基于SOLO分类理论的数学符号意识

SOLO分类理论以等级描述为显著特征，界定了从低到高的五个进阶式思维结构水平：前结构水平、单点结构水平、多元结构水平、关联结构水平和拓展抽象结构水平。基于SOLO分类理论的学业评价能客观、有效地测评学生的符号意识素养水平，显示学生的数学思维层次。笔者基于SOLO分类理论，结合符号意识的内涵，构建了符号意识的“4水平（不涉及前结构水平）、12层次”评价框架，为教师合理制定符号意识培养目标和教学方案，科学测评学生符号意识的发展水平提供借鉴。

一、单点结构水平：感知与识别

数学符号的感知与识别水平的表现包括知道数学符号可泛指任意数或一类数，也可指特定的未知数。基于此，我们可将符号意识的感知与识别水平细分为3个层次：①感知数学符号读写的基本规范；②识别数学符号在特定情境下的含义，了解字母表达与数字表达的异同点；③辨析不同情境下数学符号的不同意义。与之对应的测评题目如下。

（1）省略乘号，改写下面的式子。

[4×b=] [x×5=] [a×c=] [1×x=] [x·x=] [y×6=]

（2）“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿……”你可以用一句话就说完这首儿歌吗？

（3）以下两句话中，[a]和[b]的含义有什么不同？①交换律[a+b=b+a]。②小明今年[a]岁，爸爸今年比小明大28岁，爸爸今年（[a+28]）岁。

以上3道题分别对应符号意识的感知与识别的3个层次水平，既可用纸笔测试的方式进行评价，又可通过谈话交流的方式进行评价，有助于教师了解学生对数学符号的初步感知情况。

二、多元结构水平：理解与运算

数学符号的理解与运算应该突出“一般化”思想。数学符号的形式运算可帮助学生掌握一种研究路径，使所得结论具有一般性，从而凸显数学符号的本质。以字母a，b，c代表任意数为例，这一做法规避了逐一列举数字的繁琐，不但能降低表述的重复性，而且能为数学结论的推广与拓展奠定基础。再如，长方形面积公式S=ab这一符号化表达不仅适用于任何特定尺寸的长方形，还展现出强大的通用性。借助这一公式，我们可将长方形面积计算的逻辑拓展至平行四边形等几何图形的面积求解中，无需重新推导相关公式。基于此，我们可将符号意识的理解与运算水平细分为3个层次：①理解数学符号运算结果具有一般性；②掌握数学符号的形式运算方法；③根据数学符号运算结果进行简单的分析、推理。与之对应的测评题目如下。

游戏规则：首先用骰子随机掷出两个数字，组成一个两位数，接着将这个两位数十位上的数字乘2后加4，然后将所得结果乘5，最后加上个位上的数字。比一比，谁能更快地计算出最后的结果。

作答此题，层次1的学生表现是能想到用数学符号辅助思考；层次2的学生表现是能运用数学符号进行运算，即假设十位上的数字为[x]，个位上的数字为[y]，则这个两位数可写成[10x+y]，按照游戏规则，结果可用数学符号表示为[（2x+4）×5+y=][10x+][20+y=（10x+y）+20]；层次3的学生表现是能在符号运算的基础上进行分析与解释，说明“只要把随机产生的两位数直接加20，就可以快速计算出最后的结果”，并知道这样的计算具有一般性，如原来的两位数是36，最后的结果就是56。

以上题目可以帮助教师实施过程性评价和表现性评价，了解学生处于理解与运算水平的哪个层次，精准把握学生符号意识的具体发展情况。

三、关联结构水平：联想与推理

符号意识的联想与推理水平重在推理。合情推理是一种从特殊到一般的推理形式，经常用于发现规律。这种推理所得猜想虽然不一定正确，但它是创新和发明的源泉。演绎推理是一种从一般到特殊的推理形式，经常用于证明猜想，能够体现数学思维的严谨性。在小学阶段，通过类比、归纳等推理方法得出猜想，并联想数学符号的特性进行演绎推理来验证猜想，是培养学生有序思维、一丝不苟的数学理性精神的有效方法。基于此，我们可将符号意识的联想与推理水平细分为3个层次：①探索数学符号在特定情况下的数值，根据结果得出猜想；②运用类比、归纳等推理方法，通过联想得到猜想；③从一般的概念、公理出发，对猜想进行初步的演绎推理论证，并正确判断结论的真假。与之对应的测评题目如下。

根据能被3整除的数的特征，自主探索能被9整除的数的特征，并尝试通过简单的推理进行证明。

层次1的学生表现是先用特殊的数值进行尝试，如18，135，4068这些数都能被9整除，进而猜想能被9整除的数的特征是：一个数各个数位上的数相加的和能被9整除，这个数就能被9整除。层次2的学生表现是联想被3整除的数的特征以及9和3的倍数关系，通过类比推理得出上述猜想。层次3的学生表现是根据已有认知，以一类数为例进行演绎推理（中学生可拓展至对任意多位数的推理证明）。如以三位数[abc]为例进行如下演绎推理：[abc=]100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）=9（11a+b）+（a+b+c）。

通过让学生经历“尝试→猜想→推理→结论”的思维过程，教师不但可以评价学生对数学符号的联想与推理情况，而且可以促进学生深度学习，帮助学生提高利用数学符号解决问题的能力，发展抽象思维和推理能力。

四、拓展抽象结构水平：抽象与表达

数学符号的抽象与表达的评价点是学生能否对具体的研究问题进行符号化抽象，从而避免无关信息对问题解决的干扰，更好地建立数学模型，并从多样化的数学符号表达中筛选出合适的表征方式，助力问题的有效解决。促进学生符号意识发展的关键是提高学生的数学符号表达能力，基于此，我们可将符号意识的抽象与表达水平细分为3个层次：①能根据实际问题抽象出有研究价值的数学符号；②能用多种形式的数学符号（如图形、表格、关系式等）进行表征；③能对数学符号的多样化表达进行相互转换，并从中选择最合适的表达形式，实现问题的解决。与之对应的测评题目如下。

（1）小明在果园里摘水果，请你先分别选择合适的数学符号表示苹果、梨、桃子和李子的数量，再用数学符号表示出它们的总数和平均数。

（2）小明用完全相同的小正方体积木搭建一个高塔，并且希望这个塔在视觉上呈现出某种规律。从最下层依次往上的积木个数分别是33，31，29，27……请你帮助小明找出这个规律，并用多种形式（如图形、表格、关系式等）表示你发现的规律。

（3）请你观察并记录家里某盆植物的生长情况，探究植物的高度随着天数而变化的规律，尝试建立数学模型描述并预测这盆植物的生长速度。

以上3道题分别对应3个层次水平，层次1的学生表现是能进行简单的符号设定和数量比较，理解数学符号在记录信息中的基本作用。层次2的学生表现是通过表格、图形等方式表征数量关系，从不同的视角呈现数据。层次3的学生表现是通过数据记录、形式转换和简单应用，理解数学符号在问题解决中的重要作用，具有一定的符号转换与选择能力。分层次的测评题目能促进学生从简单符号设定到多样化符号表征再到符号转换与应用，实现符号意识的发展。

（作者单位：苏州工业园区星洋学校）

［本文系江苏省陶行知研究会立项课题“小学数学探究式作业设计的实践研究”（课题编号：JSTY14861）和江苏省现代教育技术研究2022年度立项课题“基于现代信息技术的小学数学探究式学习的实践研究”（课题编号：2022-R-104093）的成果］