由实验到推理：寻绎三角形稳定性的本质意蕴

［摘 要］课堂上，教师通过一系列实验操作活动，使学生在实践中直观感知三角形的稳定性；通过对比、验证四边形和五边形等多边形不具有稳定性，将抽象的几何概念具象化；通过推理应用，使三角形稳定性的本质意蕴透彻化，实现学生对所学知识的理解与内化。这样结合实验操作与推理应用开展教学，不仅能丰富教学的内容与形式，深入剖析并揭示三角形稳定性的本质意蕴，还有助于发展学生的思维能力与实践能力，促进学生核心素养的提升。

［关键词］实验；推理；三角形稳定性

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）30-0001-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”）在“课程理念”中指出：“教学活动应注重启发式……引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题。”这里所说的无疑是需要学生深度参与的教学活动，“实施促进学生发展的教学活动”实质上就是指实验操作和推理应用。

关于三角形稳定性的教学，教师教学时很容易把三角形稳定性的本质意蕴“滑过去”，学生也常常因此以为“拉不动就是三角形的稳定性”，导致对概念不求甚解，难以实现深度的数学学习，阻碍或影响后续学习。为了使学生对三角形稳定性的理解真正达到“知其然，更知其所以然”，笔者深入研读了大量有关三角形1fb8165e46309ce97d74d9d1cec0e65c0affacfa555383baa7b658f6a2146df5稳定性的文献，根据学情设计本研究课，现呈现出来与各位同仁研讨。

一、实验准备，初步感知概念的本质意蕴

（一）实验目的

在分组拼接三类三角形及四边形、五边形的活动中，理解三角形稳定性的本质意蕴，发现四边形、五边形等多边形不具有稳定性，感受实验操作的乐趣及价值。

（二）材料准备

32a07e9117fbdbdba8ad7315d488c1b77224c81ca853bc3480e5e5e871e0dd82材料1（直角三角形）：6cm、8cm、10cm的3根小棒

材料2（锐角三角形）：4cm、5cm、6cm的3根小棒

材料3（钝角三角形）：5cm、6cm、10cm的3根小棒

材料4（四边形）：4cm、5cm、8cm、10cm的4根小棒

材料5（五边形）：4cm、5cm、8cm、8cm、10cm的5根小棒

材料6：钢铁材质焊接成的长方形

通过准备实验材料，激发学生的好奇心，使学生对实验操作产生兴趣，初步明确实验目的，感知三角形稳定性的本质意蕴，为后续实验的开展奠定基础。

二、实验操作，让概念的本质意蕴具象化

数学中有许多抽象的概念难以理解，如三角形的稳定性，学生往往会出现理解上的偏差，误以为“拉不动就是三角形的稳定性”。实验操作是数学学习的重要方法，能将抽象的概念具象化、可视化，从而帮助学生深入理解和掌握概念的本质意蕴。

