有效开展探究活动 促进学生全面发展

［摘 要］ 当下，数学探究活动已成为高中数学教学的重要组成部分. 为了有效开展数学探究活动，教师可应用深度学习理念设计教学内容，并结合教学实际创设具有挑战性的研究主题，充分发挥数学探究活动在培养学生问题意识、发展学生创造性思维、提高学生自学能力等方面的教育价值，促进学生综合能力及综合素养的发展与提升.

［关键词］ 数学探究活动；研究主题；自学能力

在新课程的推动下，数学探究活动已成为当下高中数学教学的重要部分. 通过数学探究活动的开展，学生可以获得独立思考和合作探究的必要时间和空间，有助于学生积累丰富的探究经验和思想方法，有利于培养学生的问题意识以及勤于思考、乐于探究的良好学习习惯，同时也有助于推动学生创新能力的培养. 因此，在数学教学中，教师应有意识地设计数学探究活动，让学生亲历知识形成的全过程，以促成深度学习. 深度学习是当下数学课堂教学的一个热词，其是针对传统课堂浅层学习和被动学习提出的全新学习方式. 在实际教学中，教师需要根据学生的实际情况设计符合学生认知规律且具有挑战性的主题，通过引导学生深入探究，帮助他们更好地理解知识、应用知识，并获得成功的体验，从而发展学生的数学能力. 在教学“探索与证明基本不等式”时，笔者基于教学实际精心设计了一次探究活动，以期让学生在探究中学会发现、学会思考、学会学习，促成深度学习的发生. 现将教学过程呈现给大家，供参考！

教学简录

1. 任务驱动，激发兴趣

任务1 查阅资料，丰富认知.

2002年第24届国际数学家大会在北京隆重举行. 本次大会会徽（如图1所示）是根据赵爽弦图设计的，它像转动的风车，挥舞着手臂，热情洋溢地迎接来自世界各地的数学家. 对于赵爽弦图，你知道多少？你知道赵爽是如何利用“勾股圆方图”详细证明勾股定理的吗？请大家到网上查阅相关资料，了解这别具一格的证明方法.

设计意图 课前借助探究性任务鼓励学生利用网络或书籍查阅相关资料，以此开阔学生的视野，丰富学生的知识结构，引导学生学会自主学习. 另外，通过阅读相关资料，让学生体会数形结合在研究数学问题中的价值，并培养学生数形结合意识.

任务2 利用几何画板让赵爽弦图“动起来”.

观察动图（具体制作过程可以到网上查询），请尝试写出其中蕴含的相等或不等的数量关系.

设计意图 在教学中，教师充分发挥现代信息技术的优势，通过“动手做”激发学生的探究热情，使他们学会用几何画板等工具来研究数学问题，充分体验探究乐趣.

2. 课堂探究，推导公式

问题1 如图3所示，令正方形ABCD的面积为S，4个全等的直角三角形的面积之和为S，直角边的边长分别为a，b. 结合已有经验，你能写出怎样的不等或相等关系？

问题2 不等式a2+b2≥2ab是否对任意实数均成立？何时取等号？请尝试用特值法加以验证.

师生活动：教师提供时间让学生列举实例，然后将结果填写到Excel中，引导学生从特殊中抽象出一般性规律，最终形成猜想. 即a2+b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取等号.

设计意图 这样将情境问题逐步转化为数学问题，引导学生用数学眼光观察问题，用数学知识解决问题，培养学生直观想象和数学抽象等素养. 在教学中，教师充分利用问题情境的优势，引导学生在问题探索过程中提出猜想，并通过特值法进行验证，从而逐步提炼出重要不等式. 这样引导学生经历数学知识的形成过程，有助于激发深度学习，提升学生的数学素养. 另外，在此过程中，教师充分利用几何画板的生动和形象特点增强学生的注意力，让学生身心愉悦地参与到课堂探究活动中，以此提升课堂教学有效性.

