韦达定理在初中数学中的应用

【摘要】韦达定理是初中数学中的一个重要工具，可用来解决一元二次方程问题中的两根关系问题.初中数学中许多问题经常与二次函数结合对知识点进行考查，所以就需要构造一元二次方程求解相关量的大小，这时韦达定理就对根的求解起到了重要作用.本文结合例题谈韦达定理在初中数学中的应用.

【关键词】韦达定理；初中数学；解题技巧

典例分析

类型1求解反比例函数中k的大小

例1如图1所示，平面直角坐标系中，直线y=－2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=kx（x>0）交于C、D两点，且满足∠AOC=∠ADO，则k的大小为.

解如图2所示，因为△AOC∽△ADO，

所以OA2=AC·AD.

因为AO∶BO∶AB=2∶4∶25，

所以AC=52CF，AD=52DE.

所以4=52CF·52DE=54CF·DE.

因为CF、DE分别代表着点C、D的纵坐标yC、yD，

所以4=54yC·yD.

因为是纵坐标乘积的形式，所以考虑使用韦达定理.

联立y=－2x+4，y=kx，

可得y2－4y+2k=0，

所以yC·yD=2k，

则4=54·2k，

所以k=85.

评析反比例函数常常和直线结合进行考查，所以有时需要将直线和反比例函数的方程联立来求解相关问题.联立得到的方程是与两者交点坐标有关的方程，如果此方程是一元二次方程，就可以利用韦达定理求解其中相关参数的大小.最后要注意对结果进行检验.

类型2求图形边长的范围

例2如图3所示，在△ABC中，AC+BC=a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围.

解设AC=x，BC=y，

所以x+y=a.

因为点M是AB的中点，

所以MC=MA=MB=5，△ABC是直角三角形.

在Rt△ABC中，x2+y2=100，

所以xy=（x+y）2－（x2+y2）2=a2－1002.

所以x，y是方程t2－at+a2－1002=0的两个实根，

所以Δ=a2－2（a2－100）≥0，解得a≤102.

又因为a=x+y=AC+BC>AB=10，

所以a的取值范围是10<a≤102.

评析求解图形边长的问题，可以将几何量代数化，从而利用代数解析式解答问题.在求解代数解析式的过程中，如果遇到一元二次方程，方程的根就是几何量的大小，也可以利用根的判别式来得到几何量大小的范围.再结合韦达定理即可具体求解出参数的值，并根据之前的范围进行取舍.

类型3求函数的解析式

例3方程x2－2x－1=0的两根是α和β，方程x2+mx+n=0的两根是α2和β2，点（m，n）在一次函数y=kx+（n－3）的图象上，则此函数的解析式为，其图象与坐标轴围成的图形的面积是.

解因为α和β是方程x2－2x－1=0的两根，

所以由韦达定理得α+β=2，αβ=－1.

又因为α2和β2是方程x2+mx+n=0的两根，

所以m=－（α2+β2）=－（α+β）2+2αβ=-6，

n=α2β2=（－1）2=1.

将（－6，1）代入y=kx－2，

得到－6k－2=1，

解得k=－12.

所以函数的解析式为y=－12x－2.

在y=－12x－2，

令x=0，得y=－2.

令y=0，得x=－4，

所以函数图象与坐标轴围成的图形的面积是4.

评析韦达定理最直接的应用就是解方程，而函数的零点问题可以转化为方程问题.因此，对于函数解析式问题可以代入韦达定理求得解析式中系数的大小.有时还可以利用韦达定理的其中一个关系式来得到函数图象中某两点的中点的坐标.

结语

总的来说，韦达定理作为初中数学中的重要内容之一，其应用价值是不可忽视的.本文深入探讨了韦达定理在求解反比例函数中k的大小、求图形边长的范围和求函数的解析式三个方面的应用，在一定程度上拓宽了解题的视野.同时，在解题的过程中能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高数学学科的核心素养.在笔者看来，韦达定理更为重要的是考查了学生的检验意识，许多学生经常只会背公式解题，而忽略了韦达定理成立的条件，即方程有实根，养成良好的习惯，才能成为更完美的人.

参考文献：

［1］谢炳发.例说韦达定理在初中数学解题中的妙用[J].新课程导学，2022（22）：54-57.

［2］王炜煜.例谈“韦达定理”在初中代数中的应用[J].初中数学教与学，2015（03）：12-14.

［3］谢雪梅.韦达定理在初中数学中的应用例析[J].中学教学参考，2011（29）：47.