（一）学情了解

师：同学们，你们知道三角形的稳定性吗？

生1：知道，三角形的稳定性就是说它很坚固。

师：哦！它很坚固，有没有不同的理解？

生2：就是说三角形很稳固，拉不动。

师：再想想，还有不同的理解吗？

生3：四边形能拉动，所以四边形不稳定。

生4：五边形也不稳定。

生5：除了三角形稳定，其他图形都不稳定。

师：还有吗？

生（齐）：没有了。

师：原来你们是这么理解的。那么，三角形的稳定性是指单个的三角形还是指所有的三角形？

生（齐）：所有的三角形。

师：真佩服大家！思考很有水平。这里所说的三角形，确实是指所有的三角形。那我们要研究三角形的稳定性，就是研究——

生（齐）：所有三角形的稳定性。

师：可是，三角形有很多，我们也研究不过来啊！有什么好的解决办法吗？

生6：我觉得可以分类来研究。（其他学生受到启发，也纷纷同意该学生的观点）

师：那怎么分类？（师生共同回顾，完成三角形分类的板书）

（二）实验操作

师：请拿到3根小棒的同学拼接三角形，拿到4根小棒的同学拼接四边形。（学生拿出课前准备好的实验材料开始操作，教师巡视指导）

1.收集用4cm、5cm、6cm小棒拼接成的所有锐角三角形

师：你们用长度多少的3根小棒拼接成三角形？通过实验有什么发现？结论是什么？

生7：我用小棒拼接成锐角三角形，并且感觉大家拼接成的三角形都是一样的。

师：“一样的”是什么意思？

生8：就是指形状完全相同，像从同一个模子里做出来的一样。

生9：就像克隆一样，复制粘贴。

生10：就是说，我们拼接的这些三角形是完全相同的。

师：同学们讲得很有道理，也特别有意思！如何才能让他人相信你们拼接的这些三角形是完全相同的呢？

生11：将拼接好的同类三角形的对应边重叠，并“串”在同一根木棒上（见图1）。

师：你们对实验结果有没有疑问？

生12：我们拼接的三角形为什么会完全一样？

生13：可能是因为我们拿到的3根小棒都相同，所以拼接成的三角形都是一样的。

师：同学们认为呢？

生（齐）：我们也是这样认为。

师生总结提炼：锐角三角形三条边的长度确定它的大小、形状都相等，说明它的形状和大小没有发生改变（是确定的，唯一的）。

2.收集用6cm、8cm、10cm小棒拼接成的所有直角三角形

（在前面讨论交流的基础上，学生表达了他们在实验中的发现和结论，也把拼接成的直角三角形像锐角三角形那样“串”起来）

师生总结提炼：直角三角形三条边的长度确定它的大小、形状都相等，说明它的形状和大小没有发生改变（是确定的，唯一的）。

3.收集用5cm、6cm、10cm小棒拼接成的所有钝角三角形

（在前面讨论交流的基础上，学生表达了他们在实验中的发现和结论，也把拼接成的钝角三角形像锐角三角形那样“串”起来）

师生总结提炼：钝角三角形三条边的长度确定它的大小、形状都相等，说明它的形状和大小没有发生改变（是确定的，唯一的）。

4.概括三角形稳定性的含义

师：刚才同学们发现拼接的无论是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形，只要三角形三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小就不会发生改变，这就是三角形的稳定性。（板书：三角形具有稳定性）

5.收集用4cm、5cm、8cm、10cm小棒拼接成的所有四边形

师：实验后，同学们有什么发现？结论是什么？

生14：听了前面同学的汇报，我觉得我们组拼接的四边形也应该是完全相同的，可当比较我们组每人拼接的四边形后，发现四条边的长度虽然都是一样的，但每人拼接成的四边形是不一样的。

生15：有2个四边形有点像，但我们比较了一下，发现还是不能重叠，即不一样。

生16：也就是说，虽然都是用相同的4根小棒，但拼接成的四边形是不一样的。

师：即四边形的形状不能确定，是这个意思吗？

生（齐）：是的。

师生总结概括：当4条边的长度确定以后，四边形的形状和大小是不确定的，即四边形不具有稳定性（板书）。

6.收集用4cm、5cm、8cm、8cm、10cm小棒拼接成的所有五边形

师：用4cm、5cm、8cm、8cm、10cm这5根小棒拼接成五边形的同学，老师估计你们通过实验都有了自己的发现和结论，请暂时保密。现在，我们来玩个“猜猜看”的游戏。请同学们猜猜看，当5条边的长度确定后，拼成的五边形的形状和大小是不是确定的？也就是说，五边形有没有稳定性？

生17：四边形不具有稳定性，五边形肯定也不具有稳定性。

生18：不但四边形、五边形不具有稳定性，六边形、七边形等都不具有稳定性。

师：那你们的观点是——

生19：只有三角形才具有稳定性。

师：其他同学有没有不同的观点？

……

师生总结概括：当5条边长确定后，拼成的五边形的形状和大小是不确定的，也就是五边形、六边形、七边形等不具有稳定性;只有三角形才有稳定性，具有稳固、坚定、耐压的特点。

……

学生经历了实验的全过程，发现三角形三条边的长度一旦确定，它的形状和大小就不会发生改变。通过实验操作，学生观察自己动手拼接成的三角形，直观感受到三角形的稳定性。这样不仅激发了学生的好奇心和探索欲，还纠正了学生原来的理解偏差，使学生深刻理解了三角形稳定性的本质意蕴。

三、推理应用，让概念的本质意蕴透彻化

实验操作虽然能让学生直观感受到三角形的稳定性，但要达到透彻理解，还需经历推理应用的过程。这样可帮助学生真正理解和掌握数学概念的内涵与外延，提升他们的数学思维水平和解决问题的能力。

