立足体验式学习，发展数学学科核心素养

［摘 要］ 新课改推动下，体验式学习模式备受教育工作者关注. 体验式学习模式不仅能有效提高学生对知识的理解能力、动手操作能力与感悟能力，还能促使学生多维度观察与分析问题，自主探索解决问题的方法，发展学科核心素养. 研究者以“平面向量基本定理”教学为例，分别从教学分析、教学简录与教学感悟三个方面展开探索.

［关键词］ 体验式学习；平面向量基本定理；核心素养

体验式学习是指教师创设情境，调动学生感官，让学生在真实体验中完成学习任务. 体验式学习模式同样遵循新课标倡导的“以生为本”原则，通过授课环境与模式的设置，促使学生亲历知识形成与发展的过程，为更好地掌握知识本质、发展数学学科核心素养奠定基础. 本文以“平面向量基本定理”教学为例，探讨体验式学习模式在数学学科核心素养培养中的应用.

教学分析

1. 教材分析

向量是高中阶段的重要教学内容之一，是几何与代数的桥梁. 平面向量基本定理是表示向量坐标的基础，也是向量共线的推广. 在本节课前，学生已接触过向量几何表示法，本节课学习向量的代数特征. 根据新课标要求，可确定本节课的教学目标是：①理解平面向量基本定理及其意义，可用平面向量基本定理解决一些实际问题；②体验平面向量基本定理的形成过程，提炼特殊到一般的数学思想方法，发展严谨的探究精神.

2. 学情分析

虽然在本节课前学生已接触过集合、函数、平面向量概念等知识，但这些都是具体内容，本节课研究的平面向量基本定理比较抽象，需要借助逻辑抽象能力与空间想象能力去理解，有一定难度. 同时，平面向量基本定理的形成过程，学生也难以掌握.

教学简录

1. 教学片段1：创设情境

用多媒体展示图1后提出相应问题.

问题1 如图1所示，此为一组火箭炮，具有攻击性. 已知该火箭炮在升空中的某一时刻，其速度能分解为水平向前和竖直朝上两个分速度. 若火箭炮发射后的某一时刻的速度为v，其水平向前和竖直朝上的两个分速度分别为vx，vy，请用含vx，vy的式子来表达v. 两个不共线的单位向量分别用字母i，j表示，请根据图示用含i，j的式子来表达v.

问题2 将一个三角形支架ABC安装在墙壁上（如图2所示），在B处挂上一个金属球，所受重力为W，将其分解成F1，F2，请用含F1，F2的式子来表达W. 如果用两个不共线的单位向量e1，e2来表达W，请结合图示列式.

师：若忽略物理上的意义，纯粹从向量的角度分析，以上两个问题能说明什么？据此你们还可以提出一些新问题吗？

生1：能否将零向量分解成两个不共线向量的线性之和？（答案：可分解，需结合特殊情形进行分析.）

生2：一般情况下为什么不能将任意向量分解成两个共线向量的线性之和呢？

生3：为什么不分析三个向量的线性之和呢？（答案：不符合最简原则.）

学生针对自己所提出的问题进行交流，最终得到的答案是：任意向量均可分解成两个不共线向量的线性之和.

设计意图 火箭炮与三角形支架的成功创设激发了学生的探索热情，使学生在实际情境中发现问题、提出问题、分析问题并解决问题. 特别地，自主提出问题为学生思维提供了广阔空间.

2. 教学片段2：实操活动

问题3 如图3所示，e1，e2为两个不共线的向量，请用e1，e2线性表示向量与，并画图说明.

问题4 若在图3中任意画一个向量a，能否用e1，e2线性表示？若能，请画图并列式；若不能，请说明理由.

设计意图 问题3和问题4均要求学生亲历画图过程. 问题3意在引导学生体会不共线向量能够表示平面内的给定向量，而问题4意在引导学生感知不共线向量可表示平面内的任一向量，这种任意性需借助符号语言来刻画.

上述两个教学片段的应用，一方面增强学生对平面向量的直观感知，另一方面让学生亲历操作过程，发展学生的思维，并引导学生深刻理解“在一个平面内，任一向量均可用不共线的向量e1，e2线性表示”的原理，为后续实际应用做铺垫.

3. 教学片段3：建构基本定理

问题5 请概括问题4的结论，思考a=λe1+λe2中的λ，λ是否具有唯一性，理由是什么？

问题6 如图4所示，平面内有任一向量a，且向量e1，e2不共线，请用e1，e2线性表示向量a，并画图列式.

学生合作交流，教师适当引导，获得平面向量基本定理（略），随后提出几个问题夯实学生的知识基础.

问题7 分析平面内两个共线的向量是否可成为一组基底，分析基底必须满足什么条件. （结论：作为基地的e1，e2不共线. ）

问题8 一个平面内的基底是否具有唯一性呢？一个平面内存在几组基底？

问题9 当λ=0时，a=λe1，从这组数据能看出什么？请结合实际分析平面向量基本定理与向量共线定理的异同点.

