刍议二元一次方程组的错解复原问题

【摘要】二元一次方程组是数学中一个重要的概念，它在数学分析和实际问题解决中有着广泛的应用．然而，在求解二元一次方程组时，错解是一个常见的问题．因此，如何复原错解成为一个值得探讨的问题．

【关键词】初中数学；二元一次方程组；错解复原

命题者常常命制含位置系数的二元一次方程组，通过设置参数给出学生的错因、正解和错解，再次考查二元一次方程组的解法，考查学生灵活的数学思维能力．

1抄错一个参数的复原问题

例1两位同学在解方程组ax+by=2cx+7y=3时，甲同学正确地解出x=－1y=－1，乙同学因把c抄错了解得x=－3y=－2，则a，b，c正确的值应为（）

（A）a=－3，b=－1，c=－5．

（B）a=1，b=－1，c=－5．

（C）a=2，b=－4，c=－10．

（D）a=3，b=1，c=－5．

解析把x=－1y=－1代入方程cx+7y=3中，

得－c－7=3，

解得c=－10，

把x=－1y=－1和x=－3y=－2分别代入方程ax+by=2，

得－a－b=2－3a－2b=2，

解得a=2b=－4，

故选（C）．

点评本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把x=－1y=－1代入方程cx+7y=3中求出c的值，再把x=－1y=－1和x=－3y=－2分别代入方程ax+by=2中得到关于a，b的方程组，解方程组即可得到答案．

2分别看错一个参数的复原问题

例2甲、乙两人解方程组mx+y=－3①2x－ny=－3②，由于甲看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为x=－1y=－2，而乙看错了方程①中的m的值，得到方程组的解为x=3y=6.请问原方程组的正确的解为多少？

解析因为甲看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为x=－1y=－2，

所以把x=－1y=－2代入方程①得－m－2=－3，

解得m=1.

因为乙看错了方程①中的m的值，得到方程组的解为x=3y=6，

所以把x=3y=6代入方程②得2×3－6n=－3，

解得n=32，

所以方程组为x+y=－3①2x－32y=－3②，

由①得x=－3－y③，把③代入②得：

2－3－y－32y=－3，

解得y=－67，

把y=－67代入③得：

x=－3－－67=－157，

所以原方程组的解为x=－157y=－67．

点评本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，由题意分别求出m，n的值，代入原方程组即可求解，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键．如果已经得到了错误的解，可以通过反推法来复原．即从错误的解出发，逐步回推，试图找到正确的解．

3将错就错求正解

例3在解方程组mx+2y=62x+ny=8时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为x=73y=23，小红看错了方程组中的m，得解为x=－2y=4．

问：（1）小军把n看成了什么数？小红把m看成了什么数？

（2）正确的解应该是怎样的？

解析（1）因为小军看错了方程组中的n，

把x=73y=23代入2x+ny=8，

得2×73+n×23=8，

解得n=5，

所以小军把n看成了5.

因为小红看错了方程组中的m，

把x=－2y=4代入mx+2y=6，

得m×（－2）+2×4=6，

解得m=1，

所以小红把m看成了1；

（2）把x=73y=23代入mx+2y=6，

得m×73+2×23=6，

解得m=2，

把x=－2y=4代入2x+ny=8，

得2×（－2）+n×4=8，

解得n=3，

所以原方程组为2x+2y=6①2x+3y=8②，

②－①得，y=2，

把y=2代入①得2x+4=6，

解得x=1，

所以原方程组的解为x=1y=2．

点评本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，考查方式较为新颖．依题意，得2×73+n×23=8，解得n=5，同理，得m×（－2）+2×4=6，解得m=1，即可得出答案，同样的方法可解得n=3．可见，解决这类错解问题，一定要弄清错因，学生要将错就错、实事求是地回答问题．求解正解时要绕过错误的问题，根据已有的正确结果解题．

4结语

考试中，学生可能会因为紧张或者粗心而犯各种错误．而命题者巧妙地运用这种错解思维命制了系数位置的二元一次方程组，借助二元一次方程组的解法来复原这类错解问题．二元一次方程组的错解复原问题是一个重要的数学问题，它涉及数学基础、解题技巧和实际应用等多个方面．通过仔细地审题和查找错因，运用反推法和代数法等手段，可以有效地复原错解，提高解题的准确性和效率．在实践中，错解复原方法也有着广泛的应用前景．期待未来有更多的研究能够深入探讨错解复原问题，为数学教育和实际问题的解决提供更多的方法和思路．

参考文献：

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