妙用勾股定理逆定理解决实际问题

【摘要】勾股定理逆定理是数学中的一个重要定理，它对于解决实际问题具有重要意义．本文通过实例说明如何利用勾股定理逆定理解决实际问题，主要包括建筑工程、测量等领域．

【关键词】初中数学；勾股定理；逆定理

1证明最短路径问题

例1如图1所示，在一东西方向走向河流的一侧有一个村庄C，河岸边原来有两个接水点A，B，且AB=AC，由于很多原因，由C到A的路已无法通行，C村为方便村民用水，决定在河岸边重新新建一个接水点H（A，H，B在一直线上），同时新修建一条公路CH，测得BC=2.6km，CH=2.4km，HB=1km．

（1）请问CH是否为从村庄C到河岸边的最近的路，请计算加以判断；

（2）求原路AC的长度．

解析（1）因为12+2.42=2.62，

即BH2+CH2=BC2，

根据勾股定理的逆定理有△CHB是直角三角形，

即CH⊥BH，

所以CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）.

（2）设AC=AB=x，

则AH=x－1，

在Rt△ACH中，CH2+AH2=AC2，

即2.42+x－12=x2，

解得x=3.38，

所以原来的路线AC的长为3.38km．

点评本题主要考查了勾股定理及其逆定理证明最短路径和求解距离问题，灵活应用勾股定理的逆定理和勾股定理是解答本题的关键[1]．

2间接测量长度

例2如图2所示，一棵25m高的树在某次大风中被刮折，从折断处A到树根B相距8m，树顶C落在离树根B点15m处，技术人员为了查看断痕A处的情况，在离树根B 6m的位置D处架起一梯子AD，点D，B，C在一直线上．求梯子的长度．

解析由题目已知可得：AB+AC=25m，

BC=15m，AB=8m，BD=6m，

∠ABC=∠ABD=90°，

所以AC=17m，

所以172=152+82，

所以AC2=BC2+AB2，

所以∠ABC=∠ABD=90°，

因为BD=6m，

由勾股定理得AD2=BD2+AB2，

所以AD=62+82=10m，

即这个梯子AD的长应是10m．

点评本题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得∠ABC=∠ABD=90°，然后再利用勾股定理求得斜边AD的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形，然后间接测量梯子的长度[2]．

3预测行驶时间

例3如图3，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10：28，我国边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103艇注意其动向，经检测AC=10n mile，AB=6n mile，BC=8n mile，若该可疑船只的速度为12.8n mile/h，则该2f979d8743e66920aa42f96420c25c16可疑船只最早何时进入我国领海？

解析因为∠BDC=90°，

AB2+BC2=62+82=102=AC2，

所以△ABC为直角三角形，

且∠ABC=90°，

因为PQ⊥CD，所以可疑船只C进入我国领海的最短距离是CD，

因为S△ABC=12AB×BC=12AC×BD，

所以BD=4.8n mile，

因为CD2+BD2=BC2=82=64，

所以CD=6.4n mile，

所以6.4n mile÷12.8n mile/h=0.5h=30min，

所以10：28再过30分钟后就是10：58.

点评已知可疑船只的速度，求出可疑船只到我国领海的距离CD的长即可得出可疑船只所用的时间，即可得出可疑船只何时能进入我国领海，由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，接着由面积法求出BD的长，再由勾股定理求出CD的长即可．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键[3]．

4检测雕塑

例4（1）如图4，雕塑底座正面是四边形ABCD，现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方法检测雕塑底座正面的边AB是否垂直于底边BC？并说明理由．

（2）若雕塑底座是个长方体，量得边BC长50cm，边CD长40cm，边DE长30cm，一只蚂蚁从底部点B沿雕塑的表面爬到顶部的点E，蚂蚁爬行的最短路程是多少？

解析（1）分别测量AB，BC和AC的长度，

若AB2+BC2=AC2，

则△ABC是直角三角形，

∠ABC=90°，即AB⊥BC．

（2）将长方体展开，如图5，

由勾股定理，得：BE2=402+30+502=8000，

所以BE=405．

点评本题考查勾股定理及其逆定理的应用．分别测量AB，BC和AC的长度，利用勾股定理逆定理，可判断AB是否垂直于BC[4]．

5结语

勾股定理逆定理在解决实际问题中具有重要作用，尤其是在建筑工程、测量等领域．通过实例分析，发现利用勾股定理逆定理可以解决许多复杂的几何问题，提高工作效率和测量精度．然而，勾股定理逆定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形并不适用．因此，在解决实际问题时，需要根据具体情况选择合适的解决方法．此外，对于一些复杂的几何问题，需要使用更高级的数学方法和计算机辅助设计工具来解决．随着数学方法和计算机技术的不断发展，可以期待勾股定理逆定理在未来将会有更广泛的应用前景．

参考文献：

[1]陈莹.初中数学勾股定理及逆定理的运用[J].现代中学生（初中版），2023（12）：37-38.

[2]黄玉华.聚焦核心素养发展提升教材理解能力——以勾股定理的逆定理证法探究为例[J].中学数学教学参考，2023（29）：60-62.

[3]孙长智.利用有效增设探寻证明思路——以“勾股定理的逆定理”教学片段为例[J].中学数学，2023（12）：40-42.

[4]位雅楠.例析规避勾股定理及其逆定理混用的策略[J].中学数学，2022（14）：66-67.