初中数学中分式函数最值问题的求解方法
2024-10-21杨树源
【摘要】在初中数学中，分式函数最值问题是一个重要的知识点，它涉及函数的性质、不等式的解法以及几何直观等多个方面．求解这类问题需要结合数学知识、逻辑推理和数学方法，才能得出最值．本文以分式的最值为抓手，介绍分式函数最值问题的求解方法，帮助初中学生更好地理解和掌握分式函数最值问题．
【关键词】初中数学；分式函数；最值问题
分式函数的最值往往与函数的单调性、凸性等性质有关，因此理解函数的性质是解决最值问题的前提．但有的分式函数在某些区间内并没有严格的单调性，所以求解时并不是想象中的那么容易．对于二次分式函数，可利用配方法求其最值，对于高次分式函数，可利用判别式法求其最值．
1判别式法求解分式函数的最值
例1求函数y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值．
解析将原式整理为关于x的方程：
yx2+（3y－2）x+（3y－2）=0．
若y=0，则x=－1，即y=0是函数的一个值；
若y≠0，则关于x的方程有实根，
所以Δ=（3y-2）2-4（3y-2）y=（3y-2）（3y-2-4y）≥0，
即（3y-2）（y+2）≤0，
解得-2≤y≤23．
由此可看出y=0既不是最大值也不是最小值．
当y=－2时，由－2=2x+2x2+3x+3，
解得x=－2；
当y=23时，由23=2x+2x2+3x+3，
解得x=0．
所以当x=－2时，y取最小值－2；
当x=0时，y取最大值23．
点评本题利用判别式法求解分式函数的最值问题，通过解法可以看出，分式函数的最值与分式的最值内涵相同，求解分式函数最值的思路和求解分式最值的思路也相同，学生可通过方法迁移来处理此类问题．
2不等式法求解分式函数的最值
例2实数a，b使关于x，y的方程组
xy－x2=1xy2+ax2+bx+a=0有实数解x，y．
（1）求证y≥2；
（2）求a2+b2的最小值．
解析（1）证明由xy－x2=1，
得：x≠0，y=x+1x，
当x>0时，
因为x-1x2≥0，
所以x+1x-2x·1x≥0，
即x+1x-2≥0
所以x+1x≥2，
所以当x>0时，y≥2；
当x<0时，－x>0，
因为-x-1-x2≥0
所以-x+1-x-2-x·1-x≥0，
即-x+1x-2≥0
所以-x+1x≥2，
所以x+1x≥-2
所以当x<0时，y≥-2；
所以y≥2；
（2）由xy－x2=1，
得：x≠0，x2+1=xy，
由xy2+ax2+bx+a=0，
得：xy2+b+ax2+1=0，
即xy2+b+axy=0，
所以xy2+ay+b=0，
因为x≠0，
所以y2+ay+b=0，
所以y2+ay+b=0有解，且满足y≥2，
所以ay+b=－y2，
因为a2+b2y2+1－ay+b2
=a2y2+a2+b2y2+b2－a2y2+2aby+b2
=a2y2+a2+b2y2+b2－a2y2－2aby－b2
=a2－2aby+b2y2
=a－by2，
因为a-by2≥0
所以a2+b2y2+1≥ay+b2，
所以a2+b2≥ay+b2y2+1=y4y2+1
=y2+12－2y2+1+1y2+1
=y2+1+1y2+1－2，
因为y≥2，
所以y2+1≥5，
令y2+1=z，
y2+1+1y2+1=w，
则w=z+1z，
因为当z>1时，w随z的增大而增大，
所以当y2+1=5时，
y2+1+1y2+1有最小值，
所以y2+1+1y2+1-2≥5+15-2=165，
当y=2时，等号成立，
所以a2+b2有最小值165，当且仅当a=byy=2时等号成立，
又因为y=x+1xy2+ay+b=0，
联立解得：y=2x=1a=－85b=－45，
或y=－2x=－1a=85b=－45，
综上所述，a2+b2的最小值为165．
点评本题主要考查了基本不等式的性质，解高次方程组．在求解a2+b2的最小值时，将求解a2+b2的最小值问题转化为求解分式函数的最值问题，这里可以用不等式的方法求解该分式函数的最值．
3结语
在初中数学中，求解分式函数最值问题需要结合基本的具体方法，灵活运用数学知识、逻辑推理和数学方法．通过判别式法和基本不等式等方法，可以有效地解决不同类型的分式函数最值问题．希望本文提供的思路和方法能够帮助初中学生更好地理解和掌握初中数学中的分式函数最值问题．
参考文献：
[1]陈凌燕，黄龙孙.对一道二元分式函数最值问题的探究[J].数理化解题研究，2021（22）：36-38.
[2]马玉武.例谈一类分式函数最值问题的求解策略[J].高中数理化，2016（17）：14.
[3]吴友明.简单分式函数问题的解题策略[J].数理化学习（高中版），2019（09）：16-17+31.
[4]欧健.分式函数最值问题的解法[J].数学教学通讯，2011（24）：52-53.
