洞察特征知来路，合理构造知去路

【摘要】图形的特征是几何问题的灵魂，也是解答问题的关键.解答平面几何问题时，要明晰知识之间的联系，从特殊的已知条件入手，构造一些基本的图形，将隐藏的条件显化，分散的条件集中化，从而巧妙地化解难点.本文以一道等腰三角形题目为例，探讨以题目特征条件为核心的几何图形构造思路.

【关键词】平面几何；初中数学；等腰三角形

1试题呈现

例题如图1所示，正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上的一个动点.连接PA，PD，M，N两点分别是BC，AP的中点，连接MN交PD于点Q.判断△QPM的形状并加以证明.

2问题分析

依据所给图象，猜测△QPM是等腰三角形.要证明此结论，则需要证明∠QMP=∠QPM，考虑构造全等三角形或者利用三角函数来证明.在构造的过程中要思考条件“M，N两点分别是BC，AP的中点”的作用，“中点”是此问题的一大特点，自然也是证明此问题的一个重要突破点.

3解法展示

3.1中位线法

解法1如图2所示，延长BC至点E，使得CE=BP，连接AE.

因为PB=CE，

所以PB+BC=CE+BC，

即CP=BE.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.

在△DCP和△ABE中，DC=AB∠DCP=∠ABECP=BE，

所以△DCP≌△ABE，

则∠1=∠E.

因为点M是BC的中点，

所以MB=MC，

MB+BP=MC+CE，

即MP=ME，

所以M是PE的中点.

因为N是AP的中点，

所以NM∥AE，∠2=∠E，∠1=∠2，

则QP=QM，

所以△QPM是等腰三角形.

解法2如图3所示，取AD的中点E，连接NE，NB，

则AE=12AD.

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠ABC=∠BAD=90°，AD∥BC，AD=BC，

则∠ABP=90°，∠ADP=∠DPC.

因为点M是BC的中点，

所以BM=12BC.

因为AD=BC，所以AE=BM.

因为M，N两点分别是BC，AP的中点，

所以NE∥PD.

在Rt△ABP中，点N为AP的中点，

则NB=12AP=NP=NA.

所以∠NAB=∠NBA，∠NAE=∠NBM.

在△NAE和△NBM中NA=NB∠NAE=∠NBMAE=BM，

则△NAE≌△NBM，∠AEN=∠BMN.

又因为NE∥PD，

所以∠AEN=∠ADP=∠DPC，

∠BMN=∠DPC.

则QP=PM，

所以△QPM是等腰三角形.

评注由图形可知，△QPM与正方形ABCD的关系并不密切，题目条件并不能集中应用.所以为了证明∠QMP=∠QPM，要将角转化到其他的图形内.结合“M，N两点分别是BC，AP的中点”的条件，可以据此构造中位线，利用中位线的性质得到∠QMP=∠AEB，再根据全等三角形的性质即可证明.

3.2三角函数法

解法3如图4所示，过点N作NH⊥PM于点H，

则∠NHM=90°.

因为M，N两点分别是BC，AP的中点，

所以MB=12BC，PN=12PA.

因为四边形ABCD是正方形，

所以∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD.

因为∠NHM=∠ABC=90°，

所以NH∥AB，

则NHAB=PNPA=PHPB=12.

所以NH=12AB=12CD，BH=12PB，

HM=BH+MB=12PB+12BC=12PC.

在Rt△NHM中，tan∠QMP=NHNM=CDPC，

在Rt△PCD中，tan∠QPM=CDPC.

所以∠QMP=∠QPM，QP=PM，

所以△QPM是等腰三角形.

评注三角函数值可以间接地表示出角的大小.因此，构造相应的全等三角形，将△QPM中的两个角∠QPM和∠QMP放在Rt△NHM和Rt△PCD中或Rt△EFM和Rt△DPC中，从而利用三角函数值表示.

4结语

上述三种解法从中位线和三角函数值两方面证明了等腰三角形.虽然方法有所不同，但相同的是中位线是对中点条件的一个显著运用，三角函数值也是借助了中点的性质构造全等三角形和直角三角形，在直角三角形中利用边长的比值得到了三角函数值的大小.所以洞察问题的某些特征，才能为构造几何图形指明方向，达到事半功倍的效果.