例谈一元一次不等式组解集的求解方法

【摘要】本文将通过实例，详细介绍一元一次不等式整数解的求解方法以及根据一元一次不等式组解的情况求参数的范围．通过案例的分析，希望能提升学生关于一元一次不等式解集的理解深度，帮助其理顺解决问题的思路．

【关键词】一元一次不等式组；初中数学；解题技巧

一元一次不等式组是一类重要的数学问题，求解不等式组的解集是解决相关问题的基础．本文将通过实例，介绍如何根据不等式组的特征选择合适的解法．

1求解一元一次不等式组的整数解

例1定义：关于x，y的二元一次方程ax+by=c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by=c的交换系数方程为cx+by=a或ax+cy=b．

（1）已知关于x，y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny=p的一个解，求代数式（m+n）m－p（n+p）+2023的值；

（2）已知整数m，n，t满足条件t<n<8m，并且（10m－t）x+2023y=m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y=2m+2的“交换系数方程”，求m的值．

解析（1）ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组为：

①ax+by=ccx+by=a，

或②ax+by=cax+cy=b，

解方程组①，得x=－1y=a+cb，

由a+b+c=0，

得y=a+cb=－bb=－1，

因此方程组①的解为x=－1y=－1，

解方程组②，得x=b+cay=－1，

由a+b+c=0，得x=b+ca=－aa=－1，

所以方程组②的BSypGlPxB3X9xpv/of2Ohg==解为x=－1y=－1，

所以ax+by=c与它的“交换系数方程”组成的方程组为x=－1y=－1，

将x=－1y=－1代入mx+ny=p，

得：－m+n=p，

所以（m+n）m－p（n+p）+2023

=－pm－pn－p2+2023

=－pm+n－p2+2023

=－p·－p－p2+2023=2023．

（2）关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y=2m+2的“交换系数方程”为：

1+nx+2m+2y=2023，

或（2m+2）x+2023y=1+n，

当1+nx+2m+2y=2023与（10m－t）x+2023y=m+t的各系数相等时，

可得方程组2m+2=20231+n=10m－t2023=m+t，

解方程组可得m=20212，与m为整数不符，不合题意；

当（2m+2）x+2023y=1+n与（10m－t）x+2023y=m+t的各系数相等时，

可得2m+2=10m－t1+n=m+t，

解得t=8m－2n=9m－3，

因为t<n<8m，

所以8m－2<9m－3<8m，

即8m－2<9m－39m－3<8m，

解得1<m<3，

因为m为整数，所以m=2．

点评本题在新定义运算的背景下考查了一元一次不等式组的整数解、二元一次方程组的解、解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键．

2根据一元一次不等式组解的情况求参数范围

例2定义运算：fx，y=ax+by，已知f2，3=7，f3，4=10．

（1）若关于x的不等式组fx+1，2-x≥0f2x，x-t<0无解，求t的取值范围；

（2）若fmx+3n，2m－nx≥3m+4n的解集为x≤13，求不等式fmx-m，3n-nx≥m+n的解集．

解析（1）由题意得：

2a+3b=73a+4b=10，

解得：a=2b=1．

把a=2，b=1代入fx，y=ax+by，

得fx，y=2x+y，

所以不等式组fx+1，2-x≥0f2x，x-t<0，

可转化为2x+1+2－x≥02×2x+x－t<0，

解得：x≥-4x<t5，

因为关于x的不等式组：

fx+1，2－x≥0f2x，x－t<0无解，

所以t5≥-4，

解得：t≥-20，

所以t≥-20；

（2）不等式fmx+3n，2m-nx≥3m+4n转化为：

2mx+3n+2m-nx≥3m+4n，

整理，得2m-nx≥m-2n，

因为fmx+3n，2m-nx≥3m+4n的解集为x≥13，

所以2m－n<0，解得：x≥m-2n2m-n，

所以m－2n2m－n=13，所以m=5n，

所以2×5n－n<0，解得：n<0，

不等式fmx-m，3n-nx≥m+n转化为2mx－m+3n－nx≥m+n，

整理，得：2m-nx≥3m-2n，

所以2×5n-nx≥3×5n-2n，

所以9nx≥13n，

因为n<0，

所以x≤139，

所以不等式fmx-m，3n-nx≥m+n的解集为x≤139．

点评本题通过新定义运算，考查根据一元一次不等式组解的情况求参数范围、二元一次方程组的解法等．掌握一元一次不等式组解集的求解方法、二元一次方程组的解法是解题的关键．

3结语

通过实例详细介绍了求解一元一次不等式组解集的方法，在求解过程中，需要注意符号一致、边界处理等问题，以确保结果的正确性．通过本文的学习，读者可以掌握一元一次不等式组解集的求解方法、整数解的求解方法以及根据一元一次不等式组解的情况求参数范围，为解决相关问题打下基础．通过以上案例可以看出，一元一次不等式组解集的求解方法在初中数学不同问题中应用广泛，应予以重视．

参考文献：

[1]陶高雅.怎样求一元一次不等式组的解集[J].语数外学习（初中版），2023（09）：19-20.