关注运算一致性，助力算理建构

［摘 要］教学苏教版数学教材三年级上册“除数是一位数的笔算除法”一课：通过复习旧知，引导学生回忆口算除法；探究新知，引导学生理解口算除法；横竖式对比，引导学生掌握竖式除法；迁移应用，引导学生计算多位数除法。这样基于运算一致性进行教学，有助于学生建构算理，深化对笔算除法的理解，促进学生数学思维的发展。

［关键词］苏教版教材；运算一致性；笔算除法

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）30-0008-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”）强调，“能进行小数和分数的四则运算，探索数运算的一致性；形成符号意识、运算能力、推理意识”。运算一致性是指在进行数学运算时，遵循统一的运算规则和运算顺序，强调不同数（如整数、小数、分数）和不同运算（如加、减、乘、除）之间在算理与算法上的一致性，使运算结果符合数学逻辑。具体来说，运算一致性主要体现在以下几个方面：（1）算理的一致性，即所有运算都可以基于某些基本的算理进行推导和解释，如分配律、交换律、结合律以及等式的基本性质等；（2）算法的一致性，即整数、小数、分数的算法在本质上是一致的，如都可以还原成计数单位与计数单位之间的运算，以及计数单位上的数字与数字之间的运算；（3）计数单位的统一性，即整数、小数、分数的运算都是基于计数单位进行的，计数单位架构起不同运算之间的一致性。

运算一致性在小学数学教学中具有重要的作用，主要体现在以下几个方面：（1）帮助学生理解数学的基本原理，掌握数学运算的本质和规律，从而形成正确的数学思维；（2）有助于学生将所学知识迁移到新的情境中，实现知识的迁移和应用，提高解决问题的能力；（3）基于运算一致性的学习，学生要不断地进行推理和验证，有助于培养他们的初步推理意识和逻辑思维能力；（4）数学新课标强调课程内容的整体性，运算一致性正是这一理念的具体体现，能帮助学生建立数学知识之间的实质性关联，展现内容与观念之间的融合。

如苏教版数学教材三年级上册“除数是一位数的笔算除法”一课，我基于运算一致性开展教学，旨在引导学生经历探索两、三位数除以一位数计算方法的过程，理解并掌握相关的口算和笔算方法，能正确口算和笔算两、三位数除以一位数。

一、课前思考

“两、三位数除以一位数”单元中的例5属于两位数除以一位数首位不能整除的笔算，此前学生已经学习了表内除法、有余数的除法、两三位数乘一位数、整十整百数除以一位数的口算、两位数除以一位数首位（或首两位）能整除的笔算等知识。

教材以“5筒多2个”的形式呈现52个羽毛球，并结合实物图提出问题：“如果两个班级平分，每个班级会得到多少个羽毛球？”在指导学生列出算式52÷2后，教材分两个层次展开教学。第一个层次，在操作中体会余下的1个十应该怎样分。教材要求学生借助摆小棒的形式，把52个羽毛球分成两等份。学生分的时候必然会出现每份先分得2个十，剩下的1个十不能再分的情况。这时，已有的生活经验会告诉学生，将剩下的1个十和2个一合起来可以继续分。这里，动手操作的目的不是为了找出每部分有多少，而是体会每份分得2个十之后，余下的1个十是如何再分的。这是建构首位不能整除的两位数除以一位数的竖式模型必须有的表象。第二个层次，帮助学生理解用竖式计算52÷2的过程和方法。由于学生已经掌握用竖式计算除法的基本过程，并且积累了较多的用竖式计算两位数除以一位数的经验，所以教材把52÷2竖式中的关键步骤留给他们自己完成，并提出问题：“余下的1个十，接下去怎么算？”通过问题启发学生联系操作经验，理解并掌握竖式计算的过程与方法。最后，教材还提醒学生进行验算，通过验算进一步理解相关的计算方法。

因此，“除数是一位数的笔算除法”的教学目标制订如下：（1）在探索笔算除法算理的过程中，初步掌握除数是一位数的笔算除法，能够正确、规范地书写笔算除法的竖式，并能准确计算出结果。（2）通过具体情境和问题，引导学生发现并提出数学问题，经历独立思考、合作交流解决问题的过程；经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，理解笔算除法的算理和算法，形成解决问题的基本策略。（3）激发学生学习数学的兴趣，培养学生认真、细致的学习态度和良好的学习习惯；培养学生的应用意识，使学生能够将所学知识应用于实际生活中，解决简单的数学问题。本节课的教学重点是经历除数是一位数的笔算除法的探究过程，理解并掌握笔算除法的算理和算法；教学难点是学会处理当被除数的某一位不够除时的问题，能够准确判断商的位数并确定商的位置。

二、教学设计

1.复习旧知，回忆口算除法

习题：60里面有（ ）个3，120里面有（ ）个4，200里面有（ ）个5。

教师出示习题，要求学生完成后说说自己的想法。

2.探究新知，理解口算除法

（1）联系生活，列式解决问题

问题：52根小棒能摆几个正方形？

教师先带领学生明确题目中的条件是有52根小棒、摆一个正方形需要4根小棒，要解决的问题是能摆几个正方形，再让学生根据题目中的条件列出算式52÷4。

（2）动手操作，探究口算除法

教师为每个小组提供小棒等学具，让学生先独立探究52÷4的计算方法，再在小组里分享交流。有的学生把52分成32和20，先算32÷4=8，再算20÷4=5，最后算8+5=13；也有的学生把52分成40和12，先算40÷4=10，再算12÷4=3，最后算10+3=13。教师组织学生比较这两种计算方法，使学生进一步明确除法的计算方法：52÷4，先算5个十除以4得到1个十，还剩1个十；把这1个十和剩下的2合起来是12，用12除以4等于3，1个十加3等于13，所以52÷4=13。

