初中数学函数图象中数形结合思想的应用

【摘要】随着教育改革的深入，培养学生的数学思维和解题能力成为初中数学教学的重要目标.本文以一道二次函数动点问题为例，探讨在初中数学教学中应用数形结合思想的重要性.通过分析二次函数的图象和代数表达式之间的关系，学生能够更深入地理解二次函数的性质，并提高解决实际问题的能力.

【关键词】初中数学；数形结合；二次函数

1引言

二次函数作为初中数学教学的重点内容，其图象的几何性质与代数表达式的内在联系，为学生提供了一个直观理解，抽象数学概念的平台.本文以一道二次函数动点问题为例，探讨如何在教学中融入数形结合思想，帮助学生通过观察图象、分析性质、解决具体问题，从而深化对二次函数知识的理解.

2试题呈现

已知二次函数y=ax2+bx－3.

（1）若函数图象经过点1，－4，－1，0，求抛物线的解析式；

（2）若2a－b=1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y=kx+tk≠0，始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；

（3）如图1，在（2）的条件下，若a>0，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接MP交AB于点Q，且PQMQ的最大值为13，求抛物线的函数解析式.

3思路分析

第一问为函数基础题，通过把定点坐标代入函数，构建等式求解未知量，即可求出函数表达式.

第二问难度略有提高，但依然为常规函数题，关于“定”值，顾名思义，即不随着未知量变化而变化，因此只需将含有未知量的系数设为0，构建等式或者方程组进行求解，若有解即为存在，无解即为不存在.

第三问需要运用数形结合思想，根据对称性求出点M的坐标为1a，－1，设P（x，ax2+2ax－x－3），过点P作PH∥y轴交直线AB于点H，过点M作MN∥y轴交直线AB于点N，则Hx，－x－3，N1a，－1a－3，求出PH、MN，再证△PQH∽△MQN，推出PQMQ=PHMN，根据PQMQ=13列出方程，由于点P为A，B之间的抛物线上一动点，所以满足方程的x值只有一个，所以Δ=0，由此求出a的值.

4解题探究

（1）把1，－4，－1，0代入y=ax2+bx－3中，

得a+b－3=－4a－b－3=0，

解得a=1b=－2，

所以抛物线的解析式为y=x2－2x－3中.

（2）因为2a-b=1，

所以b=2a－1，

把b=2a－1代入y=ax2+bx－3，

得y=ax2+2a－1x－3=x2+2xa－x－3，

令x2+2x=0，则x1=0，x2=－2，

所以当x1=0时，

y=0－0－3=－3，

当x2=－2时，y=0－－2－3=－1，

所以对于任意不为零的实数a，二次函数y=ax2+bx－3的图象都经过两个定点（－2，－1）和（0，－3）.

把－2，－1和0，－3代入y=kx+t中，

得－2k+t=－1t=－3，

解得k=－1t=－3，

所以该直线的表达式为y=－x－3.

（3）由（2）得y=ax2+2ax－x－3，

所以抛物线的对称轴为直线x=－2a－12a=－1+12a，

因为M、A两点关于抛物线的对称轴对称，

由2得A－2，－1，B0，－3，

所以点M的坐标为1a，－1.

设Px，ax2+2ax－x－3，过点P作PH∥y轴交直线AB于点H，过点M作MN∥y轴交直线AB于点N，如图2所示，

则Hx，－x－3，N1a，－1a－3，

所以PH=－x－3－（ax2+2ax－x－3）=－ax2－2ax，MN=－1+1a+3=1a+2.

因为PH∥y轴，MN∥y轴，

所以PH∥MN，

所以△PQH∽△MQN，

所以PQMQ=PHMN，

所以当PQMQ=13时，有－ax2－2ax1a+2=13.

整理得，3a2x2+6a2x+2a+1=0，

因为点P为A，B之间的抛物线上一动点，

所以满足方程3a2x2+6a2x+2a+1=0的x值只有一个，

即方程3a2x2+6a2x+2a+1=0有两个相等的实数根，

所以Δ=6a22－4×3a2×2a+1=0，

解得a=0（舍去）或a=1或a=－13（舍去），

所以b=1，

所以抛物线的解析式为y=x2+x－3.

5结语

本题是一次函数与二次函数的综合题，主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点，用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识.第三问中添加辅助线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键.通过在初中数学函数图象中应用数形结合思想，特别是针对二次函数动点问题的教学实践，可以看到这种方法在提高学生数学理解能力、培养逻辑思维和解题技巧方面的重要作用.通过观察和分析二次函数图象，学生能够更加直观地理解二次函数的性质，并将其与代数表达式联系起来，从而在实际问题中灵活运用.