基于变异理论的教学素材设计模式

北京师范大学教育学部课程与教学研究院院长，教授、博士生导师；中国教育学会小学数学教学专业委员会副秘书长，中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会副理事长，中国少数民族教育学会数学教育专业委员会副理事长；主持的课题有全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题“新课程小学数学、语文学科能力评价研究”、全国教育科学“十二五”规划教育部重点课题“读懂中小学生数学学习过程的方法研究”，以及国家自然科学基金面上项目“复杂情境下学生数学创造性思维的认知及脑机制研究”等；著有《小学生数学能力评价研究》《小学数学互动式教学》《学习者视角下的学习历程分析》等专著，发表学术论文100余篇。

张春莉

变异理论是教学论专家、瑞典哥德堡大学教授马飞龙（Ference Marton，又译“马腾”）创立的教学理论。该理论认为，正是由于变异，我们才能审辨出学习内容的关键属性。基于变异理论的小学数学教学模式通过引入正反对比案例、多样化的正例，为学生提供具有差异性和多样性的信息，引导学生通过信息的对比、概括和融合，逐步聚焦概念的关键属性，解决不同情境中的同类问题。这种教学模式有利于培养学生的批判性思维和问题解决能力。本文在阐释变异理论及其教学应用的基础上，以人教版数学五年级上册“多边形的面积”单元教学内容为例，探析如何应用变异理论设计”一题多变”教学素材，帮助学生掌握知识本质，达到举一反三、触类旁通的目的。

一、变异的三种模式

变异理论认为，变异可分为对比、概括和融合三种模式。“对比”指在某个维度上比较两个或多个事物、概念或现象之间的相似之处和差异之处。这种对比有利于突出事物的关键特征，使其更加明显和清晰，有助于学生更好地认识事物的本质，加深对事物关键属性的理解。这启示教师，教学新内容时可采取对比先行的教学原则。“概括”指在其他属性变化的同时，保持某个关键属性不变。这是一种逆向的教学设计思维，旨在引导学生在变化中找不变，进而深刻地理解关键属性。将不变作为背景，将变化的方面作为对象进行考察，属于对比模式；将变化作为背景，将不变的方面作为对象进行考察，则体现了概括模式（祝钱，《基于“变异理论”的初中化学解题教学实践——以实验探究题为例》，《化学教学》2020年第4期）。“融合”指向多个维度的变化，要求学生辨认并考虑这些维度之间的关系以及它们与学习内容的关系。借助融合多个维度的变化的学习素材，学生能够更全面地理解和运用新知。

二、不同变异模式在课堂教学中的应用

我们可以基于变异的三种模式将变异理论应用于小学数学教学。其具体表现有如下三种。

一是基于对比模式的正例与反例呈现。在教学新知识时，教师应为学生提供该知识点所对应的正例和反例，使学生通过比较发现两个例子的差异，进而把握该知识点的关键特征。例如，教学“多边形的面积”单元中《梯形的面积》时，教师可将一般的平行四边形、菱形和普通四边形作为梯形的反例，帮助学生快速找到梯形的关键属性——仅有一组对边平行。二是基于概括模式的多样化正例呈现。在找到关键属性之后，我们需要固定关键属性，同时改变其他属性。在《梯形的面积》教学的这一阶段，教师可以呈现梯形平行的一组对边分别是水平、竖直或倾斜的多样化情况，也可以从其他属性出发，如非平行对边的倾斜方向相同或不同的情况，让学生通过多个实例进一步理解已经发现的关键属性。三是基于融合模式的更加多样化的正例呈现。后续教学阶段，教师可以同步变化刚刚谈及的多个非关键属性，呈现更加“不规则”的梯形，让学生从多种变化中找到始终不变的本质属性，全面、深入地理解新知。

三、依据变异理论设计“一题多变”教学素材

探究多边形的面积计算，不仅是为了解决实际问题，还有利于增强学生的空间观念和推理意识。教材中相关内容的编排逻辑是：从长方形的面积公式探究开始，顺次安排平行四边形、三角形、梯形的面积公式探究。这种逐步推进的方式有助于学生建构多边形面积计算的通理通法，形成整体认知：先通过割补、拆分、拼接等方式将未知面积公式的图形转化为已知面积公式的图形，再通过图形之间的联系推导出新图形的面积公式。实际教学中，学生常常在图形面积计算方面出错，而将变异理论引入教学是提升教学效果的有效策略。下面，笔者基于以下教学路径，谈变异理论指导下的教学素材设计。

