高中数学“四能”的理解与培养

［摘 要］ 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调数学教学应致力于培养学生的“四能”. 实现“四能”培养目标的关键在于学生是否有机会体验“四能”. 在教学过程中，必须关注学生是否具有发现问题的意识和提出问题的空间，以及学生是否具备分析问题的逻辑思维与解决问题的思路. 教师需要形成对“四能”的正确理解，并明确培养路径. “四能”是我国数学教学的优秀传统，在核心素养培育的背景下应当得到继承. 让学生保持敏锐的问题发现意识，并通过建立模型等方法获得问题解决的思路，是“四能”得到培养的充分体现，同时也是数学学科核心素养得到培育的重要标志.

［关键词］ 高中数学；发现问题；提出问题；分析问题；解决问题

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在“课程目标”中明确提出，高中数学教学要“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”（简称“四能”）. 经验丰富的高中数学教师普遍认为，我国数学教学的传统就是重视问题的发现与提出、分析与解决. 既然是传统，是不是就没有分析和重视的价值与意义呢？答案并非如此. 由于种种因素的存在，尤其是应试压力的存在，当前高中数学教学基本上都在考试这根“指挥棒”的作用下运行. 从国家选拔人才的角度来看，这样的选择本无可厚非，但是如果完全基于应试需要而进行教学，就会发现“四能”在课堂上几乎无容身之地. 教师通常会选择在最短的时间内完成知识教学，然后通过大量的试题训练，培养学生的知识运用能力（实际上是解题能力）. 这样的教学形态是典型的应试教育，其不利于“四能”的培养，自然也不利于数学学科核心素养的培育. 高中数学教学应聚焦于培养“四能”，以此优化数学知识的教授和应用，促进学生数学学科核心素养的发展.

基于上述分析可以发现，在高中数学教学中，如何帮助学生提升数学思维能力，学会用数学方法分析问题和解决问题，探讨提升学生数学思维能力的策略，是高中数学教师面临的一个重要课题. 面对这一课题，每一个高中数学教师都应当在核心素养的视角下，对“四能”进行全面且具有一定深度的解读，并且寻找到有效的培养途径. 以下是笔者结合理论学习和实践经验的一些见解，期待专家和同行的批评与指正.

核心素养视角下的“四能”再解读

从新课标的描述来看，关于“四能”的描述就是传统且一贯的描述，似乎从中无法挖掘出更多的新意. 诚然，文字的描述确实看不出太多新意，但如果结合教学现状来看“四能”培养，就可以发现其中存在着很多需要解读与研究的空间.

从宏观角度来看，“四能”极具研究价值. 在课堂教学中创设生活情境，并运用启发性提示语，采用合作学习的方式，重视学生思维的培养，可以进一步激发学生的学习动机，培养学生的“四能”，发展学生的数学学科核心素养. 这样的宏观阐述所体现出来的逻辑是：“四能”对学生的学习而言，不仅是能力的培养，还呼应着数学学科核心素养的发展. 而这显然只是学生的成长目标，能否达到这样的目标，最关键的一点就是学生是否有“四能”的体验空间. 具体阐述如下：

其一，学生是否具有发现问题的意识和提出问题的空间？

可以说，人生充满了探索的渴望，但随着教育的增加，学生提出问题的能力却似乎减弱了，这可能是因为他们提问的空间变小了. 学生在课堂及学习过程中若无提问机会，易丧失发现问题的意识. 面对这一现实，教师有必要思考，在自己的课堂上，学生是否具备敏锐的发现问题的意识？是否有机会提出问题？

面对这些问题可以发现，落实核心素养的关键在于培养学生的“四能”. 首要任务是为学生创造更广阔的提问空间，以逐步恢复他们的提问意识. 这意味着我们需要超越传统的教学方法，思考如何在教授每个数学知识点时，为学生创造提问空间，并引导他们的思维参与新知识的构建，以便在学习过程中发现新问题. 因此，培养“四能”的首要问题，不是培养学习技巧的问题，而是传授学习理念与学习意识的问题，是教师“放权”让学生有发现问题和提出问题的空间与可能性的问题.

其二，学生是否具备分析问题的逻辑思维与解决问题的思路？

数学问题通常逻辑严密，学生分析时需识别逻辑关系，并据此演绎，建立条件与解决方案之间的联系. 这一通道很多时候都不是唯一的，培养学生分析问题能力时，需确保他们思路开放，以便在分析过程中广泛调动知识，形成解决问题的多种逻辑尝试. 从分析问题到解决问题，实际上是一个从猜想到验证的过程，需要学生用有形的数学语言来表征解决问题的思路，这是学生“四能”从内隐走向外显的关键步骤.

需要指出的是，从发现与提出问题，到分析与解决问题，不是一个简单的线性过程，可能会有螺旋上升或来回往复的情况. 这很容易带来“浪费时间”的感觉，此时考验教师的定力与引导力，而定力与引导力又需要在实践中慢慢积累，这对于教师而言同样是一个实践出真理的过程.