当学生顺利解决完上述问题后，教师鼓励学生又提出两个问题：①平面内的零向量能不能作为基底中的一个向量？②若平面内有两个相互垂直的向量，它们能不能作为一组基底？

探索完上述问题后，教师追问道：本节课我们所探索的基底与之前接触过的什么内容具有相似性？

生4：与直角坐标系相似，且与课堂开头的火箭炮情境相呼应.

在此基础上，师生共同定义向量的正交分解（过程略）.

设计意图 问题5意在引导学生自主分析λ，λ是否具有唯一性，为什么唯一，鼓励学生应用数学语言抽象平面向量基本定理，从而发展学生的数学抽象素养. 问题6使学生初步得知本节课的教学内容——平面向量基本定理，紧接其后的三个问题，是对该定理的有效补充. 学生在问题引导下发展思维，深化对定理的理解. 特别是教师的追问，鼓励学生广泛思考，解决疑惑，体现了“以人为本”教育理念.

4. 教学片段4：应用定理

例1 如图5所示，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设=a，=b，那么，如何用基底｛a，b｝来表示，，，？

例2 如图6所示，将一个质量为m的长方体静置于斜面，已知斜面和水平面的夹角为θ，那么斜面对物体的摩擦力

等于多少？

变式题1：倘若m为2，θ为30°，求f的方向与大小，并分析斜面对物体的支撑力的方向与大小.

变式题2：倘若m为2，θ为60°，求f的方向与大小，并分析斜面对物体的支撑力的方向与大小.

要求学生总结例题与变式题透露的信息，并进行合理解释. 总结：当斜面的倾斜度越大时，物体在斜面受到的摩擦力就越大，支撑力越小. 具体可从函数单调性的角度进行分析：正弦函数y=sinθ在

0，

上单调递增，余弦函数y=cosθ在

0，

上单调递减.

例3 已知｛e1，e2｝为平面内的一组基底，若=3e1-2e2，=4e1+e2，=8e1-9e2，请证明点A，B，D共线.

变式题：如图7所示，已知点M位于平行四边形ABCD中AB边的延长线上，MB=AB，点N位于BC上，NB=BC，请用向量法证明点D，M，N共线.

顺利解题后，要求学生分析例3与其变式题之间的异同点.

设计意图 例1借助平行四边形引导学生感知平面向量基本定理，例2意在引发学生从感性思维上升到理性思维，例3则引导学生学会用平面向量证明三点共线的基本方法，变式题意在引发学生通过自主对比，更深层次理解基底的内涵.

教学感悟

1. 情境是获得感性认识的基础

体验式学习强调情境的作用，有效的问题情境是数学教学的重要手段之一. 一般情境着眼于教情与学情，以激趣启思、引发探究为目的，学生从丰富的情境中感知知识的魅力，形成知识感性认识，为理性思考奠定基础.

本节课，根据教学内容特点与学生的实际认知水平，教师在课堂开头设计了两个直观且与生活息息相关的情境，成功激发了学生的探究热情，使学生从熟悉的情境着手分析图形，并用数字刻画出其中的数量关系，对向量的基本定理产生初步认识. 如此设计，既彰显数学与生活密不可分的联系，又提高学生对向量研究的兴趣.

2. 实操是获得更多体验的关键

对于教学活动而言，体验与感悟是学生记忆和理解知识的基础. 积极学习体验促使学生感悟教学内容，奠定长时记忆与应用基础. 然而，在知识本位教学模式下，有些教师为了节省课堂时间，用直接解析代替学生思考，这就导致学生缺乏自主体验与感悟，限制了思维发展. 相反，实践操作活动的开展，学生在积极参与中思考与分析、体验与感悟知识的来龙去脉，是促进深度学习的基础.

本节课，教学片段2中的问题2、问题3要求学生画图、列式并计算，不仅凸显从特殊到一般的向量线性表示，还通过具体化，使学生更好地理解平面向量基本定理. 同时，操作活动帮助学生积累学习经验，感悟平面向量基本定理的发展，深入理解平面向量基本定理.

3. 解题是形成数学能力的渠道

解题能力体现了学生思维的真实情况，发展学生的数学思维是数学教育的目标之一. 数学学习过程以知识为载体，学生经历观察、感知、类比、抽象与演绎的过程，这是促进学生思维发展的关键. 例题教学能增强学生的学习体验，学生通过对例题的思考与分析，不仅能获得高阶的数学思维，还能形成良好的数学品质与探索精神，为发展数学学科核心素养奠定基础.

本节课，教学片段3中的问题5、问题6旨在引导学生尝试归纳平面向量基本定理，这对发展学生的数学抽象素养与语言表达能力具有重要意义. 而后，提出逐层递进的三个问题，以帮助学生突破本节课的教学重点与难点，更好地掌握平面向量基本定理，这是发展学生应用能力的关键.

总之，立足体验式教学，将“以生为本”教学理念置于教学首位，根据学生的认知水平与思维发展情况展开教学是提升教学质量、发展学力的重要举措. 教师应勤思考、多反思，结合学情、教情与考情设计教学方案，尽可能增强学生在课堂中的体验与感悟，这是促进学生数学学科核心素养发展的关键.