平衡“探”“练”，优化教学方式

［摘 要］ 为选拔数学人才，传统的以传授知识为主的大量解题教学方法已不再适用. 基于此，研究者选取人教版A版（2019）高中数学必修第二册教材的“概率”单元作为研究对象，旨在寻求在有限的课堂教学时段内，达到新知探究与问题练习之间的平衡，探索教学方法的优化策略，以实现核心素养的措施.

［关键词］ 概率教学；平衡“探”“练”；课堂优化；核心素养

当前，在浙江省高考数学回归教育部统一命题的宏观背景下，课堂教学方式需要重构. 新高考强调反套路刷题，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》就命题原则也明确指出：命题注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，淡化解题技巧，要充分考虑对教学的积极引导作用. 因此，传统的“满堂练”教学模式已不再适用，机械练习会降低学生的求知欲望和内在需求.新兴教学方法强调学生主动探究和学习，但需教师宏观调控，确保课堂平衡“探”“练”. 布鲁纳，结构主义教学理论的创始人，提出了一个主要的教学标准——“结构标准”：课堂教学要“根据最好的方法”组织教材，科学安排教学程序，优化课堂教学过程. 因此，课堂作为师生交流的“主场地”，需要教师潜心研究与精心设计.

平衡“探”“练”的理论依据

“探”与“练”是课堂最主要的两大环节，“探”是新知探究，“练”是新知应用. “探”与“练”是有机统一体，“探”是“练”的前提，“练”是“探”的延伸与保障［1］. 没有“探”，学生不知其所以然；没有“练”，学生无法获得解题能力，再多的“探”也是无用功，二者缺一不可. 一节好的数学课，应根据不同内容，合理、有序地安排“探”与“练”，追求平衡，力求恰到好处. 笔者认为，“探”“练”平衡体现在两点.

1. 时间上合理分配

有关研究表明，中学生课堂注意力高度集中的时间约为10～15分钟. 因此，教师应减少与教学活动无关的时间消耗，重点安排“探”与“练”两种实用时间的比例. 这种分配并非平均化，而应有所侧重，即依据核心教学内容来决定是重视“探”还是“练”，以确保课堂结构的最优化和课堂效益的最大化. 譬如探究活动不宜过长，以免分散学生的注意力，减少练习时间，影响对新知的掌握和数学思维的发展. 因此，教师应有效设计探究活动和课堂练习，确保两者在课堂中的平衡.

2. 形式上协调互补

中学生具有好奇心强、喜欢新鲜感的特点，一成不变的教学形式不利于学生接收新知. 因此，教师解析教学内容后，应灵活选择探究方式（如情境、实操、类比、信息辅助等），以配合相应练习. 例如，实操探究后，教师板演、学生口答练习；理论探究后，小组讨论、学生板书练习. 互补的“探”“练”形式动静结合，能激发学生的学习热情，活跃课堂.

“探”“练”平衡下的“概率”教学优化策略

纵观“概率”单元，可围绕以下几个问题展开：概率的研究对象是谁？研究的概念是怎么抽象出来的？研究的性质是如何发现的？概率是如何应用于生活的？要回答上述问题，加深学生对概率的理解，需基于他们的描述性认知经验设计多样化的探究活动，并通过各种练习促进他们在实践中应用概率知识. 针对本单元中不同的教学内容，应呈现不同的“探”“练”方式. 因此，笔者以本单元两个课型为例阐述如何平衡“探”“练”.

1. 重探概念析出过程，启迪练习实用

在教授“有限样本空间与随机事件”时，重点是讲解“随机事件”这一核心概念. 作为单元起始课，若未能深入理解核心概念，将对后续概率的学习产生不利影响. 尽管在初中阶段已经对相关概念进行了描述性定义，但高中阶段则更注重运用数学语言对这些定义进行精确刻画. 这对学生而言是一个全新的领域. 因此，本节课需要投入充足的时间，通过情境探究来引导学生分析和理解这些概念.

