问题导学模式在初中几何推理教学中的运用

【摘要】几何推理教学中，问题导学模式能帮助学生明确思考方向，有助于学生快速获取解题思路，提升思维品质，培养和发展学生的逻辑推理与几何直观.学生能够自主有向思考，探寻解题的快乐，激发学习兴趣，树立学习数学的自信心.

【关键词】问题导学模式；初中数学；几何推理

问题导学模式是一种借助问题引导学生独立思考、自主学习、深度探究的教学模式，将这一模式应用到初中数学几何推理的课堂教学过程中，对于培养学生的综合能力有着积极意义[1].在初中阶段，几何课程是发展学生推理能力的主要载体.探寻思考过程，寻找解题思路是完成几何推理的首要任务.为摆脱就题论题的低效环节，以问题引领为抓手，引导学生学会用数学的思维思考问题成为几何教学的重要目标.本文主要以相交线与平行线相关内容为载体，探索问题导学模式在初中几何推理教学中的运用.

初中数学“图形与几何”领域主要研究图形的数量关系与位置关系.在几何图形中，特殊的位置关系常能带来特殊的数量关系，反之亦然.学生能否准确理解几何概念、正确进行推理，能否正确分析和使用几何文字信息与图形信息对解题起着关键作用.

解题教学过程中发现学生常难以充分应用题中的文字信息与图形信息，疏忽“特殊的位置关系常能推出特殊的数量关系”与“特殊的数量关系可以得出特殊的位置关系”.问题导学在几何教学中即通过问题引领，引导学生有向思考，在解题过程中将特殊的位置关系与数量关系二者紧密联系，寻找几何推理过程中的“桥梁”，将本无联系的边或角建立起联系，学生的思路得以打开，从而顺利完成证明.

1已知出发巧设问

例1如图1，四边形ABCD中，AB⊥AC．若∠1+∠B=90°，求证：AD∥BC.

问题1：已知条件中“∠1+∠B=90°”你是怎么理解的？

问题2：∠1与∠B在图中是否有特殊的位置关系？能进一步推出其他几何信息吗？

问题3：图中是否存在哪个角与这两个角有特殊的位置或数量关系？

问题4：借助这些关系，你能根据已知信息“∠1+∠B=90°”推得哪些结论？

解答1：由和为90°的数量关系可得∠1与∠B为互余关系.

解答2：读题标量，观察几何图形，二者并无特殊的位置关系，无法做进一步推理.

解答3：由AB⊥AC，结合三角形的内角和定理，可得∠B与∠ACB互为余角.由图可知，∠1与∠ACB互为内错角.

分析本题中的∠ACB能够使两个本无关系的角建立起联系，即起到“桥梁”作用.在本题的析题过程中“图中是否有哪个角与∠1与∠B均有特殊的位置关系？”能够帮助学生在几何图形中寻找相关几何模型，有向思考，寻找中间角，充分解读已知信息.

解答4：∠B与∠ACB互为余角，结合已知信息∠1与∠B互余，由同角的余角相等，因此可证明∠1=∠ACB这一特殊的数量关系.由内错角相等，可进一步推得AD与BC互相平行的位置关系.

分析本题已知信息“∠1+∠B=90°”对多数中下生而言，是无从下手的条件，问题引领去寻找“桥梁”，找中间角，通过图形中是否存在特殊位置关系切入，使∠1与∠B联系起来，进一步推出其他几何信息.审题与识图的过程中，目标指向明确引导学生观察几何图形，获取有关模型，可以有效培养学生的几何直观.借助中间角使∠1与∠B互余的信息得到更加充分的应用，明晰思路，学生的几何推理能力得以发展.

问题导向，目标明确，学生在解决此类问题时能够有迹可寻，找到解决问题的一般规律，感受几何推理的严谨与有序，逐步建立几何学习的信心，激发学习热情.将已知信息中角相关的特殊的数量关系标注图中，如果本身就具有特殊的位置关系，容易推出两线垂直或平行等特殊的位置关系.若相关角无特殊的位置关系，已知数量关系对部分学生而言是难以着手和理解的信息，引导搭桥找中间角建立联系，可以进一步推出更多信息.中间角的寻找对问题的分析和解答起着关键作用.

例2如图2所示，已知AD∥BC，∠A=∠C，试证明AB∥CD.

问题1：已知信息∠A=∠C可知∠A与∠C具有特殊的数量关系，在图2中，二者有特殊的位置关系吗？

问题2：请尝试寻找“桥梁”，搭建起∠A与∠C之间的联系.

解答1：∠B与∠A互为同旁内角，∠B与∠C互为同旁内角；这里∠B可以使∠A与∠C建立起联系.

解答2：①∠ADC与∠A互为同旁内角，∠ADC与∠C互为同旁内角；这里∠ADC可以使∠A与∠C建立起联系.

解答3：∠CDE与∠A互为同位角，∠CDE与∠C互为内错角；这里∠CDE可以使∠A与∠C建立起联系.

分析本题已知信息中需要关注的是“∠A=∠C”两个角在图中是四边形的对角，但依据这一等量关系无法进一步推理，引导学生思考是否有角与∠A、∠C均有关系，寻找具有特殊位置关系的中间角，在∠A与∠C之间搭建桥梁，建立联系，解决问题.问题引领，目标明确，本题的多种解法便自然生成，对中等生而言也能很快找到解题方法，明晰解题思路，学生在思考的过程中感受解题的快乐，体会成功的喜悦.本题的证明在后续学习平行四边形相关知识中，仍会遇见，理清图中的特殊位置关系与数量关系，能为后续复杂几何推理的学习奠定基础.

