以问启思 揭露本质 发展学力

［摘 要］ 随着新课改的推进，当前的数学教学不再只强调知识与智力的发展，更关注对知识本质的揭露与核心素养的培育. 究竟该如何在有限的课堂时间内，用问题启发学生思考，揭露知识本质，从真正意义上促使学力发展呢？研究者以“圆锥曲线的离心率”专题复习教学为例，分别从“问题启发，构建解题模型”“问题拓展，发展探究能力”“总结提炼，暴露知识本质”三方面展开教学与思考，以期抛砖引玉.

［关键词］ 问题；思维；本质；学力

核心素养背景下的数学复习教学，需将揭露知识本质作为教学主要任务. 问题作为数学的心脏，具有启思、揭露知识本质等重要价值与作用. 如何将“以问启思”应用在高三专题复习教学中呢？这是一个较难把握的问题. 专题复习是一种立足学情、教情与考情，具有高度针对性的课型，解决真问题与实问题是基本目标，发展核心素养是关键目标. 本文以“圆锥曲线的离心率”专题复习教学为例，对问题揭露知识本质展开探索与研究.

教学简录

1. 问题启发，构建解题模型

众所周知，问题是思维的起点，是一切事物形成的根源. 复习课堂中的问题质量至关重要，特别是在解题模型构建背景下，每一个问题都需要精心设计. 为了启发学生思考，进入深度学习状态，在课堂起始环节，教师结合学情提供以下两个问题供学生自主解决.

问题1 若双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，点O为坐标原点. 过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，P为垂足. 当PF=PO时，双曲线C的离心率是（ ）

A. B. 2

C. D.

生1：如图1所示，根据题设条件和双曲线的性质可知，PF=b，OF=c，PO=a，PF=a. 在Rt△OFP内，cos∠PFO==；在△FFP内，由余弦定理得cos∠PFO==. 所以，c2=3a2，e=. 故本题选A.

师：非常好！根据题设条件和双曲线的性质列出a，c之间的关系式，而后将它转化成关于a，c的齐次式，成功获得离心率e.

追问：当我们顺利求解这个问题后，有没有初步形成一定的想法或感悟？

生2：遇到“求圆锥曲线的离心率”这一类问题时，先结合题设条件初步列出与a，c相关的方程，再将其转化成关于a，c的齐次式实施解题.

师：表达得很清晰，基于生2的分析，关于圆锥曲线离心率的解题思路基本形成，值得注意的是，在实际应用时还要关注运算的规范与正确性. 接下来，我们共同来看下面这个问题，探寻其带给我们的启示.

问题2 若F，F为椭圆和双曲线的公共焦点，e，e分别为椭圆与双曲线的离心率，点P是它们的公共点，并满足·=0，则+的值是（ ）

A. B. C. 3 D. 2

生3：根据椭圆与双曲线的定义先分别获得PF与PF，然后借助各个条件列出与a，c相关的齐次式解题. 假设2c为椭圆与双曲线的焦距，2a与2a分别为椭圆与双曲线的长轴长，列方程组

PF

+PF

=2a，

PF

-PF

=2a，得

PF

=a

+a，

PF

=a

-a.

因为·=0，所以PF⊥PF，PF+PF=（2c）2，即（a+a）2+（a-a）2=4c2，整理得a+a=2c2，所以+=2. 故本题选D.

设计意图 基于两个常规问题的启发，学生自主回顾了“求圆锥曲线的离心率”的基本方法：先结合题设条件列出与a，c有关的方程，再将其转化成关于a，c的齐次式，最后获得e值. 基本方法的探索，为接下来的深入研究夯实基础，同时还发展学生的数学抽象素养.

2. 问题拓展，发展探究能力

每一个学生的潜能都是无穷的，同时每一个学生都希望自己是一个探索者、研究者. 在课堂中，教师借助一些拓展性问题进行复习教学，不仅能进一步夯实学生的知识与技能基础，还能有效发展学生的思维，让学生投身于问题的探索中来. 当学生顺利解决完上述两个问题并归纳出基本方法后，教师又设计了以下三个延伸问题供学生思考和探索，促使学力发展.

问题3 点F（-c，0）与F（c，0）分别是椭圆G：+=1（a>b>0）的两焦点，点M在椭圆上，且满足·=0，则椭圆G的离心率e的取值范围为______.

生4：设点M（x，y），根据·=0得x2+y2=c2①. 将式子y2=b2-x2代进①式，可得x2=a2-. 因为0≤x2<a2，解得≤e<1.