（一）关系推理

师：（出示一个钢铁材质焊接成的长方形让学生拉）无论怎么拉这个长方形，它的形状和大小都没有发生改变。四边形不是不具有稳定性吗？是不是我们的研究错了？

生（齐）：因为它是个长方形。

师：长方形不是四边形吗？

生1：这个长方形的四个顶点都被焊接固定住了，所以形状和大小当然不能发生改变了。

师：那你们的意思是——

生2：如果长方形的四个顶点是用螺钉固定的，而螺钉没拧紧，松动了，这个长方形就立不起来了。即使不碰它，它的形状和大小也会发生变化。

师：也就是说，四边形仍然是不具有稳定性的，只是顶点被固定住了。

师：（播放介绍铰链的视频）老师给大家科普一下，这叫铰链。（出示用铰链作为顶点的三角形）猜猜看，如果老师的手松开，三角形会发生改变吗？

生（齐）：不会。

师：（手松开）它的形状改变了吗？

生（齐）：没有。

师：即使把它挂在黑板上，这个铰链三角形的形状和大小也不会发生改变，因为三角形具有——

生（齐）：稳定性。

师：而用铰链拼接成的四边形呢？

生（齐）：会发生改变。

师：它的形状和大小会发生什么改变？

生3：变成一条直线。

生4：因为四边形不具有稳定性。

师：有没有办法让这个四边形也具有稳定性呢？

生5：用一根小棒把这个四边形不相邻的两个顶点连接起来，这样四边形就变成两个三角形，它的形状和大小就不会发生改变了。

师：这样四边形就具有稳定性了，是吧？

生6：这是利用三角形的稳定性，而四边形本身不具有稳定性，具有易变性。

（二）迁移应用

师：（出示铰链四边形）生活中哪些地方有这样的图形呢？

生7：学校门口的伸缩门。

师：你真厉害！大家给他掌声。同学们有没有仔细观察过学校门口伸缩门的结构？

生8：学校门口伸缩门的结构，实际上是利用了四边形的易变性。

（多媒体出示）小军说：“三角形具有稳定性，三角形才是最有用的，其他多边形都没有用。”

师：你想如何跟小军辩一辩呢？

生9：我们家大门也是可以进行伸缩的，还有一些晾衣架也是利用四边形的易变性制作出来的。

师：这就是物尽其用，各有各的特点。人也是如此，你有这样的能力，他有那样的能耐，每个人都有用处。

师：回顾一下，今天这节课，我们通过实验操作和推理应用，既探索了三角形的稳定性，又发现了其他多边形不具有稳定性，而是具有易变性。

……

几何学，是一门充满魅力与挑战的学科。在几何的世界里，概念如同基石，支撑着整个知识体系的大厦。然而，几何概念是抽象的，学生对几何概念的理解往往停留在表面，难以把握其本质意蕴。如何引领学生深入理解几何概念，成了几何教学中的关键问题。实验操作和推理应用，为我们提供了一条寻绎几何概念本质意蕴的有效途径。它能够引导学生从不同角度去思考、探究，将概念的本质意蕴逐渐揭示出来。

总之，本文以“寻绎三角形稳定性的本质意蕴”为例，尝试通过实验操作和推理应用，探寻学生理解几何概念本质意蕴的基本路径。数学教学中，教师应注重引导学生进行实验操作和推理应用，让他们在实践中感受数学的魅力，提高他们的思维能力和解决问题能力。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2019.

[3] 张忠斌.链式多边形与三角形稳定性的理想模型[J].中学数学，2018（2）：58-59.

[4] 王嵘，蔡金法.问题提出：从课程设计到课堂实践[J].课程·教材·教法，2020，40（1）：90-96.

[5] 黄德忠，焦欢欢.小学数学“蕴趣教学”：唤醒儿童认知内驱力[J].教学研究与评论（小学教育教学），2021（10）：48-51.

（责编 杜 华）

［基金项目］本文系江苏省教育科学“十三五”规划“人民教育家培养工程培养对象”专项课题“小学数学蕴趣教学的实践研究”（批准号：R-c/2018/03）暨南京市教育科学“十四五”规划2023年度课题“蕴趣交融：指向学科育人的小学数学新实践研究”（批准号：L/2023/079）的阶段性研究成果。