首先，教师展示多种类、多维度的随机现象，以便学生参与列举. 例如游戏中的随机现象：飞行棋游戏中掷骰子、扑克牌游戏中任意抽牌等；生活中的随机现象：刮刮乐的中奖情况、抽签点名、胎儿性别等；实际应用中的随机现象：理财产品每日的收益情况、小红书平台上各类目视频的分发状况等［2］. 使学生深刻理解随机现象的普遍性，并总结这些随机现象的共性：所有潜在的结果均可能被明确地识别出来，然而，事先无法预测哪一个结果将会出现. 然后，教师提出疑问：你是否能够记录这些潜在的结果？学生回应：能够记录，但部分记录较为烦琐，例如记录全班同学的姓名. 教师进一步指导：若不记录姓名，我们可用何物来指代他们？于是学生自然而然地想到了“学号”. 经历此过程，学生将认识到使用数字或符号代替文字描述随机现象的结果更加简洁明了. 此时，教师可组织学生进行分组合作，并鼓励他们展示研究成果.（为了便于展示，可以参考构建表1所示的表格.）

上述情境引导学生将实际问题抽象成数学语言，教师适时引出样本点、样本空间的概念及二者间的关系，并让学生用集合语言来描述随机现象. 过后继续设定如下情境：投掷一枚骰子，出现的点数为偶数. 这一随机事件的可能性结果构成一个包含三个样本点的集合｛2，4，6｝. 该集合与样本空间的关系是什么？学生回答：该集合是样本空间的一个子集，称为随机事件. 至此，“随机事件”这一核心概念得以明确.

由此可见，欲使学生理解概念，必须进行充分的准备和投入相应的课堂时间，逐步引导学生深入探究.探究过程旨在引导学生用集合语言构建样本空间，表达随机事件，并理解符号化的重要性，以培养学生的数学抽象能力. 因此，“探”的后续工作应致力于构建情境化习题，以巩固“探”的成果. 具体形式为学生独立完成习题并口头回答，教师负责板书答案. 如下：

练习1：飞行棋是同学们喜欢的游戏，规则为“两人依次掷骰子，掷到数字几就向前进几步，谁先到达终点即获胜”. 现在甲、乙依次掷一枚骰子一次，用（x，y）表示结果，其中x表示甲掷到的点数，y表示乙掷到的点数.

（1）写出试验的样本空间；

（2）指出事件A=｛（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）｝的含义；

（3）表示事件“出现点数之和大于8”.

练习2：由P，Q，R三个开关（P，Q串联，与R并联）组成电路，每个开关可能开，也可能关. 把这个电路是否为通路看成一个随机现象，观察每个开关的闭合情况.

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示下列事件：A=“恰好一个开关闭合”；B=“电路是断路”；C=“电路是通路”.

“探”是让学生体验实际问题数学化的过程，“练”是让学生巩固实际问题数学化的过程，两者目标相同，但“探”过程耗时较多，因此设计了两道练习题，重点均已涵盖，包括对样本空间的构建、集合语言与事件含义的转换、样本点的多维化考察，并与物理学科巧妙结合，以实现高效的微“练”. 从形式上来看，前一部分的“探”以学生的动态参与和表达为主，而后一部分的“练”则以学生的静态思考为主. 通过重“探”和微“练”，形式上互补，从而实现课堂平衡.

2. 巧探知识重构路径，强化练习应用

在讲授“概率的基本性质”时，重点在于性质的推导及其应用. 然而，众多教师在教学过程中难以兼顾所有，往往简化并省略了概念的生成过程，削弱了公式间内在联系的阐述，直接进入解题应用阶段，这导致学生在应试时推理和探究能力的不足［3］. 因此，笔者对本节课的教学内容进行了如下重构.

