初中数学中分式函数最值问题求解策略

【摘要】本文以分式最值的求解为切入点，探讨初中数学中分式函数最值问题求解策略，以提高解题效率和正确率.通过对典型问题的分析，呈现这些策略的应用效果，并提出进一步的研究方向.

【关键词】初中数学；分式函数；最值

分式函数最值问题是初中数学中的重要内容之一，涉及函数的性质、图象、不等式等多个知识点.由于其综合性强、难度较大，一直是学生学习的难点.因此，研究初中数学中分式函数最值问题的求解策略，对于提高学生的解题能力具有重要意义.

1分式最值的求解

例1已知a，b，c是不全相等的正整数，且5a+b5b+c为有理数，求a2+b2+c2a+b+c的最小值．

解析因为b，c是正整数，5是无理数，

故5b－c≠0．

而5a+b5b+c=5a+b5b－c5b2－c2

=5ab－bc+5b2－ac5b2－c2为有理数，

所以b2－ac=0，故b2=ac，

又a，b，c不全相等，

不妨设a>b>c．

又a2+b2+c2=a2+2ac+c2-b2=a+c2－b2=a+c+ba+c－b，

所以a2+b2+c2a+b+c=a+c－b为整数．

当c=1时，a=b2为完全平方数，

则a≥4，

a+c－b=a+c－ac=c－a22+3a4≥0+3=3；

当c≥2时，a+c－b≥1+c≥3．

所以a+c－b≥3，

且当a=4，b=2，c=1时，

a+c－b=3．

因此，a2+b2+6d196873823d290b8b01373c66279b28c2a+b+c的最小值为3．

点评本题为求解分式最值的问题，而分式函数的最值问题的本质是在函数定义域范围内求解分式的最值.5a+b5b+c为有理数，而5是无理数，这就需要在分式5a+b5b+c中分离出5，找到a，b，c的关系，将分式a2+b2+c2a+b+c化简后求最值.

2根据新定义求解分式函数最值

例2已知x，y为非负实数，因x+y－2xy=x2+y2－2x·y=x－y2≥0，所以x+y≥2xy，当且仅当“x=y”时，等号成立．

（1）当x>0时，求y=x2+x+1x的最小值.

（2）随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为n2+n10万元．问：这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用之和年数n）？最少年平均费用为多少万元？

解析（1）因为y=x2+x+1x

=x+1x+1

≥2x·1x+1

=3，

所以当x=1x，

即x=1时，y的最小值为3.

（2）年平均费用=（n2+n10+0.4n+10）÷n

=n10+10n+12

≥2n10·10n+12

≥2+0.5

≥2.5，

所以当n10=10n，即n=10时，报废最合算，且最少年平均费用为2.5万元．

点评本题给出了新定义（当x，y为非负实数时，x+y≥2xy），将y=x2+x+1x转化为y=x+1x+1，然后根据上述新定义求解最值问题；第（2）问就是将这个规律应用于实际生活中，考查学生数学应用能力．

3根据函数图象探究分式函数最值

例3给定一个函数：y=x+1x+1（x>0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行了探索，先取值并列表（如表1）.

将表1中的点描在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线画出该函数的图象，如图1所示．

请结合函数的图象，写出当x=，y有最小值为.

解析观察图象知，图象的最低点坐标为（1，3），

即当x=1时，y有最小值3.

点评本题是函数的综合应用问题，考查了函数图象的画法、性质及函数的应用，灵活应用所学函数知识是解决问题的关键，根据数形结合，由函数图象找到了分式函数最值并灵活应用于日常生活中．

4结语

本文研究了初中数学中部分分式函数最值问题的求解策略，并通过典型问题分析展示了这些策略的应用效果.分式函数的类型非常多，给出的条件也很灵活，需要进一步研究如何将更多解题技巧应用于实际问题中，以提高解题效率和正确率.同时，也要关注分式函数最值问题在中考、竞赛等考试中的趋势和变化，为教师和学生提供更有针对性的指导.

参考文献：

[1]欧健.分式函数最值问题的解法[J].数学教学通讯，2011（24）：52-53.

[2]马玉武.例谈一类分式函数最值问题的求解策略[J].高中数理化，2016（17）：14.

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[4]娄爱玉.例谈分式函数值域的几种求法[J].语数外学习（高中版中旬），2022（12）：42.