初中数学解题中数形结合思想的应用

【摘要】随着教育改革的深入，培养学生的数学思维能力成为初中数学教学的重要目标.在这一背景下，数形结合思想作为一种有效的教学策略，越来越受到教师的关注.数形结合思想不仅有助于学生深入理解二次函数的性质，还能提高他们的解题能力.本文以一道二次函数图象性质题为例，探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用.同时，教师应注重培养学生的数形结合思想，提高学生的观察力、想象力和创造力，从而促进学生更全面地掌握数学知识，为未来的学习和发展奠定基础.

【关键词】初中数学；数形结合；二次函数

1引言

在初中数学教学中，数形结合思想是一种重要的数学思想.它将数学的抽象性与形象性相结合，有助于学生更好地理解数学概念、公式和定理.二次函数是初中数学教学的重点内容之一，其图象对于理解二次函数的性质具有重要意义.通过数形结合思想，学生可以将二次函数的公式与图象相结合，从而更深入地理解二次函数的性质，例如二次函数的顶点、对称轴和开口方向等性质可以通过观察函数图象来直观地理解.本文将以一道二次函数图象性质题为例，探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用.

2试题呈现

如图1所示，抛物线y=ax2+bx－6交x轴于A2，0，B－6，0两点，交y轴于点C，点Q为线段BC上的动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求QA+QO的最小值；

（3）过点Q作QP∥AC交抛物线的第三象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S=S1+S2，当S=152时，求点P的坐标.

3思路分析

（1）求抛物线解析式是常规题目，将A2，0，B－6，0代入y=ax2+bx－6，利用待定系数法解答即可.

（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′，求出O′的坐标，并证明O′A为QA+QO的最小值，求出Q′A即可.

（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M.连接PC.设点Pm，12m2+2m－6，由于QP∥AC，从而得到S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB－SRt△BOC，用P点坐标将各项表示出来，从而求出m的值，进而求得P点坐标.

4解法探究

（1）将A2，0，B－6，0分别代入y=ax2+bx－6中，

得到方程组0=4a+2b－60=36a－6b－6，

解得a=12b=2.

所以抛物线的解析式为y=12x2+2x－6.

（2）作点O关于直线BC的对称点坐标为O′.连接BO′、CO′、OO′，如图2所示.

因为OB=OC，OO′⊥BC，

所以OO′垂直平分BC.

又因为BC垂直平分OO′，且∠BOC=90°，

所以四边形OCO′B是正方形.

所以点O关于直线BC的对称点坐标为O′－6，－6.

连接O′A，与BC交于点Q.

因为BC是OO′的垂直平分线，

所以QO=QO′，

所以QA+QO=QA+QO′=O′A.

在BC上任取异于点Q的点Q′，连接Q′O、Q′A、Q′O′（见图2），

在三角形中，两边之和大于第三边，

所以QA+QO的最小值为

O′A=（－6－2）2+（－6）2=10.

（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M.连接PC，如图3所示.

因为QP∥AC，

所以S△PAQ=S△PCQ（同底等高，

所以S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB－SRt△BOC，

设点Pm，12m2+2m－6，

所以S梯形PCOM=12MP+OC·OM

=12－12m2－2m+6+6－m

=－12m－12m2－2m+12，

SRt△PMB=12MP·BM

=12－12m2－2m+6m+6

=12m+6－12m2－2m+6，

SRt△BOC=12OB·OC=12×6×6=18.

所以S=S1+S2

=－12m－12m2－2m+12+12m+6

－12m2－2m+6－18=152，

解得m=－1或m=－5.

所以P－1，－152或－5，－72.

5结语

本文以具体的二次函数图象性质题为例，探讨了数形结合思想在初中数学解题中的应用.题目考查了二次函数的性质、图象上的坐标特点和解析式的求法等内容，解答过程非常复杂，要求有较强的计算能力和思维能力.数形结合不仅能够帮助学生建立起数学概念与直观图形之间的联系，还能够激发学生的学习兴趣，提高他们的观察力、想象力和创造力.通过观察图象，学生能够更好地理解二次函数的性质，如顶点、对称轴的位置以及函数的开口方向等.在未来的教学中，教师应当继续强化数形结合思想的教学，设计更多富有启发性的例题和练习，让学生在实际操作中感受数学之美.同时，教师也应鼓励学生主动探索，培养他们独立思考和解决问题的能力.

参考文献：

[1]童滟.数形结合在初中数学解题中的应用[J].学园，2024，17（08）：29-31.

[2]张焱.数形结合思想在初中数学教学中的应用案例探析[J].数理天地（初中版），2024（03）：78-79.

[3]王丽.数形结合思想在初中数学解题中的应用——以“二次函数与几何图形”问题为例[J].数理化解题研究，2024（02）：38-40.