问题3 刚刚我们运用特殊到一般思想方法得到结论“a2+b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取等号”，对于这一结论，可以证明吗？

设计意图 该结论是从特殊案例中抽象、猜想得到的，具有一定的主观性. 然数学是一门严谨的学科，猜想并不能作为结论，因此有必要引导学生对该结论进行验证，以此培养学生思维的严谨性，提高学生的逻辑推理能力. 在此过程中，教师不要急于将证明思路呈现给学生，而应提供机会让学生进行合作探究，并给予启发、指导、评价和鼓励，以此增强学生的学习信心.

问题4 若a>0，b>0，用代替a，代替b，你能得到什么结论？其成立的条件是什么？

追问：你能用不同的方法来证明这一不等式吗？

师生活动：教师提供时间让学生猜想、验证、交流. 形成猜想后，教师鼓励学生尝试应用不同的方法加以证明，并让学生以小组为单位交流证明过程. 教师巡视，并将优秀的证明过程通过投影展示出来.

方法1：作差比较法. -=≥0，当且仅当a=b时取等号.

方法2：分析法. 要证明≤，只需证明a+b≥2，即证明a+b-2≥0，只需证明（-）2≥0，显然该不等式成立（当且仅当a=b时取等号）.

方法3：综合法. 因为（-）2≥0，所以a+b-2≥0，所以a+b≥2，所以≥（当且仅当a=b时取等号）.

这样，通过多角度思考与探究，学生顺利得到基本不等式.

设计意图 在教学中，教师基于学生的最近发展区设计富有挑战性的学习活动，使学生充分体验数学探究魅力，发展自学能力. 在探究过程中，教师将主动权交给学生，鼓励学生思考与合作，培养学生勤于思考的良好学习习惯. 同时，教师还鼓励学生多角度思考和解决问题，以此激发学生的潜能，点燃学生的学习热情，让学生逐渐爱上数学学习，有效提高学生的学习品质.

3. 几何解释，理解公式

问题5 如图4所示，已知AB为圆O的直径，点C为AB上任意一点，过点C作DE⊥AB，分别交圆O于D，E两点，连接AD，BD，OD.

（1）设AC=a，BC=b，结合已有经验，你能否找到和呢？

（2）根据以上发现，你能否对基本不等式作出几何解释呢？

师生活动：教师预留时间让学生观察，充分挖掘图4所蕴含的数量关系，以此帮助学生更加直观地理解基本不等式. 在此活动中，教师鼓励学生利用几何画板制作动图，通过移动点C的位置分析基本不等式的几何意义. 当然，在此过程中，学生难免会遇到障碍，教师可以鼓励学生合作探究，集思广益，突破障碍，获得深刻理解.

设计意图 在教学中，教师引导学生从“形”的角度出发，寻找相等与不等关系，揭示基本不等式的几何意义；鼓励学生将“数”与“形”有机地结合起来，充分感知“数”与“形”的和谐之美，从而培养学生数形结合意识，提高学生直观想象和逻辑推理素养.

4. 实际应用，深入理解

例1 王大伯准备用栅栏围一个面积为4平方米的矩形苗圃. 从节省材料的角度出发，该苗圃的长和宽分别是多少时，所用的栅栏最短？最短是多少？

例1的难度不大，学生应用基本不等式即可解决问题：设矩形的长为a米，宽为b米，则ab=4. 又≥，所以2（a+b）≥8，当且仅当a=b=2时取等号. 即当矩形的长和宽都为2米时，所用的栅栏最短，其长度为8米.

例2 王大伯想用长12米的栅栏围成一个矩形苗圃，怎么围可以使矩形面积最大？最大面积是多少？

学生结合例1的探究经验，很快得到了答案：设该矩形苗圃的长和宽分别为a米和b米，则2（a+b）=12，即a+b=6. 又≤=3，所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立. 即将其围成边长为3米的正方形可使苗圃的面积最大，最大面积为9平方米.

追问：你还能用其他方法来解决这一问题吗？

师生活动：教师提供时间让学生寻求不同的方法解决问题，如函数法，教师呈现具有代表性的解答.