首先复习概率定义：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示. 然后引导学生思考：符号P（A）与所学的哪个符号类似？学生回答：f（x）. 又继续提问：我们能否依据函数的定义来重新构建概率的定义呢？学生回应：可以尝试. 于是，学生参照函数的定义，撰写了概率的定义. 教师进一步询问：既然两者的定义如此相似，那么函数所具有的性质，概率是否也具有呢？为避免不必要耗时，教师可直接展示函数的相关特性，并引导学生通过类比推导出概率的性质，然后验证其是否正确.（可参考表2的构建方式）

随后，教师指导学生通过古典概型实例，结合Venn图面积的特性，探究事件A与B之间的包含、相交、互斥关系，以及P（A∪B），P（A），P（B），P（AB）之间的关系.

通过上述类比分析，学生能够领悟概率性质的根源，并感悟到“函数”与“概率”这两种不同数学概念之间的和谐统一之美，从而提高逻辑推理能力. 为保证教学计划能顺利进行，“探”环节不宜过度深入，应适可而止，侧重于学生自主思考和教师归纳总结. “探”后，教师可安排一系列练习题，以供学生巩固知识.

练习1：已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）=0.3，P（C）=0.6，则P（A+B）=（ ）

A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8

练习2：从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取1张.

（1）设事件A=“抽到黑桃”，事件B=“抽到梅花”，事件C=“抽到黑花色”，求P（C）.

（2）求抽到红花色的概率.

（3）若随机抽取2张，求2张都是黑桃的概率.

练习3：某公司有3个分厂，职工情况按性别、厂序分类统计成表3.

若从该公司中随机选1名职工，求以下概率：P（MC）=____，P（F∪C）=____.

练习4：从1～20的整数中随机选择1个数，求选到的数既不能被2整除也不能被5整除的概率.

练习5：某班级50名学生已经完成了选考科目的报名程序. 在这些学生中，选择化学科目的人数为18人，选择生物科目的人数为22人. 从该班级中任意抽取1名学生，其不选化学、生物科目的概率为，求抽取1名化学、生物科目均选的学生的概率.

为了让学生通过“练”获得解题能力，教师精选上述5道习题，从浅到深，逐层递进，并给予学生充足的练习时间. 练习1无具体背景，直接应用性质公式即可解答；练习2具备实际情境，需要先分析事件之间的关系，随后运用相关公式解答；练习3在题型上有所创新，旨在考查学生对图表的分析能力以及公式的应用能力. 后两道练习题均要求学生自行定义若干随机事件，并计算这些事件的并集概率. 其中，练习4可使用古典概型或概率性质来解答，让学生体验两种方法的差异，并运用逆向思维的补集策略解决问题；练习5旨在结合时事热点和方程思想，深化学生对概率性质的理解. 从形式上来讲，前面的“探”以学生思、问为主，后面的“练”则以学生论、写为主. 通过巧“探”重“练”，形式互补，达成课堂平衡.

结语

高中数学课堂应返璞归真. 在日常数学教学中，一线教师应当在时间分配和教学形式上寻求平衡，高效“探”，精选“练”，“探”“练”并进，从而优化课堂结构. 总之，教师应始终遵循以学生为主体的原则［4］，敢于放手，鼓励学生自主探究问题；敢于等待，给予学生适量的合作实践机会，提高教学有效性. 教师需深入钻研教材，重视学生对知识生成及发展过程的理解，以促进学生对数学本质的掌握，并确保核心素养的培养得到有效实施.

参考文献：

［1］ 李红勤.高中数学精讲精练的实践探索［J］. 中学数学教学参考，2022（9）：5-7.

［2］ 高生军.高中数学统计概率单元体验式教学研究［J］. 数理天地，2023（17）：62-64.

［3］ 黄小冬. 数学抽象素养视角下“数列”单元整体教学研究［J］. 数学教学通讯，2023（21）：48-50.

［4］ 祖丽敏. 倡导大单元教学，优化数学课堂教学［J］. 数学教学通讯，2023（25）：33-35.