例析数形结合思想在初中数学中的应用

【摘要】数形结合思想是初中数学的重要思想，也是学生数学素养的体现.通过数形结合可以将抽象的数学运算和直观的图形相结合，融合了抽象思想和形象思维，综合了两种方法的优点，对于解题往往起到重要的作用.本文结合实例探讨数形结合思想在初中数学中的应用，以供读者思考.

【关键词】初中数学；数形结合；解题技巧

1以“形”解“数”

1.1利用反比例函数比例系数k的几何意义求其大小

例1如图1所示，双曲线y=kx（k>0）经过Rt△OAB边OB的中点D，且与边AB相交于点C.若S△OBC=3，则k=.

解取AO的中点E，连接DE.

因为点D是直角三角形OAB斜边OB的中点，

所以DE是三角形OAB的中位线.

由中位线的性质可得DE∥AB，DE=12AB.

因为BA⊥OA，

所以DE⊥OA，

S△ODE=14S△OBA=12k，S△OBA=2k.

又因为S△OCA=12k，S△OBC=3，

所以12k+3=2k，

即k=2.

评注反比例函数下方所包含图形的面积就代表着比例系数k的大小，利用数形结合思想，将原本复杂的代数运算转化为图形面积的运算，利用割补法等求解面积大小的方法即可.

1.2几何作图求线段和最值

例2如图2所示，抛物线y=ax2－5ax+c与x，y轴分别交于A，C，E三点，其中A（－3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，M，N两点分别是线段CO，BC上的动点，CM=BN，连接MN，AM，AN.

（1）求参数a的值；

（2）求AM+AN的最小值.

解（1）把（-3，0）和（0，4）代入y=ax2-5ax+c中，得9a+15a+c=0c=4，

解得a=-16，c=4，

所以a为-16.

（2）由（1）可求得抛物线解析式为y=-16x2+56x+4，点D的坐标为（3，5）.

设点M（0，t），过点N作NH⊥x轴，

则CM=BN=4－t.

由△BNH∽△BCO，

得NH=45BN=165－45tBH=35BN=125－35t，

OH=3－（125－35t）=35t+35，

所以N（35t+35，－45t+165）.

AM+AN=（0+3）2+（t－0）2

+（35t+35+3）2+（－45t+165－0）2

=t2+9+（t－25）2+57625

=（t－0）2+（0－3）2

+（t－25）2+（0－245）2.

建立如图3所示的平面直角坐标系，

则A（0，3），B（25，245），C（t，0）.

（AC+BC）min=BD

=（25－0）2+（245+3）2=61，

即（AM+AN）min=61.

评注求解折线段最值问题时，通常可以将其转化为典型的“将军饮马”问题，从而将代数问题几何化，拓宽了解题的思路，体现了数形结合的思想.

2以“数”解“形”

2.1通过代数运算避免作辅助线

例3如图4所示，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，点E在边AB上，连接DE，CE，∠CED=90°，AD+BC=CD.求证：E是AB的中点.

解设AD=x，BC=y，

则CD=x+y.

在Rt△CDE，Rt△ADE和Rt△BCE中，

由勾股定理得CD2=DE2+CE2DE2=AD2+AE2CE2=BC2+BE2.

所以CD2=AD2+AE2+BC2+BE2，

即（x+y）2=x2+AE2+y2+BE2，

整理可得AE2+BE2=2xy①，

易证△ADE∽△BEC，

则y：AE=BE：x，

所以xy=AE·BE②，

将②代入①中得AE2－2AE·BE+BE2=0，

即（AE－BE）2=0，

故AE=BE，点E即为AB的中点.

评注此题作为一道几何问题，常规的思路是添加辅助线，实现条件的转化来求解，但是在实际的解题过程中会发现思路难以开展.关注题目条件的特征，出现了多个直角三角形，就考虑使用勾股定理从代数角度进行运算.再结合相似三角形的性质，建立起线段之间的数量关系，即可得到答案.

3结语

由上述几道例题可以看出，将代数和几何的知识互相转化，可以在一定程度上降低问题的难度.在初中数学中，此类问题比比皆是，学生要多观察、多分析、多比较，找到代数和几何的平衡点.华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形少数时难入微，只有将两者的优点结合，才能碰撞出创新的火花.