分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用

【摘要】分类讨论思想是解答初中数学问题的重要思想.等腰三角形问题就是一类经常需要分类讨论的问题.许多学生在面对等腰三角形问题时容易出现错解、漏解的情况，这就是因为没有对问题进行合理分类.本文结合实例探讨分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，以供读者参考.

【关键词】分类讨论；等腰三角形；初中数学

类型1依据几何图形的位置关系进行分类

例1如图1所示，在△ABC中，BC>AB>AC，∠ACB=40°，若D、E两点在直线AB上，且满足AD=AC，BE=BC，则∠DCE=.

解分析题目条件可以发现对△ABC的描述较少，D、E两点可以在点A的同侧，也可分居点A的两侧，需要分类讨论.

（1）D、E两点都在点A的左侧时，如图2所示.

因为BE=BC，

所以∠BEC=∠BCE=12（180°－∠ABC）.

因为AD=AC，

所以∠ADC=12∠BAC.

因为∠DCE=∠BEC－∠ADC，

所以∠DCE=12（180°－∠ABC）－12∠BAC，

即∠DCE=12∠ACB=12×40°= 20°.

（2）当D、E两点都在点A的右侧时，如图3所示.

与（1）类似可得

∠DCE=12∠ACB=12×40°=20°.

（3）当点D在点A左侧，点E在点A右侧时，如图4所示.

因为BE=BC，

所以∠BEC=12（180°－∠CBE）=12∠ABC.

因为AD=AC，

所以∠ADC=12（180°－∠DAC）=12∠BAC.

在△DCE中，∠DCE=180°－（∠BEC+∠ADC），

所以∠DCE=180°－12（∠ABC+∠BAC）=180°－12（180°－∠ACB）=110°.

（4）当点E在点A左侧，点D在点A右侧时，如图5所示.

因为AD=AC，

所以∠ADC=12（180°－∠DAC）=12（180°－∠BAC）.

因为BE=BC，

所以∠BEC=12（180°－∠ABC）.

于是在△DCE中，∠DCE=180°－（∠BEC+∠ADC）=70°.

综上所述，∠DCE的度数为20°或70°或110°.

评析此G7wRsdJn3xvOFq3uZiHOfw==类问题是等腰三角形问题中较为复杂的一类题目，在解题时，要能够对题目条件进行合理的解读.根据点的位置将每一种情况都一一列出来进行计算，就可以得到答案.

类型2对存在性的分类

例2如图6所示，△ABC是直角三角形，其中∠C=90°，∠A=30°，点P是直线BC或AC上的一点，且满足△PAB是等腰三角形，求符合条件的点P的个数.

解（1）当AB为腰，点A是顶点时，如图7所示.

以点A为圆心，AB的长为半径画圆分别交直线BC和AC于P1、P2、P3三点.

（2）当AB为腰，点B是顶点时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆分别交直线BC和AC于P3、P4、P5三点.

（3）当AB为底时，作AB的垂直平分线分别交直线BC和AC于P3、P6两点.

综上所述，符合条件的点P有6个.

评析存在性问题一般都要画出图象来寻找，这时就需要作辅助线来明确点的位置，常用的方法有作圆、作垂直平分线等.

类型3对边长进行分类

例3等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求另外两边的长.

解此题有两种情况.

（1）当长为6cm的边为底边时，则腰长为7cm，能构成三角形.

（2）当长为6cm的边为腰时，则底边长为8cm，能构成三角形.

综上所述，这个三角形的另外两边长可能为7cm，7cm或8cm，6cm.

评析针对边长进行分类是等腰三角形问题中较为简单的一类题目，与针对角进行分类类似.在解答这一类问题时，学生只需要考虑到边的两种情况：腰和底边，即可解出答案.

结语

上述三种类型的问题难度由高到低，学生们对于前两种需要多加研究，熟悉不同的分类方法，明确不同位置以及不同存在条件对答案的影响.而最后一种则较为基础，只做简单介绍，考虑到所有情况即可.