数学文化视角下的高中数学阅读材料之使用

［摘 要］ 相对于抽象的数学知识，数学教材中的阅读材料更具趣味性. 实践证明，借助数学阅读材料渗透数学文化具有重要的教学价值，值得每一个教师去研究与思考. 文章以“椭圆的定义”教学为例，以阅读材料“刁尼秀斯之耳”为主线，从“呈现阅读材料，引出椭圆”“逐步探索问题，挖掘性质”“实践操作探索，深入理解”“抽象概括总结，构建概念”四方面展开分析，并有针对性地谈一些思考与感悟.

［关键词］ 数学文化；阅读材料；椭圆

数学文化涵盖数学思想的演变、方法的应用、观点的提出，以及数学史、数学家、数学教育、数学美等人文元素. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调教师在教学中应有意识地结合教学内容的特点渗透数学文化，让学生了解数学在科技与社会发展中的推动作用，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，从真正意义上提升学生的应用意识、人文精神与科学素养.

高中数学教材中的数学文化有显性融入与隐性融入两种方法，知识本身所携带的数学文化为隐性融入，而以阅读材料呈现的数学文化则为显性融入. 学生通过对学科知识背景的了解，可不断开阔视野，挖掘潜能. 为此，本文结合“椭圆的定义”教学具体谈一谈如何应用显性阅读材料，渗透数学文化，发展学生的数学学科核心素养.

教学过程

1. 呈现阅读材料，引出椭圆

阅读材料 如图1所示，此为西西里岛的岩洞内所关押的犯人与看守者，犯人因无法承受长期孤独的生活计划越狱. 每次越狱之前，犯人都会做一套详细的越狱方案，但每次都以失败告终，这就导致他们互相猜忌、怀疑，认为犯人中有告密者. 然而，不论怎么排查，都没有发现谁是告密者. 一个犯人偶然发现岩洞的形状为椭圆形，不论犯人在岩洞内多么小声地交谈，声音都能经过岩洞壁反射到洞口被看守者听到，所以看守者对犯人的一举一动都了如指掌. 自此，该岩洞被称为“刁尼秀斯之耳”.

师：这是一个神奇的故事，看守者为何能听见犯人谈话内容呢？

生1：犯人发出的声音，经过岩洞壁的反射，最终汇聚到洞口，被看守者听到.

师：岩洞壁的曲线形状是什么呢？

生2：如图2所示，这是一个椭圆形.

师：这是结合阅读材料所获得的形状，既然大家都觉得是椭圆形，那么该怎样完整地形容椭圆呢？说一说它的形成原理.

设计意图 阅读材料的展示，一方面刺激学生的感官系统，引发学生对本节课的兴趣；另一方面，让学生初步认识该现象形成的原理，为抽象椭圆模型奠定基础. 根据学生已有的认知经验构建问题，可有效启发学生思维，引导学生明确探索方向.

2. 逐步探索问题，挖掘性质

问题1 椭圆的形成因素有哪些？哪些因素决定椭圆的形成？

结合阅读材料内容，学生稍作思索就发现看守者与犯人所处的地理位置决定了椭圆形成的要点. 若将岩洞的轴截面理解为一个椭圆，则看守者与犯人所处的位置可理解为椭圆内两个恒定不变的点，声音传播可想象为从其中一点发出的射线撞击椭圆壁后反射经过另一点（如图3所示）.

问题2 如图4所示，如果F，F为椭圆内的两个定点，而点P在椭圆上，那么

PF，

PF，

F

F存在怎样的数量关系？

生3：连接FP，FP，FF，形成△FFP，则

F

F-

FP<

FP或

F

F+

FP>

FP.

师：不错，除此之外，三者还有没有其他数量关系？

生4：

FP+

FP>

F

F或

FP-

FP<

F

F.

问题3 通过以上探索，可以确定

FP+

FP为固定值吗？

如图5所示，借助几何画板进行演示，发现虽然

FP与

FP的值可以自由变化，但是它们的和却不会因为点P位置的变化而变化，由此明确当F，F为定点时，

FP+

FP的值为固定值.

问题4 椭圆上的任意点与定点F，F之间的距离之和有什么特点？

依然应用几何画板进行演示验证，引导学生自主发现椭圆上的任意点与定点F，F之间的距离之和恒为常数2a，且2a>2c（2c为两定点F，F之间的距离），椭圆的几何特征浮出水面.

设计意图 结合阅读材料，学生很快就自主发现并提出椭圆上的点所满足的数量关系. 而且，灵活、恰当地应用几何画板能促使学生在强烈的认知冲突中发现变化中的不变——P是椭圆上的任意一点，

FP+

FP为定值. 将椭圆的几何特征挖掘出来，再次有效推动学生数学学科核心素养的提升.