师：优秀！这位同学通过构造不等式，快速解决了问题. 虽然本题有一定难度，但细致分析即可找到解法.

师：究竟是如何构造出不等式0≤x2<a2的呢？

生4：由椭圆+=1（a>b>0）中的x<a构造而来.

师：很好！这种构造不等式的方法常用于求解圆锥曲线的参数取值范围，因此务必引起高度重视.

问题4 已知双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A. （1，2） B. （2，+∞）

C. ［2，+∞） D. （1，2］

生5：满足题设条件的直线的斜率应小于等于，即≤，也就是b≥a，c2-a2≥3a2，所以c2≥4a2，e≥2. 故本题选C.

师：非常好. 解决此类问题一般有两种思路：一是借助判别式构造不等式；二是通过数形结合思想构造不等式. 这些思路的探索对发展我们的数学抽象、直观想象、数学运算等素养具有重要价值.

问题5 如果F，F为椭圆+=1（a>b>0）的两个焦点，有一点P位于该椭圆上，能让∠FPF=60°，那么该椭圆的离心率的取值范围是什么？

生6：如图2所示，对于△PFF，由余弦定理得cos∠FPF=≥=，当且仅当PF=PF时取等号. 由此可判定当点P位于椭圆短轴的顶点B或B时，∠FPF的度数是最大的.

师：接着我们怎样获得离心率的取值范围呢？

生7：因为∠FPF=60°，所以≥. 又<1，所以≤e<1.

生8：基于角度大小来分析，当点P位于椭圆短轴的顶点B或B时，∠FPF的度数最大，则0<∠FPF≤∠FBF. 如果FBF<60°，那么就不存在点P能让∠FPF=60°. 因此，∠FBF≥60°，则≥，所以≤e<1.

师：你们太棒了！从不同维度来分析与思考问题，获得了不同的解题方法. 结合上述探究过程，请大家思考一下，可从哪几个角度去求解圆锥曲线离心率的取值范围？

生9：一般可从圆锥曲线的几何性质、数学思想、判别式、基本不等式等角度去思考与分析.

师：不错！通过本节课的复习，大家有什么感受？说说你们从中获得的体会.

生10：只要紧扣问题本质，用合适的方法来构造不等式，就能顺利解决问题，因此这一类问题并没有想象中那么难.

设计意图 求圆锥曲线离心率的取值范围是本节课复习的重点与难点，教师以几个典型问题帮助学生提炼基本解题思路，积累解题经验. 随着探索活动的开展，学力不断提升.

3. 总结提炼，暴露知识内涵

师：本节课我们一起探索与研究了圆锥曲线离心率的取值范围问题，现在请大家梳理与总结本节课的复习内容和解题方法.

设计意图 专题复习教学不可能将每一道题都拿出来跟学生一起探索，因为时间是有限的，而题目是无限的，尤其在以核心素养为导向的高考背景下，数学试题的灵活度越来越高. 学生想要从真正意义上掌握解题技巧，发展学力，最好的办法就是通过剖析经典例题，揭露问题本质，提炼数学思想方法，达到融会贯通的目的.

几点思考

1. 精心预设是课堂有效生成的基础

专题复习教学与新课教学不同，学生在复习前已学过相关知识，但掌握情况需考察. 受教学环境、个体差异等因素的影响，各个班级的情况不一样. 作为教育信息化背景下的教师，可借助大数据来分析学情，根据实际情况制定教学目标、设计教学问题. 一旦教学定位准确，离课堂生成则更进一步. 本教学案例的前两个环节，以问题启发的形式引导学生探索求圆锥曲线离心率的取值范围的主要思路，从而有效提升学生的思维能力.

2. “以生为本”是践行新课标的核心

新课标强调学生在课堂中的主体地位，以问题启发思维，并将“以生为本”理念贯穿教学各个环节. 本教学案例，虽然由教师设计问题，但对问题的探索都以学生为主. 学生在独立思考、合作交流中充分暴露思维过程，并随着思维的逐步深入揭露数学本质，由此构建完整的知识体系，发展数学核心素养.

3. 问题启发是落实核心素养的关键

数学是思维的体操，问题是数学的心脏，问题对促进学生思维发展具有重要价值与意义，而思维发展又是落实核心素养的关键路径. 因此，教师在课前应客观评价与判断学情与教情，根据实际情况设计问题，以更好地激活学生的思维.

总之，数学核心素养的发展是一个漫长的过程，教师要引导学生在课堂中不断思考与探索，才能掌握各个核心素养的特征与要求，从整体上把握好学习方向，全方位掌握数学本质，提升学力.