借助问题驱动，发展核心素养

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握教学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，培养良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。”在平时的教学中，教师只有正确把握教学方向，优化教学设计，才能帮助学生有效理解知识的本质，把握数学的本质，灵活运用知识，掌握思想与方法，构建知识体系，从而能有意识地用数学的眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界。

一、教学内容分析

“函数的基本性质（1）”是上教版高中数学教材必修一第五章第二节“函数的基本性质”的第一课时。本章是在初中和上一章学过的一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数这些具体函数基础上归纳共性，讨论函数的基本性质。对于函数的奇偶性，教材从学生熟悉的两个特殊函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性，比较系统地介绍了函数的奇偶性。另外，由于初中关于“轴对称”“中心对称”缺少严格的、可以用来进行代数检验的定义，在本教材中用一句话点明了轴对称、中心对称的实质。最终让学生体会到利用函数奇偶性研究函数的性质可以获得事半功倍的效果，为后续研究函数的其他性质做铺垫。

二、教学目标及重、难点

教学目标：

1.经历函数奇偶性概念的形成过程，理解偶函数与奇函数的概念与图象特征，体会数形结合、从特殊到一般等数学思想方法，发展直观想象、数学抽象的素养。

2.会在简单情形下利用定义证明函数为奇函数或偶函数，发展逻辑推理素养。

教学重点：理解偶函数和奇函数的概念和图象特征。

教学难点：奇函数、偶函数的图象特征的代数表达形式及其推理论证。

三、教学过程

（一）观图激趣，引入新课

教师用多媒体展示图1、图2，让学生欣赏生活中的“对称美”。

（设计意图：通过欣赏现实生活中具有对称美的图片，激发学生的学习兴趣，并为学习函数的奇偶性作铺垫。）

（二）复习旧知，温故求新

【问题1】下列函数中，哪些函数的图象关于轴成轴对称？

（1）y=x2； （2）y=x3； （3）y=x-1； （4）y=x-

思考1：如何判断函数图象是否关于y轴成轴对称呢？

我们知道一个图形关于直线l轴成轴对称，是指该图形上的任意一点关于直线l的对称点也在此图象上。

思考2：如何借助一个图形关于直线成轴对称得到一个函数图象关于轴成轴对称呢？

一个函数图象关于轴成轴对称，是指该图象上的任意一点关于轴的对称点也在此图象上。

（设计意图：借助已学过的幂函数，寻找函数图象关于y轴成轴对称的函数，一方面对所学知识复习巩固，另一方面为问题2做铺垫。）

（三）探究概念，领悟内涵

【问题2】函数y=f（x），x∈D图象具有关于y轴成轴对称的特征，其相应的自变量与函数值的对应关系是如何体现这个特征的？

借助函数y=x2说明f（x）=x2（见表1）。

观察并猜想：函数y=x2，x∈R的图象关于y轴成轴对称，那么对于任意给定的x0∈R，都有-x0∈R，并且f（-x0）=f（x0）。

证明：在函数y=x2，x∈R的图象上任取一点P（x0，y0），则y0=x02。

由于点P（x0，y0）关于y轴的对称点为P′（-x0，y0）（如图3所示）。因为函数y=x2的图象关于y轴成轴对称，那么P′（-x0，y0）也在函数图象上，即-x0∈R，y0=（-x0）2，从而得到（-x0）2=x02。

思考3：由特殊函数推广到一般函数结论是否依然成立呢？

求证：已知函数y=f（x），x∈D的图象关于y轴成轴对称，那么对于任意给定的x∈D都有-x∈D，并且f（-x）=f（x）。

证明：在函数y=f（x），x∈D的图象G上任取一点P（x0，y0），就有x0∈D，并且y0=f（x0）.由于点P（x0，y0）关于y轴的对称点为P′（-x0，y0）（如图4所示）。 如果函数y=f（x），x∈D的图象关于y轴成轴对称，那么P′（-x0，y0）也在函数图象G上，即-x0∈D，并且y0=f（-x0），得到f（-x0）=f（x0）.这说明，如果函数y=f（x），x∈D的图象关于y轴成轴对称，那么对于任意给定的x∈D，-x∈D均成立，并且f（-x）=f（x）。

