一题多解，解中寻道

【摘要】图形数量关系问题是近几年各地中考的热点问题之一，此类问题涉及平行线、角平分线、全等三角形等多个知识点，综合性强，旨在考查学生的推理能力、构造能力、想象能力，体现新课标对学生数学素养的要求.本文结合一道典型例题，通过一题多解的方式探究解答此类问题的方法，以供读者参考.

【关键词】一题多解；初中数学；解题技巧

1例题呈现

如图1所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD⊥AC于点D，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.

（1）求证：△BEF是等腰三角形；

（2）求证：BD=12（BC+BF）.

2解法探究

（1）证明因为∠ABC=90°，AB=BC，

所以∠ACB=∠CAB=45°.

因为CE平分∠ACB，

所以∠ECB=∠ACE=12∠ACB=22.5°.

则∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，

所以BE=BF，故△BEF是等腰三角形.

（2）①构造中位线

证明如图2所示，延长AB至点M，使得BM=BA，连接CM.

因为BM=BA，AD=CD，

所以BD∥CM，BD=12CM，

则∠BCM=∠CBD.

因为∠ABC=90°，

所以∠ABD=∠CBD=45°.

因为BD∥CM，

所以∠ABD=∠M=45°.

则∠BCM=∠CBD=∠ABD=∠M=45°，

故BC=BM.

因为BD∥CM，

所以MC⊥AC，∠MCA=90°.

由（1）可得∠ACE=22.5°，

所以∠MCE=90°－22.5°=67.5°.

故∠BEF=∠MCE，

所以ME=MC.

因为BD=12CM=12ME=12（BM+BE），

所以BD=12（BC+BF）.

评注通过倍长线段的方法，构造出中点，再结合已知的中点，即可得到中位线.利用中位线的性质，可以得到平行和线段比值的条件，再将所证式中的线段合理转化到其他位置，即可证得.

②引入参数

证明如图3所示，过点F作FH⊥BC，交BC于点H.

因为CE平分∠ACB，

所以FD=FH.

设FD=FH=x，

因为FH⊥BC，

所以∠FHB=90°.

由（1）可得∠CBD=45°，

所以∠HBF=∠HFB=45°，HB=HF.

则△HBF是等腰直角三角形，

所以BF=BE=2x，CD=BD=BF+FD=2x+x.

在△FDC和△HCF中，∠DCF=∠BCF∠FDC=∠FHCFC=FC，

所以△FDC≌△HCF.

所以DC=HC=2x+x，BF+BC=BF+BH+HC=2（2x+x）=2BD.

所以BD=12（BC+BF）.

评注引入参数是证明图形数量关系问题的常用方法.先设出未知量，再根据几何条件分别表示出所证式中的线段的长度，选定一到两个基准的线段，最后结合每个线段的形式，即可通过比值的形式证明.

③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT利用角平分线的性质

证明如图4所示，过点E作EM⊥AC，交AC于点M，

即∠EMA=∠EMC=90°.

因为∠A=45°，

所以∠AEM=45°，

则∠A=∠AEM，

所以AM=ME.

因为CE是∠ACB的平分线，

所以∠BCE=∠ACE，EM=BE=AM.

在Rt△EMC和Rt△EBC中，EM=EBEC=EC，

所以Rt△EMC≌Rt△EBC.

所以MC=BC，AC=AM+MC=BE+BC=BF+BC.

因为BD=12AC，

所以BD=12（BC+BF）.

评注利用角平分线的性质来证明体现了轴对称的思路，将原本的线段通过轴对称的方式转移到另一位置，实现条件的集中，简化了题目的证明过程.

3结语

解答图形数量关系问题可以从中位线、轴对称、引入参数等多种角度进行有效转化，从而得到不同的解题策略.学生在解答问题时，要注重题目的已知条件，探索其内在联系，弄清题目的本质属性，从而实现“一题多解”向“多解归一”的飞跃.