初中数学最短路径问题探讨

【摘要】最短路径问题在初中数学中是一个常见的问题，它涉及作图和几何知识的综合应用，常常出现在路线选择等问题中．本文以案例的形式对初中数学中将军饮马等问题的解决办法进行探讨，抛砖引玉．

【关键词】初中数学；最短路径；将军饮马模型

随着城市化的发展，人们出行、购物等活动都需要选择最佳路径，最短路径问题因此变得日益重要．在初中数学教材中，最短路径问题通常以路线选择的形式出现，需要学生运用作图的办法和几何知识来解决．

1将军饮马模型

例1如图1，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图1中标出点O的位置．

解析作M关于直线a的对称点M′，连接NM′与直线a交于点O，点O的位置如图2所示．

点评本题考查将军饮马模型，作M关于直线a的对称点M′，连接NM′与直线a交于点O，根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到OM+ON+MN最短．

2数学综合问题中的最短路径问题

例2已知m－1x3+mx2－5－mx+3=0为一元二次方程，x1，x2为此方程的解，且x1<x2，若Ax1，－1，Bx2，1为坐标平面内的点．

（1）求m的值；

（2）求直线AB的表达式；

（3）若M，N分别是直线AB上的两个动点，MN=AB，点M在点N的左边，点C－1，2，D3，3，当四边形MNDC周长最小时，写出点M的坐标．

解析（1）因为m－1x3+mx2－（5－m）x+3=0为一元二次方程，

所以m－1=0且m≠0，

所以m=1．

（2）由（1）可知原方程为：x2－4x+3=0，

即：x－3x－1=0，

因为x1，x2为此方程的解，且x1<x2，

所以x1=1，x2=3，

则A1，－1，B3，1，

设直线AB的表达式为y=kx+b，

代入A1，－1，B3，1，

得：k+b=－13k+b=1，

解得：k=1b=－2，

所以直线AB的表达式为y=x－2.

（3）当x=0时，y=－2，

当y=0时，x=2，

则P0，－2，Q2，0，

所以OP=OQ=2，则∠PQO=45°，

因为M，N分别是直线AB上的两个动点，MN=AB，点M在点N的左边，A1，－1，B3，1，

所以点M可由点N向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，MN=AB=22，

则将点D3，3，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得E1，1，

由平移可知：DN=EM，

过点E作EX⊥x轴，连结EQ，如图3所示，

则EX=XQ=1，EQ=2，

则∠EQX=45°，

所以∠EQP=90°，

延长EQ，使得EQ=FQ，过点F作FY⊥x轴，

则直线PQ为EF的垂直平分线，∠FQY=45°，

所以ME=MF，

因为∠FQY=45°，FQ=EQ=2，

所以△FQY为等腰直角三角形，

则EX=XQ=1，QY=1，

所以F3，－1.

四边形MNDC周长为CD+DN+NM+CM=CD+EM+MN+CM，而CD与MN为定值不变，则要使得四边形MNDC周长最小，只须使得CM+EM最小，即CM+MF最小.

由两点之间线段可知，当C，M，F三点在同一直线时，CM+MF取得最小值，即四边形MNDC周长取得最小值.

此时点M为直线CF与直线AB的交点，

设直线CF的表达式为y=mx+n，

代入C－1，2，F3，－1，

得－m+n=23m+n=－1，

解得m=－34n=54，

所以直线CF的表达式为y=－34x+54，

可得y=x－2y=－34x+54，

解得x=137y=－17，

所以四边形MNDC周长取得最小值时，点M的坐标为137，－17．

点评本题考查一元二次方程的定义及解法，利用待定系数法求函数解析式、最短路径问题，画出图形，利用平移和两点之间线段最短是解决问题的关键．

3结语

最短路径问题在初中数学中是一个重要的知识点，它涉及作图和几何知识．通过深入探讨模型的来源以及构建过程，结合现实生活中的实际应用、数学综合问题的解决等经历，归纳总结数学建模的策略，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力．同时，也为教师提供了教学参考，有助于提高教学质量．