应用基本模型，突破解题难点

【摘要】近几年的中考题追求题型的创新和与情境的融合，对学生分析问题、解决问题的能力要求越来越高.面对千变万化的题型，刷题已不再有效，但是问题背后的基本模型是不变的，熟悉模型就相当于洞悉了问题的本质.本文通过两类勾股定理的典型例题分析如何应用基本模型来突破解题难点.

【关键词】基本模型；初中数学；勾股定理

模型1“勾股树”模型

内容“勾股树”以直角三角形为边分别向外作形状相同的图形，设这三个图形的面积分别为S1、S2、S3，满足S1<S2<S3，则S1+S2=S3.

证明以等边三角形为例，如图1所示，

过点D作DM⊥AC于点M.

因为△ACD是等边三角形，

所以AM=MC=12b.

在Rt△ADM中，

DM=AM·tan∠DAC=AM·tan60°=32b，

所以S2=12DM·AC=12×32b×b=34b2，

同理S1=34a2，S3=34c2.

则S1+S2=34a2+34b2=34（a2+b2）.

因为在Rt△ABC中a2+b2=c2，

所以S1+S2=34（a2+b2）=34c2.

则S1+S2=S3.

注意其余的图形的证明，均可以依据面积公式和勾股定理转化得到.

例1如图2所示，直线l上有三个正方形a、b、c，若b、c的面积分别为8和5，则a的面积为.

解如图3所示，以BC为边作正方形.

因为∠ACB+∠ECD=90°，

∠CED+∠ECD=90°，

所以∠ACB=∠CED.

在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE∠ACB=∠CEDAC=CE，

所以△ABC≌△CDE，

则BC=DE.

所以Sb=Sa+Sc，

则Sa=Sb－Sc=8－5=3.

模型2赵爽弦图

内容如图4所示，已知大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成.

则：①S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△ABE.

②正方形EFGH的边长为围成小正方形的直角三角形的两直角边之差，即EF=BE－BF.

拓展如图5所示，在赵爽弦图外作正方形，则2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形IJKL.

证明因为赵爽弦图中四个直角三角形是全等的，结合正方形的性质即可得到.

例2中国是发现勾股定理最古老的国家之一，三国时期赵爽创造了“勾股方圆图”，如图6所示，证明了勾股定理.在这幅图中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成，连接AG.若AB=10，EF=2，则sin∠GAF的值为.

解依据模型可得AF=BF+EF.

在Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2，

所以102=BF2+（BF+2）2，

解得BF=6.

则AF=6+2=8，

所以AG=AF2+FG2=217.

则sin∠GAF=FGAG=2217=1717.

结语

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，应制订以学科核心素养为导向的教学目标.因此，在平时的教学过程中，教师应该避免让学生盲目的刷题，而是有针对性地对问题进行总结归纳，探索其共性，寻找规律，引导学生在分析模型的过程中独立思考，实现知识体系的逐步形成.同时在这个过程中，学生的核心素养也在不断提高.