小学数学统整型关键课的确立与实施

［摘要］ 实施关键课教学是落实新课标课程内容结构化这一变化的脚手架。关键课可供迁移、可供生长，有利于核心素养的培养；统整型关键课是复习课中的一种重要课型，有助于学生建立更深刻的知识体系，进一步凸显知识本质。本文以六年级下册总复习“图形的测量”为例，通过忆“关键过程”、抓“关键图形”、定“关键线段”，展现统整型关键课的确立与实施的思路及做法。

［关键词］ 统整型；关键课；小学数学；“图形的测量”

“课程内容结构化”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的显著变化之一，实施关键课教学是落实新课标这一变化的脚手架，因为关键课可供迁移、可供生长，有利于学生核心素养的培养。统整型关键课是复习课中的一种重要课型，有助于学生建立更深刻的知识体系，进一步凸显知识本质，实现读书“由厚到薄”。下面，以北师大版小学数学六年级下册总复习“图形的测量”为例，探讨统整型关键课的确立与实施。

一、关键课的概念、类型及特征

认识统整型关键课，首先要了解其前概念“关键课”，即理解“关键课”的概念、类型和特征。

1.关键课的概念。俞正强老师将“种子课”界定为“关键课”，认为它是“处于学生思维发展重要节点的课，是老师教学应该花大力气的课”。笔者认为，小学数学关键课是指以发展学生数学核心素养为目标，以学科大观念中关键内容或关键节点为重点，对小学数学一个学习单元的认知起重要作用的一类课。例如，“什么是面积”是三年级下册“面积”单元的关键课。首先，它是学生学习图形测量的一个重要节点，因为学生之前学习了“长度测量”，包括“周长测量”，现在从一维测量跨越到二维测量，在数学知识和学生认知上都是一个飞跃；其次，“什么是面积”是“面积”单元的起始课，建立“面积”概念是学习面积单位和长方形面积公式的前提。因此，我们认为，关键课是源自数学知识或学生思维发展的起点、节点或拐点的一类课，其内容与方法是可迁移、可生长的。

2.关键课的类型。基于对关键课的本质内涵的理解，我们可以将其分为起点型、节点型和统整型_{LOjI4KqBxwvZNNg4J8RKjuTd/+9trbcYuBNvQ2ceXVQ=}等类型。起点型关键课是指源自数学知识起点的一类课，一般指某一学习单元中的第一课，其内容具有基础性、根本性和生长性的特点，后几课时的知识都是由它引发或展开的。例如，六年级下册“圆柱和圆锥”单元中，“面的旋转”是该单元的起始型关键课，因为这是从动态的视角认识立体图形，掌握圆柱和圆锥的特点，为后续学习圆柱的表面积和体积以及圆锥的体积打下基础。

节点型关键课是指处在数学知识或学生思维发展的重要节点的一类课。例如“长方形的面积”，它是学生在认识了长方形、知道了面积的概念和面积单位的基础之上学习的，为后续学习多边形面积、立体图形的表面积打下基础，是空间形式认识发展上的一次飞跃，是研究图形面积的“节点型关键课”。

统整从字面上理解指统一、整合。统整型关键课是指学生经过一个阶段学习后，教师引导学生将学过的数学知识进行整理、归纳和总结，使其形成一个有意义的整体的课。统整型关键课有助于学生建立更深刻的系统，让学生触及知识的本质。例如，笔者曾执教过的“加减乘除手拉手”就属于统整型关键课。学生经过一、二年级的学习，对加减乘除法有了一定的认识，但是对四则运算的学习是分散的。因此，在学生学习完除法后，有必要设计一节“统整型关键课”，将“加减乘除”放在一起，通过分类活动，帮助学生沟通四则运算之间的联系，促使他们掌握运算的本质。

3.关键课的特征。基于对关键课概念的理解和类型的探讨，我们用一棵树来做比方，起点型关键课是树的根，是基础，整棵树要从根部汲取营养，因而起点型关键课具有基础性和生长性的特征；节点型关键课是树干与树枝的联结点，是整棵树的关键点，可供迁移，因而节点型关键课具有深刻性、迁移性；统整型关键课可以看作一棵完整的树，树的各个部分相互关联、相互作用，形成一个有机的整体，它强调关联，关注本质，因而统整型关键课具有整体性、系统性的特征。

