核心素养背景下过程性教学的实践与研究
2024-09-30沈峥铃
[摘 要] 近年来,随着信息技术的发展,心理学与数学学科飞速崛起,掀起了新一轮的数学课程改革热潮. 过程性教学在这种背景下应运而生,研究者以“两角差的余弦公式”教学为例,分别从以下四方面展开教学与分析:创设情境,感知知识形成过程;由“根知识”,揭露结论探究过程;延迟判断,展示学生的思维过程;关注小结,暴露学生的反思过程.
[关键词] 核心素养;过程性教学;课程改革
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下文简称新课标)提出:数学教学以发展数学核心素养为目标,该目标在教学活动的开展与知识的应用过程中逐步形成与发展而来. 自此,过程性教学成了教育界热议的焦点. 实践证明,过程性教学是落实核心素养的基础,需教师结合学情与教情创设具有一定创新意义的活动,让学生从实际问题中抽象出数学模型,并应用逻辑推理解决问题,获得思考与分析问题的能力. 本文以“两角差的余弦公式”为例,具体践行过程性教学.
创设情境,感知知识形成过程
新课标指出,数学教学应注重培养学生的数学核心素养,通过合理的情境设置激发学生思维,促进他们深入理解数学知识. 过程性教学依赖于情境的运用,这些情境应基于知识的发生和发展来设计. 过程性教学能让学生体验到数学学习是一件轻松、愉悦、自然、亲切的事情,并能从情境体验中自主提炼数学思想方法,为形成良好的数学能力奠定基础.
实践表明,仅仅依赖教材进行“注入式”教学会使学生感到数学枯燥. 相反,根据学生的认知、心理和学习偏好设计情境,让学生经历观察、猜想和验证,有助于他们清晰理解知识的形成和发展.
教学“两角差的余弦公式”,若从开门见山到直接挑明向量的数量积问题,再到直接呈现或推导公式,带给学生的学习体验就是:这个公式纯属“副产品”,并没有太多实际意义,而且得来也不费劲,没有必要深入研究. 至于“为什么要探索该公式?”“怎样想到向量法的?”这些都无法呈现出来.
显然,上述教学流程并不能满足学生思维发展的实际需要,学生若对公式没有做到“知其然且知其所以然”,在应用时难免出现各种问题. 为此,笔者从学情与公式特点出发,借助学生熟悉的三角板作为课堂情境素材.
活动要求:取出课前准备好的一副三角板,将手中的两个三角板拼接一起,形成各种度数的角.
问题1 一副三角板可以拼出哪些度数的角?每个拼接而来的角具备哪些特点?
生:可以拼成90°,75°,15°,120°…的角,拼接而来的每一个角的度数都是15°的倍数.
问题2 有没有办法求出拼接而来的所有角的余弦值?
问题3 从最基本的角开始分析,思考cos15°的值是多少.
教学分析 课堂开始,根据学生情况和知识特性创设情境,遵循特定流程:数学工具引出课题—动手操作—提问讨论. 即将学生所熟悉的三角板作为情境素材,带领学生沿着知识形成的过程搭建思维“脚手架”. 学生亲历操作,可调动学习参与的积极性,感知15°角的由来,如用45°角减掉30°角,为后续求cos15°的值时,将问题转化为cos(45°-30°)做铺垫. 设计后两个问题旨在引起学生认知冲突,使他们意识到无法直接得出结论,从而激发其内在学习需求,产生探究欲和学习动机,为后续学习打下情感基础.
值得注意的是,该情境虽然揭露了15°角的由来,但接下来的探索必然碰到一些未知的新问题,教师应带领学生正视新的问题,激发学生的挑战欲,构建以学生为中心、鼓励积极思维的教学模式,这对发展学生的数学创新意识、思维能力、推理能力等具有重要意义.
由“根知识”,揭露结论探究过程
“根知识”属于对上、下位学习原理形象化的表达方法,指学生原有的认知结构,即在新知学习前,学生掌握了的与新知相关的知识、解题方法、思路与策略等. 任何数学知识都不是孤立存在的,每项知识都有属于它的应用范围,知识间又存在一定的内在联系,且每项新知的产生都源于旧知.
为了有效揭露数学结论是怎么形成的,尤其是一些特殊化的结论,教师可从学生的“根知识”出发,充分了解学生已有的认知水平与学习经验,以此为基础设计探究活动,能更好地激发学生的潜能,让每一个学生都能在探究过程中获得长足进步.
接着上述教学环节来看,教师抛出“求cos15°”的问题,对学生而言这是一个处于未知领域的问题. 因此,接下来教学应基于学生的“根知识”进行,帮助他们深入理解cos15°的结论.
问题4 之前大家接触过一些特殊三角的函数值,还记得当时是怎样获得这些值的吗?(借助单位圆求解)
师:求cos15°的值,能否采用之前的方法呢?请大家尝试用三角板拼出15°角,并将其置于单位圆内,以小组合作交流的方式探讨cos15°的值.
问题5 观察图1,能收获什么?
面对上述问题,学生运用所掌握的知识进行分析:因为=(cos45°,sin45°),=(cos30°,sin30°),·=1·1·cos(45°-30°)=cos15°,·=cos30°cos45°+sin30°sin45°,所以cos15°=cos30°cos45°+sin30°sin45°=.