1.平行四边形面积的教学素材设计

首先，教师应采用对比的模式，通过提供清晰的正例和反例帮助学生理解平行四边形面积计算的核心原则。如图1所示，典型的正例可以是用底边a和高？的乘积计算平行四边形的面积，而反例要展示错误做法，如误认为邻边a和b的乘积是面积。这是学生受长方形面积公式影响而形成的常见误区。学生结合长方形面积计算的已有认知，对比探析上述正例和反例，就可以明确二者的差异，辨明对错，进而深入理解平行四边形面积计算原理。

其次，在概括模式指导下的教学中，教师可引导学生从以下两点出发，探析平行四边形的面积计算方法，形成在不同情境中迅速应用相关知识解决问题的能力。

一是改变高的位置。如图2所示，高无论是在平行四边形内部（图2-1），还是在平行四边形外部（图2-2），教师都要引导学生发现水平底边a这个“基准”，从而正确“配对”底和高。

二是考虑底边a的不同方向性。底边a无论是水平、竖直（图3-1）还是倾斜（图3-2），教师都要引导学生找到相应的高？，在正确“配对”的基础上解决面积问题。

最终，在融合模式指导下，教师要通过提供具有多个变异维度的平行四边形，引导学生计算面积并总结计算方法，形成更加全面的认识。例如，求图4所示平行四边形面积的题目。

该平行四边形的高需要学生自己寻找，边长需要学生自己测量，同时底边是倾斜的，这体现了两个维度上的变异。这种学习素材不仅有助于学生巩固测量技能，还有助于学生加深对平行四边形面积公式的理解，提高解决问题的能力。

2.三角形面积和梯形面积的教学素材设计

参照以上变异模式，教师可以用相似的方式设计三角形、梯形面积教学。笔者以《三角形的面积》教学素材设计为例做具体阐述。

首先，教师基于对比模式设计并呈现正反两种素材，引导学生精准找到三角形的高，并合理运用面积公式。教学素材如题目①。

①如图，请在下列四种求三角形面积的方法中，找出哪些方法是正确的，哪些方法是错误的。

A.[S=12ah] B.[S=12ab] C.[S=12ah] D.[S=12ah]

然后，教师基于概括模式，确立三种变化属性：改变三角形的形状——呈现直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三种情况；改变底边与水平面的关系——将作高的底边倾斜，使之不与水平面平行；改变作高的顶点——过不同顶点作高，再求面积。这三种变化属性分别对应的教学素材是题目②③④。

②测量图5中三个三角形的边长并求出其面积。其中，第一个三角形为直角三角形。

③测量图6中两个三角形的边长并求出其面积。

④写出求图7三角形面积的三种方法。

最后，教师在融合模式指导下同时改变三角形的形状、底边与水平面关系、作高的顶点，设计素材⑤。

⑤如图8，请分别以C和D为顶点作高，并通过测量高和对应底边的长度，分别求出两个三角形的面积。

通过应用变异理论，教师满足学生不同层次的认知需求，促使学生在面积计算学习中实现思维进阶，形成更加牢固的理解，提高迁移与运用能力。

四、通过“一题多变”教学应“万变”

在变异理论指导下，我们引入不同形式和结构的题目，呈现多样化的问题情境，能使学生在解决问题的过程中经历各种信息的变异，对概念形成更加深刻、全面的认识，同时熟悉同一类型题目的不同变式。

如，教学人教版数学五年级下册“分数的意义和性质”单元时，我们可以通过“一题多变”教学，帮助学生应对题目的“万变”。在比较分数大小的教学中，我们可以灵活改变需要比较大小的两个分数的形式，例如分别选择分母相同、分子相同，以及分子、分母都不同的分数进行比较；选择真分数、假分数、带分数等不同类型的分数放在一起比较。通过体会题目之间的共性与差异，学生能够迅速定位关键信息，辨别题目涉及的核心知识点，进而找到解题的核心要素，即将各种形式的分数化成同分母或同分子的分数后再进行比较。这样教学有助于学生形成在不同情境下迅速洞察问题的数学本质的能力，从而准确地迁移运用已有的解决问题思路和方法更好地应对各种新情境下的同类问题。

（杨楠、郭睿系北京师范大学教育学部硕士研究生）

责任编辑 刘佳