多法并用解答线段最值问题

【摘要】线段最值问题是初中数学中一类经典的问题.这一类问题对学生的几何思维和基础知识有较高的要求.在求线段最值时，要学会动中求静，寻求变量和不变量之间的联系.本文结合例题谈三种解答线段最值问题的方法，以供参考.

【关键词】线段最值；初中数学；解题技巧

方法1构造平面直角坐标系，利用两点之间的距离公式求解

例1如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到一个新的三角形△EGF，连接EC，GC，则EC+GC的最小值为.

解如图2所示，以正方形ABCD的两条对角线所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

设平移的距离为a，

则E（a，22），G（－22+a，0），C（0，－22）.

由两点之间的距离公式可得EC=a2+32，

GC=（a－22）2+8，

则可得

EC+GC=a2+32+（a－22）2+8.

令函数y=x2+32+（x－22）2+8，

问题可以等价于求动点到两定点的距离之和的最小值.

如图3所示，设点M（x，42），O（0，0），N（22，22），

问题转化为求解|MO|+|MN|的最小值，直线y=42上有一动点M，

作点O关于直线y=42的对称点Q，连接QN，与直线y=42交于点M，

由此可得最小值即为QN的长度，

QN=45.

评析本题需要学生能够根据题目具体情况合理建立平面直角坐标系，结合两点之间的坐标公式、勾股定理、对称性等知识点，总体综合性较强，需要学生能够构造函数式研究最值.

方法2相似三角形转化法

例2如图4所示，点D是直角三角形ABC内的一点，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

CD=2，试求DA+23DB的最小值.

解在BC边上取一点E，使得CE=43，连接DE、AE.

因为CECD=432=23，CDCB=23，

所以CECD=CDCB.

又因为∠BCD=∠DCE，

所以△BCD∽△DCE，

则DEBD=CDCB=23，

所以DE=23BD，DA+23DB=DA+DE.

由“两点之间线段最短”可得当A、D、E三点共线时，DA+23DB最短.

此时DA+23DB=AE=CE2+AC2=4103，

所以DA+23DB的最小值是4103.

评析相似三角形是初中平面几何中的一类重要的三角形关系.其可以实现线段的转化，从而将线段和最值问题或者是线段最值问题转化为一些简单的三点共线问题，使题目变得更加简单直观化.

方法3构造辅助圆法

例3如图5所示，E、F两点是正方形ABCD的边AD上的动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形ABCD的边长为2，则线段DH长度的最小值为.

解由题目条件可得△ABE和△DCF全等，△ADG和△CDG全等，

则∠DCF=∠DAG=∠ABE.

又因为∠ABE+∠AEB=90°，

可得∠AHB=90°.

所以无论E、F两点如何运动，点H始终在以AB的中点M为圆心，AM的长为半径的圆弧上.

所以当D、H、M三点共线时，DH最小，

即DH=DM－DH=5－1.

评析此方法运用的关键在于找到证明动点运动轨迹是圆的条件，这样就可以将动点的轨迹限制在辅助圆的范围内，便于从几何图形上看出最值存在处.

结语

上述三种方法是解答线段最值问题的常用方法，学生在解题的过程中要对方法中的数学模型加以总结，找到问题之间的共同点与不同点，从而在下一次解题时能够更加灵活地运用.