设计意图 从生活情境出发，引导学生利用新知解决生活中的一些实际问题，体会数学的应用价值，促进“学以致用”教学目标的落实. 在课堂上，教师鼓励学生利用不同方法求解，帮助学生积累求解最值的经验，让学生体会解题方法的多样性，丰富学生的认知结构，提高学生的数学应用水平.

解后反思：结合以上问题的解决过程，请运用从特殊到一般的思想方法，阐述你的发现.

师生活动：在教师的启发和指导下，学生归纳总结一般性结论. ①若ab=P（P为定值），则当且仅当a=b时，a+b有最小值，其最小值为2；②若a+b=S（S为定值），则当且仅当a=b时，ab有最大值，其最大值为.

通过经历从特殊到一般的探究，形成了一般性结论，有利于学生思维能力的发展和数学能力的提升. 当然，在此过程中，教师要重视引导学生关注基本不等式的适用条件，即“一正、二定、三相等”.

设计意图 在教学中，教师引导学生将具体问题抽象成一般性结论，以此深化学生对知识的理解. 在此过程中，教师安排学生以小组为单位开展合作学习，并引导学生自主归纳基本不等式的要点，以此有效规避因机械套用而出现错解的风险，培养思维的严谨性，提高解题准确率.

5. 课堂练习，巩固强化

（1）用长20米的栅栏围成一个矩形苗圃，若使得苗圃的面积最大，可以怎么围？

（2）用长30米的栅栏靠墙围一块矩形菜地，墙长18米，当矩形的长、宽分别为何值时，矩形菜地的面积最大？

（3）若想做一个底面积为48平方米，高为2米的长方体蓄水池，底面的边长取何值时，可以使其耗材最少？

设计意图 通过经历前面的探究，学生已经初步建立了运用基本不等式求解最值的数学模型. 为了帮助学生深化理解这一模型，逐步提高数学应用水平，教师给出具体问题.

教学思考

1. 以发展学生素养为导向，促进数学核心素养落实

深度学习不仅要关注学生知识的掌握情况，还要关注知识的形成过程，帮助学生理解数学本质，形成适应终身学习的必备品质和关键能力，促进学生数学核心素养的落实. 在教学中，教师应以学生认知为出发点，以发展学生素养为导向，结合教学实际精心创设问题，引导学生经历知识发现、发展及应用等全过程，促进学生数学素养的提升. 在此过程中，教师要重视数形结合思想方法的渗透，引导学生通过多角度探究揭示基本不等式的本质含义，从而为应用打下坚实的基础.

2. 以挑战性探究活动为主线，提升学生的自主探究能力

在新课程的推动下，教师可将教学内容分成若干个具有挑战性的、引领性的学习主题，让学生以“主角”的身份参与其中，化“被动”为“主动”，帮助学生走出记忆模仿的浅层学习，逐步走向深度学习. 在本节课教学中，笔者在课前、课中设计了多个探究任务，如课前让学生利用几何画板制作赵爽弦图，课中引导学生从“数”和“形”两个角度解释基本不等式，这样通过数学活动让学生不知不觉参与到数学课堂活动中，并让学生在活动中学会思考、学会合作，推动学生自主探究能力的提升.

3. 以全面发展学生为目标，注重学生数学能力的培养

在教学中，教师要贯彻“以生为主体，以师为主导”的教学理念，多为学生提供一些自主学习和合作学习的时间与空间，并及时进行激励与指导，以此让不同层级的学生都能有所发展、有所提升. 教师要结合教学实际创设有效的问题情境，让学生在问题的驱动下主动思考、主动交流，以此通过有效的互动交流提出、发现并证明结论，充分发挥学生的主体价值，促进教学目标的达成. 教师还要及时给予鼓励、指导和评价，通过“教”与“学”的协调发展，提升教师的教学素养和学生的学习品质.

总之，在高中数学教学中，教师应以发展学生为目标，重视学生主体价值的激发，提供机会引导学生经历知识形成的过程，以此促成深度学习的发生，促进学生数学能力全面提升.