范希尔理论指导下的“圆的标准方程”教学

［摘 要］ 研究者基于范希尔理论分析掌握圆需要经历几个层次，以此揭示认识事物的一般性规律，为教学活动的设计提供依据. 在数学教学中，教师要认真研究教材，关注知识间的前后联系，通过由表及里、由浅入深的逐层探究帮助学生深刻地理解知识，培养数学学习能力.

［关键词］ 范希尔理论；一般性规律；学习能力

圆的标准方程既是高中数学的教学重点，又是高考的重要考点. 在学习圆的标准方程前，学生已掌握了直线方程，并初步了解了如何用代数知识解决几何问题. 通过本课学习，学生将深入理解代数在几何问题中的应用，并为后续研究椭圆、双曲线和抛物线方程打下基础. 在教学圆的标准方程时，教师可采用范希尔理论，通过分层设计来提高学生的理解能力和数学素养.

范希尔理论概述

范希尔夫妇研究指出，教材和教学难度常超出学生几何思维水平，造成学习困难，影响兴趣和信心，降低学习效率，难以实现预期教学效果. 范希尔夫妇总结出几何思维的5个水平和5个阶段. 5个水平从0级到4级分别为直观感受、分析、抽象或关联、形式演绎、严密性，与之对应的5个阶段分别为学前咨询、引导定向、阐明、自由定向、整合. 范希尔理论符合学生的身心发展规律，具有次序性、进阶性、语言性、适配性等特点，合理运用有利于提高教学效率和学习品质.

范希尔理论在教学中的应用

在传统的圆的标准方程教学中，通常是以教师为主导，直接呈现圆的标准方程的推导过程. 学生虽然能获得结果，但缺乏深入探究，导致理解困难，难以将圆的标准方程的探讨方法应用到椭圆、双曲线和抛物线方程的探究中. 基于此，本课以范希尔理论为基础，分层次探讨圆的概念，引导学生逐步深入理解，从形状到数量，揭示认识事物的一般性规律. 以范希尔理论为指导，笔者认为掌握圆需要经历以下5个层次.

1. 初步感知圆

该层次主要是让学生从直观感知出发，从直观形状上认识圆，能通过整体轮廓辨认圆. 在该层次教学中，教师要从生活实际出发，让学生从生活中去感知圆，提高学生研究圆的兴趣.

案例1 从生活中感知圆.

方案1：让学生列举生活中的圆.

方案2：出示硬币、车轮等图片，让学生寻找圆.

方案3：播放一些简单视频，如摩天轮、风车等.

设计意图 对于圆，学生都不陌生，它在生活中随处可见，而且在小学和初中重点学习过，所以高中生清晰理解“圆”的概念，可以轻松列举生活中的圆. 对于方案2和方案3，从静、动两方面让学生直观感知圆的大小、位置和状态，为接下来画圆做好准备.

2. 对圆概念的初步认识

该层次对应的是范希尔理论的分析水平.qq7xlDK3XpQEp/sES6RTng== 该层次旨在让学生理解圆的基本要素和特征，学会画圆，并能用自己的话描述它，为后续抽象圆的概念和推导圆的标准方程打基础.

案例2 探究如何画圆.

师：对于圆，大家都不陌生，谁来说一说如何画圆？

在教学中，教师预留时间让学生动手画、动嘴说. 从教学反馈来看，大多学生都是用圆规画圆. 教师启发学生思考：如果没有圆规，你想如何画圆呢？问题提出后，学生积极思考并提出多种画法，教师总结得到以下方案.

（1）用硬币或瓶盖等圆形物品画圆；

（2）用两支笔和圆规画圆；

（3）借助有圆孔的尺子画圆；

（4）利用画图软件画圆.

师：大家都非常棒，想到了这么多的解决方案，如果给你一根线，你能画圆吗？

教师指导学生分组合作完成任务，并随机指定学生分享其绘制过程.

生1：用一根线可以画圆：先将线的一端固定，再将线的另一端绑上笔，然后将线拉直绕一圈即可画出圆.

设计意图 教师鼓励学生用多种方法画圆，充分调动学生的多种感官，逐步建构圆的概念. 在教学中，教师有意识地引导学生用线画圆，为后面抽象圆的概念做铺垫.