（3）乘法验算，检验口算除法

教师组织学生用乘法验算，检验发现52÷4=13是正确的。

（4）举一反三，巩固口算除法

口算：84÷7和78÷3。

教师出示口算题，先让学生独立口算，再说一说口算方法，感受整十整百数除以一位数与两三位数除以一位数口算的一致性。

3.横竖式对比，掌握竖式除法

（1）沟通联系，将横式变竖式

教师让学生把52÷4的横式计算转变成竖式计算，并解释每一步的由来：52，十位上的5除以4得到1个十，所以在商的十位上写1，还剩下1个十；剩下的1个十和个位上的2合在一起是12，用12除以4等于3，所以在商的个位上写3。

（2）举一反三，悟横竖式一致

教师让学生把84÷7和78÷3的横式改写成竖式，并在写竖式过程中理解除法的算理和算法，感悟横式和竖式的一致性。

4.迁移应用，计算多位数除法

（1）基础练习，巩固笔算除法

教师出示基础练习，要求学生用竖式计算69÷3和85÷5。学生完成后，教师展示学生的错题，组织学生分析错误的原因并纠正。

（2）拓展练习，渗透多位数除法

教师出示拓展练习，要求学生先计算256÷4和417÷3的横式，再将横式改写成竖式。学生完成后，教师展示学生的错题，组织学生分析错误的原因并纠正。

三、教学思考

1.教学目标合理，关注运算一致性

数学新课标强调课程的基础性、普及性和发展性，要求学生在掌握数学基础知识与基本技能的同时发展核心素养，包括运算能力、推理意识等。课前，我围绕知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等维度确定了本课的教学目标。从教学实践来看，大部分学生能够掌握除数是一位数的笔算除法的基本算法，并能进行简单的笔算。然而，在算理的理解和运用方面，仍有部分学生存在困难。这说明还要更加注重算理的教学，通过多样化的教学活动，帮助学生深入理解除法的本质。

同时，数学新课标强调数的认识与运算的一致性，即整数、小数、分数等不同数之间的运算具有内在的一致性。从运算一致性的角度来看，“除数是一位数的笔算除法”不仅是除法运算的基础，还是学生理解更复杂除法运算的关键。在教学过程中，我尝试从算理的一致性、算法的一致性、计数单位的一致性，帮助学生勾连除法的横式和竖式，促进学生理解除法的本质。

2.教学方法多样，激发学习兴趣

为了达成教学目标，我采用情境教学法、媒体演示法、反馈教学法和尝试教学法等多种教学方法，注重学生间的个体差异，确保每个学生都能得到关注和发展。

如创设与学生生活密切相关的情境，引导学生提出数学问题，进而引入除数是一位数的笔算除法。这样能有效激发学生的学习兴趣，使抽象的数学知识变得具体可感。又如，利用媒体直观展示笔算除法的计算过程，帮助学生理解算理。课堂上，我通过收集学生的反馈信息，了解学生对知识的掌握情况，及时调整教学策略，针对存在的问题进行有针对性的指导。同时，我鼓励学生先尝试用自己的方法解决问题，再在小组内交流讨论。这样开展教学，有效培养了学生独立思考和合作交流的能力，让学生体验到成功的喜悦。

3.课堂互动深入，学生积极参与

在课堂互动方面，我注重引导学生参与讨论和交流，通过提问、讨论、汇报等多种形式，充分表达自己的观点和想法。在教学过程中，我密切关注学生的表现，鼓励学生之间互相质疑、互相补充，并及时给予肯定和鼓励。对学习有困难的学生，我利用巡视时间进行个别辅导，帮助他们理解算理、掌握算法。同时，我通过小组合作的形式，让学习优秀的学生带动学习困难的学生，实现共同进步。我还建立奖励机制，对表现优秀的学生给予表扬和奖励，激发他们的学习积极性。

然而，在实际教学中，我也发现了一些问题。比如，部分学生在讨论中容易偏离主题，导致讨论效果不佳；在汇报环节，部分学生的表达能力有待提高。这提示我在今后的教学中要更加注重课堂管理，确保讨论和汇报的针对性与有效性。

综上所述，运算一致性作为数学教学的核心之一，不仅关注学生计算技能的精准性，还深刻地影响着他们对数学算理的理解与建构。在教学实践中，强调运算一致性，有利于教师运用不同的教学方法和手段，引导学生深入探索数学运算背后的逻辑，深化学生对所学数学知识的理解，从而增强教学效果，促进学生数学思维的发展。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 杨明岚.一致性视域下整数除法运算整体性的教学思考与设计：以“除数是一位数的除法”单元为例[J].教学月刊小学版（数学），2023（11）：50-53.

[2] 徐世凤.三力驱动，打造三实课堂：以“除数是一位数的笔算除法”单元教学为例[J].数学教学通讯，2024（1）：44-46.

[3] 韦武新.浅析结构化视角下的单元融合：以“除数是一位数的笔算除法”单元为例[J].小学教学参考，2024（17）：97-99.

（责编 杜 华）