等差数列前n项和一类问题的拓展与新解

［摘 要］ 数列知识是高中数学的重点，也是高考必考考点. 这些内容都源于课标和教材，因此数学教学应回归课标、重视教材. 研究者从人教B版选择性必修第三册教材中的一道关于等差数列前n项和的母题出发，给出两类拓展与应用，以及等差数列前n项和一类问题的新解.

［关键词］ 数列；等差数列前n项和；拓展与新解

数列知识是高中数学的重点，也是高考必考考点. 随着高考改革的推进，对数列知识的单一性考查在减少，对数列知识的综合性考查在增加，数列与新文化、新定义的结合越来越频繁. 如2020年高考全国Ⅱ卷（文科数学）以钢琴和弦为背景，从数学角度对音乐中的原位大三和弦与原位小三和弦给出了定义，其本质是数列的基本概念以及简单的计数问题，融合了数学知识与跨学科文化，关注学生进行数学思考并解决问题的素养［1］；2024年高考新课标Ⅰ卷压轴题以数列为背景设置，教育部教育考试院发布的《2024年高考数学全国卷试题评析》中评价道：以等差数列为知识背景，创新设问方式，设置数学新定义，搭建思维平台，引导学生积极思考，在思维过程中领悟数学方法，自主选择路径和策略分析问题、解决问题［2］.近年来，无论以何种形式考查数列知识，都更具创新性，且都体现了数学知识本质，题目知识限定于中小学数学课程标准内，重点考查的是数学思维方式、思想方法、核心素养，强调数学教学应回归课标、重视教材［3］.

等差数列作为特殊的数列模型，其前n项和公式为数列求和提供了一种便利，且是有限项和向无限项和的延伸，以及无限项和转化为有限项和的求解路径，是学生感悟转化与化归思想的优秀素材. 教材将其作为单独小节进行讲授，并融合了多种类型问题. 对于“给出两个等差数列的前n项和之比，求解其中某项之比”的问题，学生常常应用等差数列的前n项和公式直接求解. 由于受限于此思维模式，当遇到变式拓展问题时，求解变得复杂，且错误率偏高. 因此，本文基于“回归课标、回归教材”的理念，从高中数学教材中的一道类似问题出发，从题型上进行拓展、从解法上进行优化，探究这类问题的求解新思路.

母题解析

母题是人教B版选择性必修第三册教材“数列”单元“本章小结”复习题板块B组第11题［4］. 具体内容如下：

母题 已知等差数列｛a｝的前n项和为A，等差数列｛b｝的前n项和为B，且=，求.

传统解法 因为｛a｝，｛b｝为等差数列，所以====. 又=，所以===.

分析 本题利用等差中项的性质2a=a+a，以及求和公式A=，将转化为. 解题难点是找到“项下标”与“和下标”的关系，将“项之比”转化为“和之比”. 因此，运用倒序相加法进一步探讨优化解法思路：A=a+a+…+a，A=a+a+…+a，所以2A=（a+a）+（a+a）+…+（a+a），A===（2n-1）a，可得a=，b=，进而求得=. 由此构建了与的关系，代入相应数值即可求得，这对学生来说并不难.

优化解法 将相应数值直接代入公式=，得===.

现将母题的优化解法一般化地归纳为：

已知等差数列｛a｝的前n项和为A，等差数列｛b｝的前n项和为B，且=（a，b，c，d为常数，n为数列项数，n∈N*），则==.

变式拓展一

教材中的这道母题，对于学生来说容易解答. 在教学及测试中，往往会对这道母题进行变式，如典型的一类问题就是下标不相同的“项之比”问题.

变式题1 已知等差数列｛a｝与｛b｝的前n项和分别为A，B，且=，则的值为（ ）

A. B.

C. D.

传统解法 因为｛a｝，｛b｝为等差数列，所以==·=·=·. 又=，所以=·=×=. 故选D.

分析 由于a与b的下标不同，因此在利用等差中项性质构建前n项和的过程中需要按照系数进行配比，若下标n，m之间的关系复杂，则计算过程就复杂，学生容易出现错误，增加了学生的运算量和思维难度. 因此，笔者进行了进一步思考，尝试探究问题新解. 因为已知条件是“和之比”，所以要想办法将所求的“项之比”转化为“和之比”［5］，不妨参考母题的优化解法进行推广.

因为｛a｝与｛b｝为等差数列，要求得的值，可以采用母题的优化解法，即令b中的n=m，得到b，故==.

这类题目给出的条件常是的式子，并且=是关于n的一次分式函数［6］，很容易识别其中的a，b，c，d的值. 若分子、分母中的项的下标不同，也可采用下标相同时的解法，提高解题效率.