角度相等、互余、互补这些常见特殊关系的出现，结合图形，常能建立特殊的位置关系.反之，平行、垂直等特殊的位置关系，能够带来角之间特殊的数量关系.二者相互依存，有着密切的联系，在几何学习的初始阶段，需要引导学生关注图中特殊关系所带来的模型，更需要通过问题引领思考，培养学生的几何逻辑推理能力.问题导学模式下的几何推理教学，可以帮助学生有向思考，一题多解的思路自然打开，多数学生能够自行解题，并提供多种解题思路.

2设问出发勤联系

从设问出发，将题中文字信息与图形信息紧密联系，思考需要求证的角或线段与已知信息是否存在特殊的位置或数量关系，找到二者的“桥梁”，即能迅速理清题目的已知与求证，为解题提供有效思考方向.

例3如图3，BC⊥AC，CD是△ABC的高，求证：∠B=∠2．

问题1：∠B与∠2在图中有特殊的关系吗？

问题2：∠B与哪些角有特殊的数量关系？

问题3：∠2与哪些角有特殊的数量关系？

问题4：是否存在与∠B、∠2均有特殊位置关系的角？你能找到这两者之间的桥梁吗？

解答1：无特殊关系.

解答2：Rt△CDB中，∠B与∠1互余；Rt△ACB中，∠B与∠A互余.

解答3：可知，∠2与∠1互余；Rt△ADC中，∠2与∠A互余.

解答4：①Rt△CDB中，∠B与∠1互余；由BC⊥AC可知，∠2与∠1互余；因此，∠1可以作为∠B、∠2的桥梁，通过等量代换可证∠B与∠2相等.

②Rt△ACB中，∠B与∠A互余；Rt△ADC中，∠2与∠A互余；因此，∠A可以作为∠B、∠2的桥梁，通过等量代换可证∠B与∠2相等.

分析解答本题的突破口在需要证明的结论“∠B=∠2”中.观察图形发现∠B与∠2分别在不同的三角形中，要证明两角相等的数量关系，引导去找中间角，使其与两个角均有关系，在此搭桥建联系，即可顺利解答.本题可找中间角∠A或∠1均可完成证明.

例4如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．

求证：∠ADE=∠DFC.

问题1：∠ADE与∠DFC在图中是否有特殊的位置关系？

问题2：∠ADE与∠DFC在哪一个特殊的图形中？

问题3：你能找到联系两个角的“桥梁”吗？是否存在一个角，与∠ADE、∠DFC均有特殊的位置或数量关系？

解答1：无特殊位置关系

解答2：∠ADE是直角∠DEF中的一部分；∠DFC是∠DFE中的一部分，同时也是Rt△DCF中的一个内角.

解答3：∠EDF为直角，可知∠ADF与∠ADE互余；Rt△DCF中，可知∠ADF与∠DFC互余；二者的桥梁即为∠ADF.

分析本题为2021年福建中考第21题节选部分.分析题意，易发现本题为从问题出发.观察图形，可知∠ADE与∠DFC发现要证明的∠ADE与∠DFC，在图中并没有直接的位置关系，需寻找这两个角的中间角，即是否存在某个角与这两个角都有特殊关系.

由△EFD为等腰直角三角形可知∠EDF=90°，即∠CDF与∠ADE互余；由∠ACB=90°可得∠DCF=90°，即△DCF是直角三角形，可得∠CDF+∠DFC=90°（若能发现∠ACB是△DCF的外角，可以更直接得到两个角互余的数量关系），即∠CDF与∠DFC互余，由同角的余角相等，∠ADE=∠DFC得证.

本题从设问出发，为∠ADE与∠DFC找中间角，搭桥建联系.面对中考这一重要场合，若不能清晰明确的分析题意，学生很容易在本题消耗时间，无法在较短时间内获取答题思路，影响后续答题情绪和状态.在日常教学过程中，通过问题导向寻找中间角解决角度证明问题，方向明确且思路清晰，在这个过程中，有方向指引，可以培养学生的几何直观推理能力.

3结语

问题导学模式对几何推理教学有着重要作用，能起到事半功倍的效果.作为数学教师，在平时教学中若仅仅“授之以渔”是远远不够的，更重要的是让学生学会“悟其渔识”，即在引导学生学习数学时，除了让学生掌握必备的知识、技能，更要注重对学生进行数学思想与方法的渗透[2].几何学习的初始阶段，通过问题引领，在充分关联相关知识和思想方法的基础上，寻找基本模型，有助于获取解题思路，提升思维品质.

以题育人，问题导学模式的教学可以帮助学生在解题与析题过程中，深刻感受目标引领与方向指引的重要性，若没有正确的引领，将难以抵达成功的彼岸.罗增儒教授曾说“解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式，是掌握数学和学会“数学地

思维”的基本途径，是贯穿整个学习生活乃至整个生命历程的伴侣”.几何推理教学中，精准的问题引领有助于学生学会思考，掌握思考的方向和要领.

参考文献：

[1]肖献井.问题导学模式在初中数学课堂教学中的运用[J].新课程研究，2022（29）：66-68

[2]章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：杭州教育出版社，2017.