3. 对圆概念的抽象认识

学生已经掌握了圆的构成要素，并能灵活应用各种工具画圆. 接下来，此层次引导学生抽象关联，建立形数联系，运用数量关系判断图形是否为圆.

案例3 抽象圆的概念.

师：用线作图，你能得到哪些图形？

生2：圆、扇形.

生3：线段.

师：对线有要求吗？能否有弹性呢？

教师预留时间让学生利用有弹性的线画圆.

生4：线不能有弹性，有弹性会变形，这样画出来的图形就不是圆了.

师：很好，结合以上操作说一说，画圆的过程中哪些量是固定的.

生5：圆心的位置和半径的长度.

师：结合上面结论说一说，圆是什么样的点的轨迹呢？

教师预留时间让学生归纳总结，并在关键处进行指导，以此加深学生对“平面内”“定点”“定长”等关键词的理解，使学生能够用准确的数学语言描述圆的定义.

设计意图 教师让学生通过动手做，直观感知圆心和半径是固定的，以此为圆的概念的抽象打下坚实基础. 在教学中，教师预留时间让学生去归纳总结，并适时地进行指导，以此深化学生的理解.

4. 对圆概念的全面把握

经过前面的逐层探究，学生对圆的概念已经形成了深刻认识. 该层次旨在让学生通过演绎推理来证明猜想，从而得到圆的标准方程.

案例4 推理圆的标准方程.

问题1：尝试用集合语言描述圆.

师生活动：设M为圆上任意一点，点C为圆心，r为半径，于是得到圆上的点的集合为｛M

MC

=r｝.

问题2：结合已有经验说一说，研究解析几何的基本思想方法是什么？

学生通过回顾、思考，结合研究直线方程的经验指出，研究解析几何的基本思想方法为数形结合.

问题3：如何建立圆的标准方程？

在逐层问题的引导下，学生归纳总结研究圆的标准方程的基本步骤，即“建系→设点→找等量关系→代入坐标→化简”. 设圆心C的坐标为（a，b），圆上任意一点M的坐标为（x，y），则=r，两边平方，得（x-a）2+（y-b）2=r2. 这样通过层层铺垫，运用数形结合思想方法顺利得到圆的标准方程.

问题4：若圆心正好为坐标轴的原点（0，0），此时半径为r的圆的标准方程是什么？若r=0，此时得到的是什么图形？

学生独立思考发现，若圆心为原点（0，0），则圆的标准方程为x2+y2=r2；若半径r=0，则图形为一点.

问题5：圆心决定什么？半径决定什么？

学生结合已有经验很容易得到：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.

设计意图 从圆的集合定义入手，运用数形结合思想方法引导学生推导圆的标准方程. 在整个过程中，教师基于学生最近发展区创设问题，让学生在问题的引导下思考研究圆的标准方程的基本步骤，从而为后续研究椭圆、双曲线等提供思路.

5. 对圆概念的形式化认识

该层次旨在让学生利用圆的标准方程解决一些简单问题，以此深化对圆的标准方程的理解，并进一步体会数形结合思想、方程思想等在解决问题中的重要性，提升数学素养.

案例5 圆的标准方程的应用.

问题1：根据圆的标准方程，求圆心坐标及半径.

（1）（x-2）2+（y+4）2=4；

（2）（x+1）2+y2=r2；

（3）x2+（y-3）2=8.

问题2：根据下列条件，求圆的标准方程.

（1）圆心的坐标为（1，-3），半径为2；

（2）设点A（2，3），B（4，1），以线段AB为直径.

问题3：现有一辆宽2.7米、高3米的货车想从半径为4米的半圆形桥洞通过，它能否正常通行？

设计意图 借助典型练习进一步加深学生对圆的标准方程的理解，提高学生解决实际问题的能力.

理解知识需要过程，教师应设计全面的教学计划，关注知识间的内在联系，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象，深入理解知识，从而提高学生的数学能力和数学素养.

总之，教师应深入研究教材和学生，明确知识结构，根据学生的实际情况设计教学活动，促进每位学生成长，提高教学效果.