初中数学函数应用题的解题方法探究

【摘要】在初中数学教学体系中，函数知识占据着核心地位，也是中考数学试卷的必考内容.但是多数初中学生认为函数知识过于抽象，学习难度、理解难度比较高，难以准确掌握函数解题方法，同时也容易出现抵触情绪，每当学生看到函数应用题型时，便出现消极思想，使学生的解题效率大打折扣.本文对初中数学函数应用题的解题方法进行分析，希望为初中数学教师教学提供新思路.

【关键词】初中数学；函数应用；解题方法

函数相关知识是初中数学教学的主要内容，也是中考数学中的常见题型.为此，初中数学教师要注重应用题解题教学环节，为学生打下坚实的函数知识学习基础，向学生传授有效的解题方法，强化学生的数学思维能力，使学生真正掌握函数的解题要点，提高学生的问题解决能力.

1完善知识体系，确立问题要求

在初中函数应用题解题教学中，教师要注重解题思路、解题方法的传授，帮助学生建立完整的知识体系，确立问题要求，分析问题中的有效条件，使学生理解题意内容.在沪科版初中数学教材中，函数知识以一次函数、反比例函数、二次函数为主，而二次函数也是历届中考的重要考点，占据较高的分值.为了提高学生的函数应用题解题能力，教师在解题教学时，需要帮助学生理清知识题型，增强学生的读题能力，使学生能够准确掌握问题的题干与题眼[1]，明确自己所要解决的问题，从而使学生在解题时保持数学思路清晰，提高学生的解题效率.同时，初中数学教师还要根据中考改革相关要求，让学生明确问题所要考查的知识点，依照函数解析式，找到相应的特殊点，通过图象特点，对问题中的隐藏条件进行分析，以此找到解决问题的关键点.

例1如图1所示，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），和y轴有一个交点，即点C（0，6），对称轴l为x=-2.

（1）求抛物线函数解析式.

（2）有一动点N，处于对称轴l上，在第二象限的抛物线中，有一动点P，若PA=NA且PA⊥NA，求此时P点

的坐标.四边形PABC面积最大时，求四边形PABC面积最大值以及此时点P的坐标是多少？

解析对于二次函数应用题，教师要引导学生转变固有思维认知，把抽象复杂的问题进行简化，使学生能够完全理解题目.对于该问题，教师可指导学生把点的坐标当成线段长度，再将线段长度变成自己熟知的方程式，便能将求证面积最大值问题变成底边最大值问题，降低学生的解题难度.如此一来，学生便能理清自己的解题思绪，准确得出相应的答案.

2注重解题细节，培养类比思想

在初中函数应用题解题教学中，教师要注重细节的把控，培养学生的类比思想，提高学生的解题效率.类比思想主要指在解题时，让学生回顾与这一问题相似的题目，找寻二者的关联性，通过类型模拟当时的解题方法，找到解决问题的关键点，使问题迎刃而解.类比思想也被称为“变式训练”[2]，可使学生达到融会贯通、学以致用的效果，但是想要让学生熟练掌握这一方法，教师还要让学生注重问题思考环节，找到解决问题的关键点，明确函数自变量取值界限等知识，不能盲目照搬照抄，否则容易影响最终的解题正确率.

例2篮球运动员投篮后球的运动路线类似于抛物线，若该抛物线的对称轴设定为直线x=2.5，求：（1）篮球运动路线的函数表达式以及自

变量的取值范围.（2）在篮球运动时，篮球距地面的最远距离.

解析对于此类问题，教师可带领学生共同回顾之前所做的题目，学生发现这一问题和运动员推铅球问题具有相似性，从而拿出自己的数学笔记，回想教师讲解运动员推铅球问题的解题思路，并注意问题细节的分析，依照现有的问题条件，画出与之相符合的图示，找到相应的未知数量，梳理数量内在关系，分析篮球运动的抛物线.

3实现转换思维，强化学科思维

初中学生在面对函数应用问题时，常常因解题思路模糊，陷入恶性循环.这样不但浪费了学生宝贵的学习时间，还会打消学生的学习信心.为此，初中数学教师在函数应用题解题教学时，要注重发挥自身的引导作用，让学生学会转换思维，促进数量之间的相互转换，学生基于逆向思维进行问题思考，把相应的已知条件假设为已知数，把变量当成产量，降低学生的解题难度，进而提高学生的解题效率，强化学生的逆向思维能力.

例3已知x1和x2是关于x的方程（x-2）（x-m）=（t-2）（t-m）的两个实数根，（1）求x1和x2的值.（2）如若将x1和x2当成直角三角形的两个直角边，当m和t满足什么条件，才能保证这一直角三角形面积最大？这一三角形面积的最大值是多少？

解析初中数学教师辅导学生解决这一函数应用题时，如若直接对实数m与t进行分析，学生能够发现无法得出答案，不但浪费做题时间，还会使学生陷入恶性循环，影响学生的解题实效.教师可让学生通过反思推导的方式，把问题中的m实数、t变量假设成常量，并将其常量x计算出来，以便梳理x、m（实数）、t的关系，得出相应答案.如此一来，学生将原方程进行变式：x2-（m+2）x+2m=t2-（m+2）t+2m，由于x2-t2-（m+2）x+（m+2）t=0，所以（x-t）（x+t）-（m+2）（x-t）=0，也就是（x-t）（x+t-m-2）=0，得出x1=t，x2=m+2-t.在解答第二问时，学生可根据直角三角形的面积公式，列出12x1x2=12t（m+2－t），计算得出在t=m+22，且保证m＞-2的情况下，以x1与x2为直角边的直角三角形面积最大，最大面积为（m+2）28或者12t2.

4结语

综上所述，在初中数学教学中，函数知识占据着主导地位，也是中考必考题型之一.由于函数知识涉及众多内容，解题难度比较大，教师要根据中考改革变化要求，运用行之有效的教学方法，指导学生找准数量关系，分析问题中的隐藏条件，理清学生的解题思路，才能使学生的问题解决能力进一步提升.

参考文献：

[1]曾文玲.初中数学应用题教学中数学建模法的应用[J].教学管理与教育研究，2023（22）：81-84.

[2]杨周，荣麟.以探究活动为支点，撬动课堂数学建模——以“锐角三角函数的简单应用”教学为例[J].中学数学（初中版），2022（03）：7-8+18.