【问题3】如果自变量与函数值的对应关系满足：对于任意给定的x∈D，均有-x∈D，并且f（-x）=f（x）时，那么该函数图象具有关于y轴成轴对称的特征吗？

分析：即证明图象上的任意一点关于y轴的对称点也在此图象上。

证明：如果对于任意给定的x∈D均有-x∈D，并且f（x）=f（-x），那么在函数y=f（x），x∈D图象G上取任意一点P（x0，y0）且x0∈D（如图5所示），即y0=f（x0）.它关于y轴的对称点P′（-x0，y0），由于满足-x0∈D，并且f（-x0）=f（x0），即点P′的坐标为（-x0，f（-x0）），则y0=f（-x0）.即点P′（-x0，f（-x0））也在该函数图象上，因此该函数的图象关于轴成轴对称。

学生活动：阅读教材偶函数的定义。

（设计意图：从特殊到一般，从具体到抽象，先猜想再证明。通过问题2、3，得到“函数的图象关于y轴成轴对称”等价表达形式。）

【问题4】思考下列问题：

1．判断函数y=x2，x∈［1，-2］是否为偶函数。

2.已知函数y=f（x），x∈D“任意给定的x∈D，有-x∈D”是“该函数为偶函数”的 条件。

3．判断下列命题真假。

（1）已知函数y=f（x）（x∈R），是一个偶函数，则f（-2）=f（2）。

（2）已知函数y=f（x）（x∈R），若f（-2）=f（2），则函数y=f（x）是一个偶函数。

例1 证明：函数y=2x4-3x2是一个偶函数。

证明：函数y=2x4-3x2的定义域为R，

记f（x）=2x4-3x2，在R中任取一个实数x，都有-x∈D，并且f（-x）=2（-x）4-3（-x）2=2x4-3x2=f（x）

因此，y=2x4-3x2是一个偶函数。

（设计意图：通过问题4进一步理解偶函数定义中的关键词，体会到函数的奇偶性是函数的整体性质。通过例1并进一步向学生展示用偶函数的定义证明一个函数是偶函数，并归纳证明的步骤。）

（四）类比方法，自主探究

学生活动：阅读教材中奇函数的定义，完成下列表格。（见表2）

（设计意图：学习函数奇偶性的定义后，学生可以自行选择解题方法，进而掌握判定函数奇偶性的方法。）

（五）例题讲解，巩固新知

例3 是否存在定义在R上的，且既是奇函数又是偶函数的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说明理由。

解：这样的函数是存在的，函数y=0，x∈R就是一个满足这些条件的函数。

设满足这些条件的函数为y=f（x），对任意给定的实数x0，一方面因该函数是奇函数，故f（-x0）=-f（-x0）；另一方面，因该函数是偶函数，故f（-x0）=f（x0）。

