例谈初中数学三角函数试题的解题技巧

【摘要】三角函数作为初中数学教学中的一个特殊板块，以学习锐角三角函数为主，主要研究正弦、余弦、正切与余切函数，属于中考数学中的必考点之一，再加上三角函数类试题类型较为复杂，不仅要求学生具备稳固的理论知识，还对他们的逻辑思维能力有着较高要求，故而教师应提高关注，教授一些常用的解题技巧，使学生轻松完成解答三角函数试题.本文主要对初中数学三角函数试题的解题技巧进行分析和研究，并分享部分有效解题技巧.

【关键词】三角函数；初中数学；解题技巧

在初中数学课程体系中，三角函数知识占据着重要地位，也是三角函数知识体系的基础构成部分，由于涉及的知识要点较多，学生在学习过程中需掌握大量的公式与原理，导致他们难以系统化地理解该部分内容，以至于在解题环节经常陷入困境当中.在初中数学三角函数解题训练中，教师应传授给学生一些常用的解题技巧，帮助他们顺利突破疑难障碍，使其结合具体题目的特征与题设找到准确、恰当的解题方法，促进解题水平的提升.

1采用勾股定理技巧，解答三角函数试题

勾股定理属于基本的几何定理之一，是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，不仅是初中数学课程教学中一个最为基本的公式，也是一个比较常用的解题技巧.具体来说，初中数学教师在三角函数解题训练实践中，应指导学生巧妙利用勾股定理分析题干内容，找出和确定各个已知条件和信息之间的关系，使学生根据直角三角形的三边关系快速确定解题方案，找到更为简便的解题方法，最终辅助学生高效率地解答三角函数试题[3].

例1如图1所示，某数学兴趣小组计划测量大树CD的高度，在点A处测得直立于地面大树顶端C的仰角是36°，现在先沿在同一剖面的斜坡AB行走13米到达坡顶B点处，再沿水平方向行走6米到达大树脚底点D点处，斜面AB的坡度i=1∶2.4，那么大树CD的高度为多少米（sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）？

分析该道题目主要考查直角三角形的应用、勾股定理、三角函数等多个知识点，其中由勾股定理得出方程是解决问题的关键，可做辅助线BF⊥AE于点F，根据题意知道EF=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，根据斜面AB的坡度用含x的式子表示AF，然后在Rt△ABF中，根据勾股定理列方程，求出x的值，得到AE的长度，随后在Rt△ACE中，依据三角函数求出CE的长度，即可求出大树CD的高度.

详解画辅助线BF⊥AE于点F，

根据题意可知EF=BD=6，

又因为DE=BF，斜面AB的坡度i=1∶2.4，

所以AF=2.4BF，

设BF=x，

则AF=2.4x，

在Rt△ABF中，根据勾股定理可得x=5，

则DE=BF=5，

又因为AB=13，

所以AF=AB2－BF2=132－52=12，

则AE=AF+EF=12+6米=18米，

在Rt△ACE中，CE=AE×tan36°≈18×0.73≈13.14米，

所以CD=CE－DE≈13.14－5≈8.14米，

所以大树CD的高度大约是8.14米.

2利用构建模型技巧，解答三角函数试题

在初中数学三角函数解题教学实践中，由于不少问题都与现实生活存在着一定的关联，故生活化试题也是一大常见类型，这也是数学试题的一大特色.为帮助学生更好地处理三角函数类试题，初中数学教师可指引他们结合题目内容合理构建数学模型，使其先根据实际问题来建立相应的数学模型，再对数学模型进行分析和求解，最终根据结果实现对实际问题的解决，由此达到降低问题复杂难度的目的，使其轻松完成试题的解答，并加快解题速度[4].

例2如图2所示，某厂房屋顶为“人”字形设计，是一个等腰三角形的钢架，其中跨度BC=10米，底角∠B=36°，D为底边的中点，那么该房屋顶的中柱AD的高度是多少？

（A）5sin36°米.（B）5cos36°米.

（C）5tan36°米.（D）10tan36°米.

分析解答这种现实生活中比较复杂的问题时，要考虑到采用模型法，即为通过建立数学模型把复杂问题变得简单化，抽象问题变得具体化，根据题意可将题干信息建立成一个等腰三角形模型，再求解这一数学模型，结合正切函数即可求出AD的高度，然后依据结果解决这一实际问题.

详解根据题意建立一个等腰三角形模型，其中AB=AC，BC=10米，AD是等腰三角形底边BC上的高，

根据等腰三角形的性质可以得到

BD=CD=12BC=5米，

在Rt△ABD中，∠B=36°，

tan∠B=ABBD，

所以AD=BD×tan36°=5tan36°米，

所以说正确答案是（C）选项.

3结语

综上所述，在初中数学三角函数试题解题教学活动中，由于学生是初次接触三角函数知识及试题，相应的难度同学习其他内容与解题较大，往往难以熟练掌握相关理论知识要点，以至于在解题实践中困难重重，教师要精心安排三角函数专项解题训练，多传授给学生一些常用解题技巧，使其能够用来准确、快速地解答三角函数试题，为未来的中考做好充足准备.

参考文献：

[1]吴安栋.初中数学三角函数解题技巧探究[J].现代中学生（初中版），2022（08）：17-18.

[2]李宁.浅谈初中数学三角函数的解题技巧[J].数学学习与研究，2022（09）：65-67.