二、统整型关键课的确立分析

无论是在学习、研究还是工作中，统整都发挥着重要的作用，统整型关键课有助于学生建立更深刻的结构和对知识本质更深入的理解。作为总复习的关键课，自然属于统整型关键课。该类课不仅具有关键课的一般特征，也体现了总复习的特点。对于一个主题的总复习，一般要经历“理要点—找联系—会应用”三个阶段。“理要点”是复习单元的第一层面的教学单位，它是复习的起始课，通过回顾并梳理该复习单元的知识要点，形成对该单元的整体概览；“找联系”是复习单元的第二层面的教学单位，是复习的关键课，通过寻找复习单元知识间的联系，进一步凸显知识本质，实现“读书由厚到薄”；“会应用”是复习单元的第三层面的教学单位，通过多层次、多维度的练习，促使知识得以固化、变化和深化，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，发展应用意识。

例如，“图形测量公式那些事儿”就是“图形的测量”复习单元的关键课，是在“理要点”的基础上找图形测量公式之间的联系，旨在打通一维测量、二维测量和三维测量，凸显图形测量“度量单位的个数”这一本质，体会图形测量的一致性。如图1所示，“图形测量公式那些事儿”作为“图形的测量”复习单元的关键课，在“理要点”的基础上引导学生找图形测量公式之间的联系，从一维测量转向二维测量和三维测量，凸显图形测量“度量单位的个数”这一本质。具体内容如下：从找图形面积公式联系入手，结合公式的推导过程，找到图形之间的联系，即圆形、三角形、梯形、平行四边形都可以转化为长方形，并迁移运用，将其他不规则、较复杂的图形转化为学过的基本图形，最终都转化为长方形，从而确定长方形为面积测量的基础图形。结合长方形的面积公式推导过程，将二维测量转化为一维测量，由数面积单位的个数到算面积，优化思维模型。立体图形的体积公式之间的联系与公式推导过程同样如此，周长公式也是这样，做到触类旁通，由此培养学生的量感及空间观念。

三、统整型关键课的实施案例

高质量的复习，需要设计高质量的统整型关键课，从而帮助学生既“见森林”又“建森林”。现以“图形测量公式那些事儿”为例，展现统整型关键课的课堂教学实施策略。

（一）忆“关键过程”，找图形测量公式的联系

在小学阶段，图形测量公式包括周长公式、面积公式和体积公式。在总复习阶段要想通过建立图形测量公式之间的联系找到度量本质，更宜从面积公式开始。因为小学阶段图形周长公式较少，而面积公式较多且比周长和体积更为繁杂，同时面积的内容比重也较大。以北师大版教材为例，周长和体积只需要分为两个阶段就学习完了，而面积则分为长方形、多边形面积以及圆的面积三个阶段来学习。复习课应先复习重点和学生易混淆的知识，稍微简单的知识，学生可以举一反三。基于此，笔者认为可以重点让学生梳理面积公式推导过程，养成结构化的意识，帮助学生梳理面积知识，使之结构化。进而，让学生借用梳理面积公式的方式和方法来梳理体积公式之间的联系。最后，学生自然会联想到周长公式，并可能做大胆猜测：周长公式的测量方法和其中的道理也是一回事。这样一气呵成，符合学生学习的一般规律。如何找到图形测量公式之间的联系？图形测量公式的关键在于推导过程，因而笔者设计了回顾公式的推导过程，突出公式之间的联系。

一是回顾面积公式的推导过程，找到面积公式之间的联系。基于学科大概念，设计核心问题“面积公式之间有什么联系”，布置“回顾面积公式的推导过程，找一找它们之间的联系”这一学习任务，让学生以四人小组为单位，用学具袋里的图形在小黑板上摆一摆，并用箭头连一连。如图2所示，学生作品如下：①箭头从长方形发出的，即从学习的先后顺序找到联系；②箭头都指向长方形，利用转化的方法推导公式，即新学图形的面积都可以转化为学过的图形的面积；③箭头指向三角形的，因为平面图形的面积可以通过分割转化成三角形来计算；④箭头指向梯形，因为梯形面积公式是多边形面积的万能公式，圆的面积也可以转化为梯形来计算。

二是迁移“找联系”的经验，找到体积公式之间的联系。在解决核心问题“体积公式的推导方法与道理也是一回事儿吗”时，设计了“回顾立体图形体积公式的推导过程，和同桌说一说它们的联系”，学生通过交流汇报，呈现了如图3的成果：①箭头由长方体发出的，即从学习路径上找到联系；②箭头都指向长方体的，因为正方体体积可以由长方体推导得到，圆柱可转化为长方体，圆锥可转化为等底等高的圆柱；③长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积都与底面积、高有关。进而引入对点变式练习，明确“直柱体的体积=底面积×高”。