对变式题1的优化解法总结如下：

已知等差数列｛a｝与｛b｝的前n项和分别为A，B，且=，则==（a，b，c，d为常数，m，n为数列项数，m，n∈N*）.

对于变式题1，具体解答过程为：

因为=，故===，则===.

为验证优化解法的通用性，现提供一道题目进行测试.

应用题1 （2021—2022高二上·江苏镇江·期末）已知等差数列｛a｝，｛b｝的前n项和分别为S和T，若=，且是整数，则n的值为___.

传统解法 由的分子、分母同时乘2，得. 由于b的首项为b，且｛b｝是由｛b｝的偶数项组成的数列，因此在求解中要注意其拆分和组合. ====，又=，所以====，且=为整数.

设=k∈Z，故7n+19=2kn+k，即（2k-7）n=19-k，解得n=. 令≥1，解得<k≤，且k∈Z. 当k=4时，n==15满足要求；当k=5时，n=不符合要求；当k=6时，n=不符合要求；当k=7时，n=不符合要求；当k=8时，n=不符合要求. 综上所述，n=15. 故答案为15.

优化解法 由已知得====，所以=k∈Z，7n+19=2kn+k，即（2k-7）n=19-k，解得n=. 令≥1，解得<k≤，且k∈Z. 当k=4时，n==15满足要求；当k=5时，n=不符合要求；当k=6时，n=不符合要求；当k=7时，n=不符合要求；当k=8时，n=不符合要求. 综上所述，n=15. 故答案为15.

变式拓展二

为了使等差数列前n项和公式的应用更加广泛，使得优化解法的通用性更强，现进一步推广至“求”的问题：已知等差数列｛a｝与｛b｝的前n项和分别为A，B，且=，则=（a，b，c，d为常数，m，n为数列项数，m，n∈N*）. 若m=2n-1，则==.

变式题2 已知等差数列｛a｝，｛b｝，其前n项和分别为S，T，且满足=，则=______.

传统解法 因为==·=·=，且=，所以====. 故答案为.

优化解法 将相应数值直接代入公式=，得==.

通过拓展优化解法可知：对于等差数列｛an｝，｛bn｝，无论求的是，还是，都可以将相应数值直接代入优化解法中的公式而求解——两种解法（传统解法和优化解法）所得的结果是一致的.

应用题2 已知等差数列｛a｝，｛b｝的前n项和分别为S，T，且=，若≥λ恒成立，求λ的取值范围.

传统解法 因为====·，=，所以·===1+（n≥1）. 当n≥1，且n∈N*时，（2n-1）2≥1. 所以1<1+≤2，所以λ≤1.

优化解法 可以直接使用公式=，得到=·=·==1+>1. 又≥λ恒成立，所以的最小值大于等于λ. 所以λ≤1.

优化解法的评价与小结

综上所述，对于“给出两个等差数列的前n项和之比，求解其中某两项之比”的问题——从同下标到异下标两项的比，再到某一项与前几项和的比，其新思路、新解法的特点概括如下：

（1）创新性. 相比于传统解法，优化解法打破常规，以新颖的视角和思路解决问题. 新解法应用特殊到一般的数学思想方法，不仅提高学生的解题效率，还培养学生的创新思维和解决问题的能力.

（2）简洁性. 优化解法简洁明了，避免了复杂的计算和烦琐的步骤，便于学生理解和掌握，同时减少了出错的可能性. 上述两道应用题的优化解法对比传统解法，运算优势显而易见. 应用优化解法进行运算，无须表示和求解等差数列的基本量，大大提高了运算效率.

（3）通用性. 通用性也是优化解法的另一个优点. 它适用于求解等差数列的某两项的比值或某一项与前n项和的比值，可帮助学生举一反三，提高学生解题灵活性，培养学生知识迁移能力，使学生通过类比快速找到类似问题的解决思路.

参考文献：

［1］ 黄翔，童莉，史宁中. 谈数学课程与教学中的跨学科思维［J］. 课程·教材·教法，2021，41（7）：106-111.

［2］ 教育部教育考试院. 优化试卷结构设计 突出思维能力考查：2024年高考数学全国卷试题评析［J］. 中国考试，2024（7）：79-85.

［3］ 章建跃. 回归课标、重视教材才是王道：高考复习如何回归教材（之六）［J］. 中小学数学（高中版），2024（6）：3.

［4］ 李启寨，王人伟，等. 普通高中教科书·数学·选择性必修第三册（B版）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］ 潘京乐. 一个易错的“等差数列前n项和之比”的结论及证明［J］. 理科考试研究，2022，29（5）：30-31.

［6］ 余生荣. 关于等差数列前n项和比值的两类问题［J］. 内蒙古电大学刊，2003（2）：45.