基于核心素养的“四能”培养

在核心素养的视角下看高中数学教学，一要从宏观层面围绕必备品格与关键能力的培养以寻找支撑，二要从微观层面围绕数学抽象、逻辑推理、数学建模等六个要素寻找支撑. 通过相关的理论研究可以发现，“四能”就可以发挥这一支撑作用. 在教学中，教师若深入理解新课标，并将培养学生的“四能”融入数学教学全过程，贯穿每一节课，就能为学生数学素养的发展奠定基础.

举一个例子，人教A版（2019）普通高中数学教科书必修第一册中的“函数的概念与性质”，有“探索与发现”这一栏目，内容是“探究y=x+的图象与性质”. 这项任务对于大多数学生而言颇具挑战性，但克服它有助于培养“四能”. 下面谈谈笔者的相关分析与教学设计.

1. 内容分析

图象与性质是描述函数的两个切入口，同时也对应着数与形. 观察函数图象帮助学生直观理解其性质，而用数学语言精确描述这些性质，则能让他们更准确地表达对函数的理解. 高中生在初中已经学习了基础函数，并通过图象和性质对其有了直观理解. 到了高中，他们将掌握更复杂的函数知识.

在此基础上，当学生面对函数y=x+时，自然会遇到新的挑战. 挑战感的形成对学生来说是非常有趣的，因为大多数学生最初不觉得这个函数复杂，只有少数解题经验丰富的学生理解“题目越简单反而越难”的道理. 部分学生最初以为这是y=x与y=的组合，但很快意识到，无论是作图象还是描述性质，问题的解决远不止简单的组合. y=x与y=分别是正比例函数与反比例函数，学习幂函数后，大多数学生知道这两个函数本质上是幂函数. 在教学中，若能引导学生了解函数的四则运算及其结果，则学生在此基础上就会形成新的问题意识，并利用数学语言（其中也有生活语言）将这些问题表达出来. 以y=x+为例，学生提出的问题就是：函数y=x+的图象和性质是否与y=x和y=存在联系？在研究新函数的图象与性质时应当遵循怎样的思路？

在发现并提出这些问题后，就要想方设法去分析和解决问题. 分析问题的逻辑，很大程度上取决于学生已经掌握的知识，以及在知识掌握过程中所形成的数学解决方法. 函数y=x+虽然看似简单，但学生在理解其图象与性质时缺乏方法支撑，导致在分析和解决问题时遇到了困难. 在这种情况下，相应的教学设计可以分为两段：一是引导学生自主探究；二是借助应用软件生成图象. 这样，既能尊重学生的主体性，又可以借助现代教学手段来验证学生的探究结果，从而保证学生有一个良好的学习体验.

2. 教学设计

具体教学可分为以下三个环节.

环节1 直接给出函数y=x+，然后提出问题：根据你所学过的函数，你觉得该函数的图象是什么样子的？该函数具有怎样的性质？

此时学生的思维出发点一定在y=x和y=上，好奇这两个函数图象的叠加结果.

环节2 引导学生自主探究y=x+的图象与性质. 这一环节对应问题的分析与解决，最有效的策略就是让学生首先从宏观角度建立感性认识. 例如，通过代入坐标点，使用描点法绘制图象，确定关键点的位置，从而构建图象的大致轮廓. 学生的先前知识和方法基础能使他们自主得出结论，并构建对问题的基本理解. 例如，探究第一象限图象时，部分学生发现x>0时x+≥2，x=0时没有函数值，这可以让学生猜想函数y=x+的图象与反比例函数y=的图象的相似之处……

探究函数y=x+的性质，可从定义入手，这要求学生具备一定的知识和方法基础，从而能主动参与. 过程相似，不再详述.

环节3 使用图象生成软件，输入函数表达式创建图象，供学生将自己所作的图象与之对比. 对于探究结果正确的学生，这能增加他们的成就感；而对于探究结果有误的学生，在认知失衡的驱动下，可以反思探究过程，找到改进的切入点.

“四能”对核心素养的支撑作用

从“四能”培养角度来看上述教学案例，其内容设计能有效促进学生提问意识的形成. 其中的逻辑可以用相关的心理学知识来解答. 例如，当学生的认知平衡被打破时，学生就容易产生问题. 在这种情况下，引导学生用数学语言来描述自己的问题，不仅能培养学生提出问题的能力，而且客观上还能提升他们运用数学语言的能力. 这与数学学科核心素养培育的目标是完全一致的. 在分析和解决数学问题时，利用学生已有的知识和方法，逐步建立数学模型，再通过不同的评价方式巩固学生的探究发现，尤其是强化学生的成就动机，有助于提升他们分析和解决问题的能力. 例如，在上述教学案例中，学生用特定点（即描点法）去探索函数图象，再用函数图象去推测函数性质，这是解决问题的有效方法. 解决问题的过程，本质上就是数学模型的构建与优化过程. 这一过程伴随着数学学科核心素养的逐步提升.

总而言之，当前高中数学课程教学的核心就是培养学生的“四能”. “四能”是我国数学教学的优良传统，应在核心素养培育背景下得到传承. 在培养学生“四能”的过程中，要让他们明白所有学科都涉及问题的发现与提出、分析与解决. 这有助于他们保持对问题的敏感性，并学会通过建立模型等方法寻找解决问题的途径. 这对学生数学学科核心素养的培养起着重要的支持作用.