经历探究过程，深刻理解定理

［摘 要］ 教学“平面向量基本定理”时，教师需要明确教学目标，结合学情确定教学策略，制定课堂教学方案. 通过整体采用“情境设问、体验探究、过程引导”的教学方式，让学生经历探究过程，深刻理解定理.

［关键词］ 平面向量；基本定理；教学探索

数学定理在高中数学中十分常见，涉及方程、不等式、函数、圆锥曲线等知识模块. 教学大纲强调定理教学，要求教师在教学中揭示定理的生成与发展. 对此，教师可运用“知识探究”模式，设计活动让学生自主研究定理生成过程，感悟思想内涵. 下面本文解读“平面向量基本定理”章节，探索教学方案.

关于定理的教学解读

“平面向量基本定理”是高中数学的重要章节，其知识核心揭示了平面向量间的基本关系，为后续向量研究奠定基础，其中的转化思想是高中学习重点，能提升学生的核心素养.

充分研读教材内容，分析学情后，可以发现该知识板块有两大教学难点：一是虽然学生之前学过平面向量的概念、线性运算、数量积等知识，但对向量关系的理解依然停留在“一维”层面，即只知道简单的“相等”“相反”“共线”等，对平面向量基本定理所描述的“二维”层面较陌生；二是平面向量基本定理涉及线性运算，其运算过程类似于“分解”，其概念相对抽象，学生难以理解把握.

针对上述学情，教学中教师需要慎重处理，可采用“情境设问、体验探究、过程引导”的教学方式来引导学生逐步探索. 教师先合理设计情境问题，即构建与学生联系紧密或学生较熟悉的问题情境；然后设计多样的探究活动，引导学生通过观察归纳总结定理，并在这一过程中充分利用信息技术的便利优势呈现分解过程，帮助学生直观理解定理.

教学需要注意两点，一是合理设问引导，启发学生思考，推进课堂；二是重视定理发现与证明，渗透思想方法，有机结合核心素养.

关于定理的教学构建

“平面向量基本定理”教学分为三大环节：情境引入、探索生成和运用强化.

环节1 情境引入，带来思考.

该环节是关于平面向量基本定理的课堂引入，难点是学生对“二维”知识较陌生. 教师可用“力的分解”设计问题情境引导学生思考.

教学预设：物理学中，受力分析是解题的关键，力的分解是核心方法. 分解过程需结合情境变化. 图1①中的物体放在光滑的水平面上，图1②中的物体放在光滑的斜面上，两个物体均受到同等拉力F的作用（假设拉力方向与接触面不平行）.

思考1：试运用物理知识合理分解拉力，应如何作图？保留作图过程.

思考2：大家在分解拉力时使用了怎样的向量运算法则？请加以说明.

教学引导：引导学生回顾运用物理知识分解力的规律法则，得出图2所示的方案. 学生需要关注两点：一是分解的方向性；二是分解后力的大小（用长度表示）.

教学说明：将力的分解引入课堂，贴近学生生活，助其理解定理实际背景. 后续可用类比法，将“力”替换为“向量”. 思考平面内两非零向量是否可在对应平面内分解，实现课堂过渡.

环节2 情境探究，生成定理.

该环节探究平面向量基本定理的概念生成，建议类比力的分解，引导学生分解向量，并利用信息技术展示同一平面内向量不同分解方案的过程.

（1）情境探究

教学预设：选取平面内的任意两个不共线的向量e1，e2，假设向量a与e1，e2都不共线，试将a按e1，e2的方向分解，如图3①所示.

活动探索：如何按指定方向分解不共线向量？请各小组思考方案.

设问：若在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a，将a按e1，e2的方向分解，如图3②所示，你发现了什么？

教学引导：先让学生分组探究思考，互相交流成果后进行教学引导. 教学引导分两步进行：

第一步，以向量a为对角线，根据e1，e2所在直线作平行四边形，用平行四边形法则找到向量a在e1，e2方向上的分向量，如图4所示.

第二步，根据共线向量定理，将两个分向量分别写成λe1，λe2的形式，其中λ，λ都是确定且唯一的实数，则a=λe1+λe2.

在此基础上，学生进一步思考两个问题：①当a是零向量时，a还能用a=λe1+λe2表示吗？②若向量a与e1或e2共线，则a=λe1+λe2还成立吗？学生独自验证两种特殊向量表示的可行性，加深知识理解.

（2）定理生成

完成上述探究后，教师借助信息技术，直观展示同一平面内任意向量a关于e1，e2的分解过程，如图5所示.

思考：对比力的分解过程和向量的分解过程，可以发现什么共同特点？

教学引导：学生归纳概括共同特点，即给定两个“方向”，就能够分解向量，并且这种分解方式是唯一的，同时明确为两个“不共线的向量”. 在此基础上给出平面向量基本定理，同时解释定理中的三大要点：不共线、存在性、唯一性.

教学说明：该环节包括情境探究和定理生成，两者结合实现定理由实际向数学的转化. 整个过程融合活动探究、设问引导、信息技术展示，通过叙述和解释，引导学生深入思考.

环节3 初步应用，知识强化.

前面两个环节通过实例和数形结合生成平面向量基本定理. 本环节指导学生初步应用，强化知识. 问题设计应难易适中，适度拓展.

问题1：同一平面内基底唯一吗？基底中允许有零向量吗？

问题2：如图6所示，AD是三角形ABC的中线，试用，表示；若E是线段BC上靠近B的三等分点，试用，表示.

教学引导：问题1是关于平面向量基本定理的进一步抽象概括，问题2则是关于平面向量基本定理的初步应用，两个问题旨在让学生明晰平面向量基本定理的本质与内涵. 对于问题2，学生通过几何解析，结合平面向量基本定理，可得=+，=+.

问题3：观察=+与=+中两基底的系数，你发现了什么？再分别观察B，C，D，以及B，C，E的位置关系，你又发现了什么？试讨论并总结你的发现.

探究：若在直线BC上有一点M，满足=t（t∈R），试用，表示.

教学引导：学生进一步探究平面向量基本定理中的共线情形，得到=（1-t）+t，生成三点共线结论（若点A，B，C三点共线，且满足=t（t∈R），点P是平面上的任意一点，则=（1-t）+t成立）.

教学说明：该环节深入解读定理，提供应用指导，有助于学生理解和掌握. 在教学中，教师应注重定理辨析和思维引导，使学生明确平面向量基本定理的应用性质. 引出向量共线定理的目的是让学生体会向量共线定理与平面向量基本定理之间的联系.

关于定理教学的思考

在定理教学中，教师需要围绕“理解”开展教学设计，编排课堂环节，进行理解性探究，关注学生的理解能力，引导学生理解性学习. 新课标要求教师关注学生的思维发展，并以学生为主体开展教学探究. 在平面向量基本定理的探究中，教师以物理学对力的研究作为课堂引入，逐步讲解向量分解，结合图象探索定理. 整个过程充分调用有效资源，帮助学生理解定理，把握本质内涵.

定理教学过程包含三个环节：一是情境创设，二是定理探究，三是定理应用. “定理探究”是核心环节，教师需创设问题情境促进师生互动，让学生经历发现、猜想、归纳、总结定理的过程，理解定理条件与结论之间的关系，发掘定理内涵.