轨迹圆和半圆ab的相交处，绘制交点A为粒子从半圆ab的出射点，再选择“线段”工具连接圆心O和交点A，绘制线段OA，最后选择“角度”工具依次点击A、O、d三点，绘制角AOd。

第四步，动态演示。将O点从靠近c点处缓慢向d点移动，直观地模拟粒子速度v缓慢增大，使得轨迹半径逐渐增大的过程，观察轨迹变化和∠AOd的变化过程（见图1），从中可以发现，∠AOd的最大值为60°，故轨迹圆的最大圆心角为θ＝4π3。

第五步，结合GeoGebra动态演示进行数理分析（见图2）。选择“线段”工具连接c点和交点A，绘制线段cA，最后选择“角度”工具依次点击A、c、d三点，绘制角Acd，粒子从c点进入磁场，从A点离开磁场，可将此题等效为以直线cA为磁场边界的问题，由于△cOA为等腰三角形，所以∠AOd的大小一定为∠Acd的大小的两倍，当边界cA与半圆ab相切时∠Acd最大，最大值β＝30°，故∠AOd的最大值α＝60°。

2.2"旋转圆问题（粒子入射速度大小不变，方向改变）

例题"（2020年浙江1月选考第22题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（10n）的β衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子υe。如图所示，一些位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度L＝1.2m以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离OP为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。［3］

已知电子质量me＝9.1×10－31kg＝0.51MeV/c2，中子质量mn＝939.57MeV/c2，质子质量mp＝938.27MeV/c2。（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）

若质子的动量p＝4.8×10－21kg·m·s－1＝3×10－8MeV·s·m－1。

（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以MeV为能量单位）；

（2）当a＝0.15m，B＝0.1T时，求计数率；

（3）若a取不同的值，可通过调节B的大小获得与（2）问中同样的计数率，求B与a的关系并给出B的范围。

2.2.1"问题解析

求解此题的关键是要画出质子在磁场中运动的动态轨迹，位于P点的质子源在纸面内向各个方向均匀地发射质子，即质子的速度大小不变，但速度可沿纸面内的任意方向，这是一道典型的“旋转圆”问题。本题对大多数学生来讲不太容易理解，原因如下。

问题1：不理解能打在探测板上的质子的发射速度需满足什么条件。

问题2：不理解质子为什么不能是左右对称地打在探测板上。

问题3：不理解质子打在探测板上最远处时对应的圆轨迹是半圆的情况。

问题4：不理解质子打在探测板上的分布是怎么样的。

显然板书或纸笔作图很难将质子的运动轨迹动态地演示出来，而借助GeoGebra软件可以很直观地演示质子的动态轨迹，帮助学生解决问题。

2.2.2"GeoGebra动态演示

第一步，绘制情境。打开GeoGebra软件，选择“线段”工具，根据比例关系，绘制长度为“8”的线段AB作为探测板；选择“描点”工具，在距离探测板中心上方“1”处绘制点P作为质子源；选择“圆（圆心与半径）”工具，以P点为圆心绘制半径为“1”的圆；选择“对象上的点”工具，在圆上任选一点v，用“向量”工具连接Pv，右击圆后选择“显示对象”来隐藏圆，以向量Pv作为质子发射的速度v；选择“描点”工具绘制出探测板的中点O。

第二步，绘制旋转圆。选择“垂线”工具，过点P作Pv的垂线，再选择“圆（圆心与半径）”工具，在垂线上任选一点为圆心C画半径为“2”的圆，切点为P，注意根据左手定则确定质子的偏转方向，右击垂线后选择“显示对象”来隐藏垂线，拖动v即可使轨迹圆在纸面内完成360°旋转，使质子轨迹与探测板相交，再选择“交点”工具绘制沿偏转方向过来的轨迹与探测板的第一个交点D作为质子打在探测板上的位置。

第三步，动态演示。选择“线段”工具，连接C点和D点，C点和P点绘制出线段CD和CP，并设置为虚线，逆时针拖动v，当轨迹和探测板恰好出现交点D时，轨迹与探测板左侧相切，说明质子恰好能打在探测板上，如图3所示。为方便观察质子打在探测板上的位置变化，可以右击交点D，选择“显示轨迹”，当质子与探测板的交点D恰好要消失时，轨迹与探测板右侧相切，说明质子恰好无法打在探测板上的情况。很显然，质子打在探测板上不是左右对称的，运动轨迹从“优弧”变为“劣弧”。质子在探测板上的分布图如图4所示。

由上述分析过程可知，质子打在探测板的左侧OA部分的长度明显大于右侧OB部分的长度且并未超过探测板的最左端，打在左侧最远的情况如图5所示，轨迹恰好是以PD为直径的半圆。从左侧相切到左侧最远的这部分探测板的长度也可以称为“二次探测区”。

第四步，结合GeoGebra动态演示进行数理分析。结合图3，质子恰好打在探测板上的情况，过P点作CD的垂线，垂足为E点，结合直角△PCE可得sinθ＝CECP＝R－aR，即sinθ＝12，故θ＝30°；或直接使用“角度”工具显示角度大小，数理关系和角度显示如图6所示；故能打在探测板上的质子所占的比例为η＝π6＋π＋π62π＝23。要保证计数率不变，就是保证恰好打在探测板上的质子的出射角度不变，始终满足sinθ＝R－aR＝12，即a＝R2，再结合图5中的直角△OPD；当磁感应强度B逐渐减小时，质子的运动半径逐渐增大，恰好打在探测板最左端的质子具有最大的运动半径Rm，满足的几何关系为（2Rm）2＝a2＋L22，最终可求得B≥1540T。

3"结束语

讲解一道物理题，离不开条理清晰的解答过程，也离不开简便直观的辅助工具。2020年高考全国Ⅰ卷第18题和浙江1月选考第22题看似简单，实则考查了学生的分析能力、推理能力、作图能力、动态轨迹的想象能力、数理结合能力。GeoGebra软件功能强大，简单易学，利用GeoGebra中的动态演示功能，将带电粒子在磁场中运动的“缩放圆”“旋转圆”等动态问题制作成直观可视化的教学课件，可以有效降低教师的教学难度和学生的理解难度，真正做到突破教学难点，达到事半功倍的效果。

参考文献

［1］吴迎春，张晓明. 解析法求解2020年高考全国理综Ⅰ卷第18题［J］. 中学物理，2021，39（3）：60"-61．

［2］李开玮. 利用动态圆求解粒子在电磁场中的运动问题［J］. 南方农机，2021，52（10）：161"-162．

［3］陶汉斌. 建构物理模型"厚植物理观念——鉴赏2020年1月浙江选考物理压轴题［J］. 物理教师，2020，41（5）：84"-86，89．