初中数学圆中最值问题的解题方法探讨

【摘要】几何是数学领域较为重要的内容，也是初中学生在学习时的难点.圆是几何学的构成元素，在初中出现的平面图形中属于重要的内容.在几何问题的处理中，圆的存在相当于一种工具，能够在大多数问题处理中使用，由此较快地找到问题处理思路，能够在短时间解决问题.本文对圆中最值问题进行深入剖析，提供从概念出发，垂线段求最值，以及位置转化，对称点求最值等解决圆中最值问题的解题方法，为学生处理相关问题提供新的解题措施，希望对学生解题思路的形成有启发性作用.

【关键词】初中数学；圆；最值问题；解题方法

圆是几何图形中相对重要的内容，在生活、数学等领域出现的频次较高，所以学生需要在圆的学习中，对于定义、直径、周长等概念有充分的认识，利于学生空间想象能力的发展，同时可以强化学生的集合思维，便于学生遇到几何问题后，迅速找到思路，用较短的时间解决问题.圆中最值问题在初中数学领域是相对重要的问题，因其涉及的内容复杂，求解过程需要进行的工作多，所以不少学生对其感到困惑.本文围绕圆中最值问题进行深入的研究，细致地剖析圆中最值问题，给出解答相关习题的方法.

1从概念出发，垂线段求最值

对圆作垂线，利用垂线段分析圆，建立解题模型，最终给出问题的处理方法.该线段主要由圆上的一点出发，与圆的半径或直径相交，为垂直关系的则是垂线段[1].在问题的处理中，如果找不到思路，可以运用作垂线的方法，获得新的已知条件，随后与习题原有条件进行联立，重新分析问题并建立相关的模型.在垂线段的辅助下，找到解决问题的新思路，最终构建问题处理方案，取得圆的最值[2].

例1在圆O中，弦AB=1，AB上有移动的点C，连接OC，过点C作CD⊥OC，CD与圆O有一交点D，CD的最大值是？

分析在求解CD最大值时，学生当下掌握的条件不足，所以不能快速找到问题的答案.此时需要根据问题求解建立新的条件，为此可以选择在圆中作垂线的方法，增加新的已知条件，与题干中弦AB=1联立，求解问题.对问题图形作辅助线OD，如图1所示.结合题目中给出的信息，线段OC与CD为垂直关系，所以两者的夹角为90°，将△OCD作为研究对象，OC为最小值时，CD的值最大.因此，对△OCD中各线段的大小关系进行探讨，在线段OC与AB垂直时，OC的值也就是最小值，B点、D点重合，此时CD的值最大，CD=12AB，将AB=1代入其中，CD=12.对本题问题的处理，需要将关键集中在垂线的设置，否则仅凭题干提供的信息，并不能对CD进行求解.作辅助线后，得到△OCD，当动点变化时，将CD套在△OCD中，对其最值进行分析与判断，最终求得答案.

学生在问题求解中，除了需要作垂线的辅助线，同时应该具有观察图形进行分析的能力，于图形的动态与静态变化中，找到临界点，利用题干给出的信息，进行图形各类关系的梳理，最终得出问题答案.

2位置转化，对称点求最值

在平面上的两个点，如果其存在以某直线或中心点对称的关系，则可以将这两个点称为对称点.在圆最值问题的处理中，圆形本身是对称图形，教师向学生渗透丰富的对称知识，学生可以在该种工具的运用下，于习题给出的图形中作对称点，增加新的条件，在此基础上转化特殊线段的位置与特殊点，在相关条件的运用下求到圆的最值[3].在圆的最值求解中，教师向学生传授对称点求解的方法，增加学生在问题分析时可选择的手段.学生对于可应用对称法的习题，作对称点后，只需要计算部分圆中的点，利用几何图形对称性的特点，即可得到问题的答案.在此期间节省不少的工作，还可以避免因计算量过大出现计算失误的问题[4].

例2圆O中AB是其直径，点M在圆O上，∠MAB=20°，AB=8，同时点N，P分别为弧MB中点、直径AB上的动点，如果MN=1，△MNP周长的最小值是？

分析对于该问题，在△MNP周长的求解中，学生可以使用对称法，找到对解答问题有利的点，并根据直径作对称的点.在此基础上计算部分图形，随后利用对称性解答.

如图2所示，在解题时作辅助线，得到N′.N′是N关于AB对称的点，利用该点解答问题.在该对称点作完后，连接NN′，MN′，ON，ON，OM.连点成线后，相关直线相交的点P′，便是△MNP周长最小时的点.学生发现该关系后，结合习题中给出的条件进行推导，∠A=∠NOB，∠NOB=∠MON，∠MON=20°，∠A=20°.根据该结果，∠MON′=60°，在问题处理时，因三角形各角相等的条件，推导其为等边三角形，基于等边三角形的特点，△MNP最小周长为5.

与其他解题方法相比，对称法的运用可以节省大量的计算量，减少学生在问题处理中所用的时间，便于学生快速获得答案.在本次习题处理中，学生能否作辅助线，是求解△MNP最小周长的难点，同时对△MNP类型进行判断，是该问题的另一难点，在学生处理两个问题后，答案也就呼之欲出了.

3结语

圆中最值问题在初中几何学中是相对重要的部分，圆的最值问题涉及内容复杂，其中包括圆的性质，学生在问题研究中还需要运用方法判断圆的最大值与最小值.由于过程复杂，不便于学生建立数学模型，难以对问题进行有效的分析，学生的逻辑思维会受到影响，难以在问题分析与研究中，快速找到解决的方法.数学教师针对学生在圆中最值问题分析中的表现，掌握学生处理此类问题的不足，给出解题方法，强化学生在问题分析与处理中的能力，为学生奠定稳固的学科基础.

参考文献：

[1]周利明.初中数学解题中数形结合思维的妙用——以“函数的最值问题”为例[J].数学之友，2023，37（07）：43-45.

[2]何星依.圆中最值问题的几种解题思路[J].数理天地（初中版），2023（15）：34-35.

[3]左朋法.初中数学解题教学中“圆”的解题解析[J].数理天地（初中版），2023（21）：26-27.

[4]杨丽娟.让转化思想在数学课堂中落地生根——以“圆中角的转化”教学设计为例[J].求知导刊，2023（28）：62-64.