通过回顾图形测量公式的推导过程，厘清图形测量公式之间的关联，将它们连成线、结成网，形成完整的“知识面”，促使学生体会转化的数学思想方法，明白“面积公式在推导方法上是一回事儿”“体积公式在推导方法上也是一回事儿”，从而实现对知识形成过程的理解。

（二）抓“关键图形”，明图形测量知识的联系

统整型关键课教学强调知识之间的关联，这就需要抓住图形测量的本质，回到知识的原点进行理解。通过找图形测量公式之间的联系，学生明白“长方形、长方体分别是图形面积测量和体积测量的基础”。于是，聚焦关键图形“长方形”和“长方体”，让学生结合长方形面积公式的推导过程、长方体的体积公式的推导过程，阐述“为什么长方形面积=长×宽”和“为什么长方体的体积=长×宽×高”的道理，启发学生回到原点去理解“长方形的面积=包含面积单位的个数=每行面积单位个数×行数”和“长方体的体积=包含体积单位的个数=每行体积单位个数×行数×层数”（见图4），进而发现量“面”和量“体”可转化成量“线”再用公式算，都能得到图形中包含面积单位或体积单位的个数，从而得出面积测量和体积测量的道理是一回事儿。

面积测量、体积测量存在维度的转化，而周长测量属于一维测量，并没有维度的转化，根据图形的特征只需要测量关键线段的长度，再利用周长公式即可得到图形的周长。进而，将找面积公式、体积公式之间的联系的经验迁移到周长公式上，让学生观看相关微课，打通一维测量、二维测量和三维测量之间的联系，感悟图形测量本质上的一致性。最后，将本课课题“图形测量公式那些事儿”变更为“图形测量公式一回事儿”。

（三）定“关键线段”，建图形测量的本质模型

周长的本质是图形一周中包含多少个长度单位，平面图形面积的本质是平面图形中包含多少个面积单位，立体图形体积的本质是立体图形中包含多少个体积单位。周长、面积、体积不仅在知识结构上有着内在的联系，更重要的是它们在方法原理上有着共同的测量本质。因此，总复习时需要提供给学生合适的学习材料和不同情景，让学生经历分类和总结实践，感受到在实际测量时，对不规则图形的周长、面积或体积，常常可以先通过转化再测量，对于规则图形，可以根据图形整体特征，只需要测量关键线段的长度，再运用公式算出其中包含的单位个数，从而建立图形测量的本质模型。

基于此，给出下面两个任务：通过给定的“关键线段”（有两条相互垂直的线段，分别长15厘米和10厘米），①你能想到哪些平面图形？请画一画；②算出你画的图形的面积。如图5所示，学生在想象、操作中感受到二维面积计算可以转化为一维长度的测量，再用公式算出其中包含的面积单位个数，图形形状虽然不同，但只要关键线段确定，图形的面积就能确定，在分类、比较中领悟“关键线段的长短决定平面图形的大小”，从而发展学生的空间观念，建立起图形面积测量的本质模型。

随后，又出示立体图形，设计如下的任务：至少量出几条线段的长度就能计算出下图中立体图形的体积？画一画。

该任务中，学生会尝试将上面总结的图形面积测量的模型联想、迁移到立体图形中，发现立体图形仍然是根据图形的特征，找到关键线段，就可以算出包含的体积单位个数。通过以上两个任务的设计，让学生经历图形测量模型建构的过程，进一步加深对图形的认识。

概言之，在“图形的测量”的统整型关键课教学中，教师要紧扣图形测量的本质，抓住图形测量的关键要素，通过忆“关键过程”，找图形测量公式的联系；抓“关键图形”，明图形测量知识的联系；定“关键线段”，建图形测量的本质模型，真正实现读书“由厚到薄”。关键课教学是一个系统工程，教师要从学科知识结构化的特点和学生认知规律出发，聚焦核心素养，立足单元整体教学对单元学习内容进行解读，建构知识结构，设计单元课时，确定单元教学关键课，并规划单元学习路径，及时反思、调整、优化，以关键课的学习撬动整个单元内容的学习，促进学生对知识本质的把握、对思想方法的迁移运用、对单元学习内容的结构化认识，进而推动学生数学核心素养的发展。

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黄慧章 四川省成都市龙泉驿区第二小学校副校长，正高级教师，四川省特级教师，教育部“国培计划”指导专家。

兰 云 四川省成都市龙泉驿区第二小学校，成都市骨干教师。

徐龙燕 四川省成都市龙泉驿区第二小学校。