因此f（x0）=-f（-x0），即f（x0）=0，所以这样的函数只有一个，即y=0，x∈R。

【问题6】既是奇函数又是偶函数的函数是唯一的吗？

函数y=0，x∈D（只要任意给定的x∈D，均有-x∈D即可）。

（设计意图：在掌握偶函数、奇函数的定义的基础上，将本节课的探究难度再一次提升，进一步理解并探究既是奇函数又是偶函数的函数，并得出相关的结论。）

（六）归纳小结，整体认知

1.本节课的主要知识是什么？

2.本节课感悟到了哪些思想和方法？

（设计意图：通过反思式问题设置让学生进行开放式的自主小结，积累探究经验，深化相关思考与认识，形成良好的认知结构。）

（七）课后作业，拓展提高

【基础练习】

1.若函数y=f（x）的定义域为R，则y=f（x）为奇函数的充要条件为（ ）

A.f（0）=0；

B.对任意x∈R，f（x）=0都成立；

C.存在某个x0∈R，使得f（x0）+f（-x0）=0；

D.对任意给定的x∈R，f（x）+f（-x）=0都成立。

2.设偶函数y=f（x）的定义域为［-5，5］，若当x∈［0，5］时，y=f（x）的图象如图6，则不等式xf（x）＜0的解是 。

3.证明下列函数是奇函数。

（1）y=2x-2-x；（2）y=log2（1+x）-log2（1-x）

【能力拓展】

1.已知y=f（x）是奇函数，y=g（x）是偶函数，且f（-1）+g（1）=3，f（1）+g（-1）=5，则g（1）= 。

2.（1）设y=f（x）为定义在R上的奇函数，y=gx为定义在R上的偶函数，对任意实数x，都有f（x）+g（x）=3x，求y=f（x）与y=g（x）的表达式。

（2）对于定义在R上的任意函数y=h（x），是否总存在R上的奇函数y=f（x）和偶函数y=g（x），使得对任意实数x，都有h（x）=f（x）+g（x）。

【探究提高】

1.已知函数y=f（x）的图象关于x=1对称，研究函数y=f（x）的表达式满足的条件。

2.已知函数y=g（x）的图象关于点（1，0）对称，研究函数y=g（x）的表达式满足的条件。

四、教学反思

（一）创设_{407031ba9cb47dbd6b4a54f979fbae08}情境，体现学科育人价值

本节课通过生活中存在的对称美引入课题，让学生感受到数学来源于生活，借用中国传统的剪纸文化，不仅提高了学生的学习兴趣，还渗透学科育人价值，让学生充分地在教学活动中去观察、思考、探究。

（二）问题驱动，有序开展递进探究

问题驱动是一种有效的教学方法，它通过提出问题、思考问题和解答问题的方式，促进学生的学习和知识掌握。在有序开展递进探究的过程中，问题驱动发挥着关键作用。

问题驱动可以激发学生的好奇心和探究欲望、有助于构建有序的学习过程以及培养学生的批判性思维和创新能力，还可以帮助学生更好地掌握知识、提升能力。因此教师应根据学生的实际情况、教学内容、教学目标及教学重难点，设计具有一定结构的问题，并注重问题间的联系。在教学过程中，教师还应关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，通过不断追问和引导，使学生的认知慢慢被打开，颇有一种“螺旋式上升”的意味在其中。

本节课借助函数图象的对称特征，归纳为点的对称关系，由点的对称关系，通过问题驱动学习，层层递进，抽象出坐标的关系进而形成偶函数、奇函数定义的符号语言。经历了由形得数，由数思形的过程，体会到数形结合的思想方法，以及从特殊到一般，具体到抽象的研究过程。从感性到理性，从数、形两个维度深刻解析了函数的奇偶性的概念。

（三）问题解决，发展学科核心素养

数学学科核心素养是数学课堂目标的集中体现，是在数学学习过程中逐步形成的。问题解决是发展学科核心素养的重要途径之一。

本节课的设计上，从生活中的图形过渡到学过的函数，通过问题1，引出函数图象关于y轴成轴对称，发展直观想象素养。通过问题2、问题3，得到“函数的图象关于y轴成轴对称”等价表达形式，进而得到偶函数的概念，并从中获得研究函数性质的一般方法。通过类比偶函数的研究过程得到奇函数的概念，并自主探究“函数的图象关于原点成中心对称”等价表达形式，提升学生归纳推理能力，发展数学抽象素养和数学逻辑推理素养。

在教学过程中，教师通过引导学生自主探究、积极思考和解决问题，可以帮助学生深入理解学科知识，提升学科能力，进而发展学科核心素养。通过自主探究、合作交流共享“智慧之光”，通过反思开展深度学习，学生逐步学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界，促进了“四基”。“四能”在课堂教学中的落实，能有效提升学生的核心素养。

（作者单位：上海音乐学院附属黄浦比乐中学）

编辑：曾彦慧