一次函数与几何、代数的综合类问题探究

【摘要】随着数学教育的深入发展，一次函数与几何、代数的综合类问题备受关注.本文探讨一次函数与几何、代数的综合类问题的解题技巧和方法，以一道例题分析一次函数与几何图形、代数表达式的紧密联系，并提出解题策略，以帮助学生更好地应对这类问题，提高数学成绩.

【关键词】一次函数;初中数学;解题技巧

1引言

一次函数与几何、代数的综合类问题在数学教育中具有重要地位.通过掌握这类问题的解题技巧，学生可以更好地应对这类问题，提高数学成绩.本文将通过一道经典例题，深入探讨一次函数与几何、代数的综合类问题的解题技巧，希望能为数学教育工作者和学生提供有益的启示.

2试题呈现

如图1所示，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y=－3x+b与x轴交于点D，与y=x+2交于点E，点E的横坐标为4.

（1）求b的值和点D的坐标.

（2）已知P是坐标平面内一点，连接PA，PB，PD，PE所得的△PAB，△PDE的面积分别为S△PAB，S△PDE，设S△PAB=kS△PDE.

①如图2，若点P的坐标为a－1，2a－4，且位于四边形BODE内，则k是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由；

②如图3，若点F在x轴上，坐标为－11，0，点Q是y轴上的一个动点，当k=1时，求FQ+PQ的最小值.

3思路分析

（1）将点E的横坐标4代入y=x+2中即可得点E的坐标，将点E代入y=－3x+b即可求解.

（2）①过点P作PM∥x轴交直线y=－3x+18于点M，PN∥y轴交直线y=x+2于点N，过点E作EQ⊥x轴，可得M22－2a3，2a－4，Na－1，a+1，由此即可得S△APE=12PN·xE－xA，S△PDE=12PM·yE－yD，将PN=5－a，PM=25－5a3，xE－xA=6，yE－yD=6代入即可求解.

②当k=1时，S△PAB=S△PDE，即可求得点P4，0，然后利用两点之间线段最短即可求得FQ+PQ的最小值为PF.

4解法探究

（1）因为点E在直线y=x+2上，点E的横坐标为4，

所以E4，6，因为点E在直线y=－3x+b上，

所以b=18，

因为直线y=－3x+18与x轴交于点D，

所以D6，0.

（2）①k为定值，理由如下：

过点P作PM∥x轴交直线y=－3x+18于点M，PN∥y轴交直线y=x+2于点N，过点E作EQ⊥x轴，如图4，

则M22－2a3，2a－4，Na－1，a+1，

因为直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，

所以A－2，0，B0，2，

所以AB=22+22=22，

AE=AQ2+EQ2=62+62=62，

所以S△ABP=12S△PBE，S△ABP=13S△APE，

所以S△APE=12PN·xE－xA，

S△PDE=12PM·yE－yD，

因为PN=5-a，PM=25－5a3，

xE－xA=6，yE－yD=6，

所以S△APE=35－a，S△PDE=55－a，

S△ABP=13S△APE=5－a，

所以S△PAB=15S△PDE，

所以k=15.

②如图5所示，过点E作EC⊥x轴于点C，则C4，0，

所以S△ACE=12×6×6=18，

S△ECD=12×2×6=6，

所以S△ACE=3S△ECD，所以SΔPDE=13SΔAPE.

由（1）可得S△ABP=13S△AEP，

所以P在EC上时，S△PAB=S△PDE，

设P4，b且b≠6，依题意，当P，C重合时，FQ+PQ最小，此时Q在原点，点P4，0，则FQ+PQ的最小值为15.

5结语

在数学学科中，一次函数作为一种基础而重要的工具，不仅与几何图形有着千丝万缕的联系，还在代数表达式中扮演着关键角色.本题是一次函数与几何综合问题，解答本题的关键是过动点向x轴，y轴作垂线.

一次函数与几何图形的关系密不可分.在平面直角坐标系中，一次函数的图象是一条直线，其斜率、截距等参数与几何图形的性质有着直接的联系.通过分析一次函数的图象，可以轻松解决与直线、点、角度等相关的问题.然而，在实际应用中，一次函数与几何、代数的综合类问题往往具有一定的难度.学生可以利用一次函数的性质，将问题转化为几何或代数问题，降低求解难度.学生也应该善于运用图象分析，将抽象的数学问题具体化，提高解题效率.同时还要熟练掌握一次函数的求解方法，如代入法、消元法等，拓宽解题思路.

参考文献：

[1]熊娇，蔡显富.例讲初中数学一次函数与几何综合问题[J].中学数学，2023，（24）：53-54+57.

[2]贾海荣.近三年北京中考“一次函数综合题”解法探究[J].中学数学，2023，（12）：83-84.

[3]初中数学重点知识专练（十二）一次函数的综合应用[J].现代中学生（初中版），2020，（Z4）：28-31+70-71.