问题6 能否获得cos(120°-45°)的值?
对学生而言,问题4、问题5的探索为问题6的解决奠定了思维与方法基础,结合问题4、问题5的探索策略,学生迅速利用单位圆和向量数量积进行类比分析,获得cos75°的值.
当学生探索出上述几个问题的结论后,经讨论,总结出两个特殊情况下的两角差余弦公式:cos(45°-30°)=sin30°sin45°+cos30°cos45°,cos(120°-45°)=cos45°cos120°+sin45°sin120°.
教学分析 学生在探索和交流中学会了从无知到有知,从不会解决问题到主动寻找解决方案,这标志着学力的提升,并为学习其他知识提供了方法. 对于问题4与问题5的设计,均以“根知识”作为思维基础,揭露了cos15°的求解过程. 其中,单位圆与向量数量积都是学生的知识基础. 基于学生的知识体系探索新知,从建构主义理论来说再合适不过了. 学生的认知结构是探索未知的强大工具,一旦确定了探索方向,问题解决便顺理成章.
陶行知先生提出:知识的学习应将学生已有的学习经验作为学习的“根”,由经验而获得的知识作为学习的“枝”,其实别人已有的知识也能成为促进我们学习的依据. 笔者在本节课采用过程性教学设计,以学生的“根知识”为基础,帮助学生构建新旧知识间的联系,让学生从深层次理解、感受与内化新知,逐渐完善认知结构,体验学习带来的愉悦,为树立正向的数学观奠定基础.
延迟判断,展示学生的思维过程
课堂中常存在这样一种现象:教师利用一切时间授课,尽可能为学生多讲几道题目,但学生只能就题论题,遇到实际问题时只会依葫芦画瓢,无法从真正意义上理解解题的核心思想,更谈不上举一反三. 究其主要原因在于学生没有吃透解题方法,没有认清问题本质,无法触类旁通.
为了改变这一现状,教师在解题教学中应改变观念,注重“少而精”,而非“讲得多”,为学生创造更多独立思考和合作的机会,鼓励他们亲自参与探究,创造积极的探索体验,实现深度学习. 延迟判断能给学生提供宽阔的交流与展示平台,让学生感知问题本质与核心.
问题4至问题6的解决,使学生总结出两个公式. 为加深学生的理解,教学应围绕将未知转化为已知、提高知识实用性等策略进行.
问题7 这两个式子的提炼给我们后续解决实际问题奠定了基础,如果要将它们推广应用,该如何一般化呢?
有的学生提出猜想:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 为了验证这个猜想是否正确,教师带领学生操作几何画板,通过变化α,β的值,让学生直观感知cos(α-β)与cosαcosβ+sinαsinβ的关系. 通过数据来看,不论α,β的值如何变化,cos(α-β)与cosαcosβ+sinαsinβ始终是相等的.
问题8 几何画板虽然表明它们恒等,但怎样推理证明呢?
结合类比思想,依然借助单位圆与向量数量积来分析:如图2所示,因为=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),·=1·1·cos(α-β),·=cosαcosβ+sinαsinβ,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
虽然α-β不一定是向量与的夹角,但余弦函数是周期为2π的偶函数,可断定α-β的余弦值必然与这两个向量夹角的余弦值相等,因此α,β可为任意角.
教学分析 此环节,教师若急于求成,直接将两角差的余弦公式与证明展示给学生,学生虽然有所收获,但实际应用时则会出现各种问题. 延迟判断方法,将学生置身于探索过程中,可让学生一直处于积极思考的状态. 因此,延迟判断让学生通过猜想和验证来体验向量与三角函数的联系,这对提高他们的归纳和类比能力很重要.
过程性教学告诉我们,数学教学严禁将知识“灌输”给学生,教学中应避免过早评价,特别是在介绍新概念、定理或公式时,应推迟结论,给予学生足够时间思考,以展现思维过程,促进学力提升.
关注小结,暴露学生的反思过程
课堂小结是一节课的点睛之笔,师生通过小结可检验课堂教学是否达到了既定的教学目标. 然而,部分教师将课堂小结视为一个可有可无的环节,认为它只是在形式上走过场,这导致每节课的小结都大同小异. 殊不知,真正意义上的课堂小结应是丰富多彩的,是课堂的亮点之一,也是暴露学生反思过程的重要手段. 尤其是过程性教学背景下的课堂小结,需突出教学重点与难点,还要带领学生梳理知识点、数学思想方法、证明思路等,这些都是发展数学学科核心素养的基础.
本节课,可从以下三点进行小结:①要求学生说说探究公式的一般过程(特殊→猜想→证明);②说说公式应用的注意事项;③变换公式中角的形式,如β=-α,可得什么结论?
教学分析 学生对公式探究历程的回顾,是掌握一般方法的过程,对培养学生的探究与反思习惯具有重要意义;注意事项的总结,回归到公式本身,关注公式特点,为具体应用奠定基础.
总之,过程性教学符合新课程改革,帮助学生清晰理解知识的形成和演变,确保他们不仅知道是什么,还明白为什么. 在实际应用时,教师应致力于探索与创兴的模式,创设学生感兴趣的情境与合理的问题,引发学生主动探究与合作交流,让学生自主发现知识本质与探索规律,此为发展数学学科核心素养的根本.