“动点最值问题”在初中几何中的分类解析

【摘要】动点问题是当前中考的热门问题，其中动点产生的几何最值问题是常考题型之一.所谓“动点最值问题”就是指在几何图形中，存在一个或者多个确定的点，随着时间的推移其位置和速度发生偏移，在这一运动过程中产生的两点、点线、线段等的最值问题.动点问题的涵盖内容非常广泛，由于其复杂的动态变化，在解题中极为考验学生的逻辑推理能力，因此成为中考的难点.解决这类问题的关键就是在动态变化中找到不变的量，本文以几何动点中求一条边的最值为例，分析总结几种常见的动点类型，帮助学生形成解决动点问题的思路.

【关键词】动点问题；初中数学；解题思路

1将军饮马模型

将军饮马通常是两条线段之和的最值问题，基础数学模型为：直线l同侧有两个定点A，B，请在直线l上找一点C，使AC+BC最小.这类模型在几何中的应用十分广泛，可以与三角形、矩形、圆形等几何图形结合出现.

例1如图1，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为.

分析本题是将军饮马模式在四边形中的应用，这类问题的解题思路为：先找对称点，化折线为直线段，再利用点线之间的定理判断其最值.在正方形中，点B和点D关于AC对称、首先确定对称点，DN+MN取最小值时，即B，N，M三点一线时，所以（DN+MN）min=BM.

解析连接BM，因为点B与点D关于线段AC对称，

所以BN=DN，当B，N，M三点一线时，DN+MN取最小值.

已知正方形ABCD的边长为8，DM=2，

可得CM=DC－DM=6，

根据勾股定理，在Rt△BCM中BM2=BC2+CM2=82+62=100，

所以BM=10，

所以（DN+MN）min=BM=10.

2费马点模型

所谓的“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.费马点问题主要隐藏在求PA+PB+PC的最小值问题中，一般会将三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，再利用两点之间线段最短解决问题.

例2如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内的一点，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA，PB，PC，当AC=3，AB=6时，则PA+PB+PC的最小值为.

分析本题就是标准的“费马点”模型，因此，解题时可以直接利用模型.其解题思路为：画出四点一线时候的图形，利用旋转图形全等的定理进行求值.

解析连接BN，PM，当点P移动到P，C，M，N四点共线时，PA+PB+PC取最小值.

因为△AMN由△ABP顺时针旋转60°所得，

所以，△AMN≌△APB，

所以AP=AM，AB=AN，

又因为∠PAM=60°，∠BAN=60°，

所以△APM，△BAN均为等边三角形，

所以PA+PB+PC=PM+MN+PC，

所以∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

所以∠CBN=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理，BC2=AB2－AC2=62－32=27，

可得BC=33，

在Rt△BCN中，CN2=BC2+BN2=27+36=63，

所以CN=37，

综上，PA+PB+PC的最小值为37.

3隐圆模型

隐圆最值问题在中考的选择填空题中，经常以压轴题的形式出现，其中运用的原理为圆外一点到圆上的距离取最小值时，即圆外点到圆心的距离减圆的半径长度，取最大值时为圆外一点的距离加上圆的半径长度.隐圆模型可分为定点+定长类，定角+定长类.解决隐圆问题的关键思路：抓图形中的不变量，画出动点轨迹，再利用几何图形的性质求解.

例3如图3，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN相交于点P，则△APB周长的最大值为.

分析根据题意分析可知△ABM≌△BCN，所以∠PBA+∠PAB=∠ABC=60°，∠BPA=120°，线段AB=2为定值，动点P的运动轨迹是以AB为定弦的圆，在圆的内接三角形中，当△ABP为等腰三角形时，周长最大.

解析因为AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，

所以△ABC为等边三角形，

所以AB=BC=AC，

因为点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，

所以BM=CN，可得△ABM≌△BCN，

所以∠CBN=∠BAM，

所以∠PBA+∠PAB=∠ABC=60°，∠BPA=120°，继而可画出点P的运动轨迹为定弦为AB，与点P形成的角∠APB=120°的内接三角形形成的圆.

当△APB为等腰三角形时，其周长取最大值.取AB的中点为点H，连接PH，

∠HPA=60°，∠PAH=30°，

所以∠PHA=90°，PH=12AP=12，

根据勾股定理，在Rt△PHA中，AP2=PH2+AH2，

代入数值可得，AP=233，

因为△APB为等腰三角形，

所以C△ABP=AP+BP+AB=2+433.

参考文献：

［1］王涵.初中数学动态几何问题的解题方法[J].数理化解题研究，2022（26）：2-4.

［2］李远旺.常见平面中动点问题的分类讨论[J].数理化解题研究（初中版），2012（11）：7-8.