3. 操作实践探索，深入理解

师：我们运用几何画板探究并验证了椭圆所具备的几何性质，除此之外，大家还能想到其他验证方法吗？

活动要求：如图6所示，已知F（圆内非F的一点）是圆F内的一定点，A是位于圆周上的任意点，怎样借助对折纸片的方法找出线段AF的垂直平分线？

生5：如图7所示，对折纸片使点A与点F重合，折痕就是线段AF的垂直平分线.

师：很好！如图8所示，在圆上多处取点A，并不断重复这个折叠过程，会有什么新的收获？

生6：通过不断折叠，发现无数条折痕最终围成了一个椭圆.

师：折痕与椭圆之间有一个怎样的位置关系？

生7：两者相切.

师：有什么办法证明？

生8：先要明确点P是否位于椭圆上. 如图9所示，若2a为圆的半径，直线l为折痕所在的直线，AF，AF与直线l分别相交于点P，C. 因为直线l为AF的垂直平分线，所以AC=CF，∠ACP=∠FCP，为直角. 由此不难获得△CPA≌△CPF，所以PA=

PF. 所以

PF+

PF=

FP+AP=

AF=2a，也就是点P位于椭圆上.

师：根据以上探索可知，点P不仅位于椭圆上，还是椭圆与直线l的交点，那么，它是椭圆与直线l的切点吗？

生9：从相交与相切的角度来看，若直线l与椭圆相交，则存在两个交点，而相切只有一个交点. 若点P是椭圆与直线l的唯一交点，则点P就是切点.

师：有没有什么办法可以证明？

生10：如图10所示，在△ANF中，

FN+AN>

FA. 根据等量替换法可知

FN+

FN=

FN+AN>

AF=2a.据此能确定点N并不在椭圆上，也就是说直线l上只有一个点P处于椭圆上，所以点P是椭圆与直线l的切点.

设计意图 实践操作不仅能提升学生的探究能力，还能优化学生的思维，帮助学生建构良好的认知结构，使学生从真正意义上领悟折痕与椭圆之间的位置关系.

4. 抽象概括总结，建构概念

问题5 怎样结合椭圆的几何特征总结椭圆的概念？怎样根据椭圆的概念画椭圆？

设计意图 从椭圆的概念出发，引导学生自主总结与提炼，不仅能进一步优化学生数学思维，促使学生应用数形结合思想体会椭圆概念的本质，确定作图的具体方法，还能让学生基于多元表征，深化对数学本质的理解，建构完整的认知体系，为应用与创新奠定基础. 同时令深度学习真实发生，促进学生数学直观想象与逻辑推理素养的发展.

教学案例分析

本节课，以阅读材料为起点引入教学主题，并围绕阅读材料提出探究问题，引导学生从折纸活动与几何画板的演示中发展自主探究能力，培育数学抽象和直观想象素养，同时渗透数学文化. 从数学角度分析折痕与椭圆的位置关系，进一步激活学生的思维，促使学生自主总结椭圆的概念，帮助学生提炼数形结合思想.

在访谈中发现，学生很喜欢此类探究课，因为阅读材料让课堂变得更加丰富，这是将生活与数学联系起来的教学方式. 学生还提出，许多著名建筑均融入了数学知识，彰显生活与数学的紧密联系. 数学是现实社会的抽象表达，通过符号运算、形式推理和模型建构，揭示事物的本质、关系和规律. 这是一节成功的课堂，学生从中不仅感知到阅读材料的重要性，还体验到信息技术的介入使得数学知识更加直观易理解.

关于阅读材料的几点思考与感悟

1. 用于课后阅读

教材上的阅读材料与数学文化有较大关系，很多内容都是知识的形成历程，这些阅读材料是对教材正文的补充与拓展. 教师结合学情与教情利用好阅读材料，采取恰当的教学策略帮助学生更好地理解与掌握所学知识. 若阅读材料涉及数学史、小故事或数学家，教师可鼓励学生课后自主阅读，感受数学知识的形成与发展，并撰写心得进行交流.

2. 用于课堂参考

教材上的阅读材料往往蕴含丰富的数学思想方法. 数学思想方法的形成对学生可持续发展至关重要. 课堂上，教师可带领学生一起解读阅读材料，让学生从中体会知识的来龙去脉，为完善认知结构奠定基础.

3. 用于引领阅读

若课堂时间充裕，教师可根据实际情况为学生列出学习提纲，鼓励学生带问题阅读材料. 这种任务明确的阅读方法能为学生指明思考方向，让学生在交流与总结中碰撞出智慧的火花. 因此，结合阅读材料设计问题，引领学生阅读，可激活学生的思维，激发课堂的智慧与活力.

总之，数学阅读材料不可或缺，具有独特价值. 作为教师，应关注阅读材料在渗透数学文化方面的重要性，有效利用阅读材料，促进学生成长.