数学史融入高中数学单元教学的实践

［摘 要］ 数学史是数学与历史的结合. 高中日常教学应根据教学内容，整体规划设计，选择与当前单元内容相关的数学史知识，将数学史融入高中数学单元课，由课内延伸到课外，从零散走向整合，学知识育素养，帮助学生更好地理解数学的发展历程和应用背景，培养学生的数学学习兴趣，调动学生学习积极性，发掘数学史对数学学科的教育价值.

［关键词］ 数学史；高中数学；单元教学；课堂实践

引言

某位哲学家曾言：因为历史上人类知识和个体知识发生统一，所以教育不得偏离历史. 数学史主要研究数学规律和科学发展，要求学生探索数学历史，理解知识形成过程，感受数学内容和方法的演变，认识到数学家的贡献，体会研究的价值，并学习创新精神. 在历史长河中，人类始终坚持探索数学认知规律. 学生在单元知识的学习过程中发现、推理、认识、理解、探究、应用、反思，可在前人的引导下继续研究、体会收获. 承古强今，向新而行. 高中数学课堂实践中，要以学生为主体，实施主动建构. 将数学史融入单元课堂，有助于构建结构化的教学内容，实现知识点的纵横联系. 通过深入研究数学史中的逻辑，科学地探索单元教学的实践方法，从而促进对数学更深层次的理解和领悟.

数学史融入高中数学课堂的意义

1. 体现知识和谐

数学知识螺旋上升而又不断发展，借鉴历史上的数学教学，帮助学生理解知识，建立知识间的整体联系，搭建知识网络框图.

2. 获取探究乐趣

设计与数学史相关的实验或探究活动，交流困惑之处，改善对数学学习的焦虑. 研究新问题，深入理解数学原理，积累活动经验，获得成功体验.

3. 感受方法精妙

通过学习接触应用相关科学研究方法，体会数学思想，比较古今方法之异同，重组整合，提升经验，拓宽认知，促进思维再生成.

4. 体验能力晋升

培养学生数学学科核心素养，提高理解、合作、创新、表达和思维能力，培育远见卓识.

5. 展示文化融合

数学与多个学科领域交叉，与现实生活紧密相关. 在教学过程中注入数学活动的文化含义，拓宽学生的视野，为学生跨学科学习提供资源与机遇.

6. 彰显德育效应

从数学史的相关材料中学习榜样的力量，思考数学研究中的道德责任和科学精神，拥有积极进取、探索真知的勇气和毅力，拥有良好的操守和品行，形成正确的三观和价值取向，展现更高远的目标.

数学史融入高中数学课堂的方法

在高中数学课堂中，有多种将数学史穿插到数学教学活动的方法，如：选用数学史作为背景引入新概念；介绍数学家的历史故事；对历史古迹进行探访；介绍历史上的数学悖论；探索数学家的生平和贡献；基于历史设计教学大纲；重构历史创设情境；分析历史上的数学问题和解决方法；介绍历史上的数学实验；利用数学史设计课堂例题与习题；利用数学史建构知识体系；介绍史料中的数学思想方法；设计与数学史相关的小组活动；研究与数学史相关的项目；学习研究数学文献……选择这些方法，将数学与历史结合起来，激发思想共鸣，促进数学活动的深入发展，使数学课堂不仅传授知识，还能培养素养，启迪智慧，润泽心灵.

数学史融入高中数学单元教学的实践案例

1. 引入数学家的背景和故事

案例1 人教A版（2019）普通高中数学教科书必修第二册第七章“复数”的教学.

单元起始课是单元教学的开端，它概括了整个单元的核心思想，明确了知识结构、逻辑关系和学习路径，对单元教学的实施至关重要. 在单元起始课中介绍数学家的历史故事，可促进数学概念的引入. “7.1.1 数系的扩充与复数的概念”是本章第一节课.

在课堂引入环节，设置情境如下：

情境1 数学家卡丹在其著作《重要的艺术》中发问：把10分成两部分，使其相乘等于40.这需要解方程x（10-x）=40. 他求得的根是5+i和5-i，然后说“不管会受到多大的良心责备，仍然会把5+i和5-i相乘得到25-（-15）=40”.

情境2 卡丹发表三次方程x3+px+q=0的一个根的表达式为x=+. 求方程x3=15x+4的根，用一元三次方程的求根公式可得x=-2±或x=+；用因式分解法可得x=4或x=-2±. 思考结果为何不同. 用GeoGebra软件画出函数y=x3-15x-4的图象，发现其与x轴有三个交点，从而确定根的个数.

设计说明 课堂开始时，通过讲述数学家的故事来激发学生的兴趣，帮助他们迅速融入课堂氛围，并通过古今对比，体验数学家的思维历程.

在辨析、理解、深化概念的环节中，介绍复数的发展史：

古希腊数学家丢番图求解一元二次方程；

628年左右，印度数学家婆罗摩笈多指出负数没有平方根；

1545年，意大利数学家卡丹求解一元三次方程；

1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中把负数的平方根称作虚数；

1777年，欧拉在《微分公式》一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创用符号i作为虚数的单位.

1797年，韦塞尔提出复数的几何表示；

1831年，高斯对复数的几何意义进行描述，将复数解释为复平面上的一个点，并提及复数的几何加法与乘法法则.

1837年，哈密顿定义复数的四则运算.

设计说明 讲解复数的历史，使学生体会数学家的探索精神，激发学生的学习热情，提高教学效果.

在作业布置、分层巩固环节，设置阅读作业如下：

阅读书籍《虚数的故事》；

回顾卡丹求解一元三次方程的历史，体验复数领域内一元三次方程根的对称美；

查阅网站获取复数资料，寻找复数应用信息（选做）.

设计说明 复数作为数学工具广泛应用于多个领域，帮助学生理解数学与日常生活的联系，强调数学知识的价值，并激发学习兴趣.

2. 介绍历史上的数学悖论

案例2 人教A版（2019）普通高中数学教科书必修第一册“4.5 函数的应用”的教学.

介绍函数的零点，以及二分法：对于在区间［a，b］上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 接下来应用函数性质研究方程的解，也为后续学习导数隐零点问题提供依据.

阅读与思考：中外历史上的方程求解. 二分法是一种常见的利用计算技术的数值解法. 二分法悖论是古希腊哲学家芝诺于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问中提出的四个著名悖论之一：以A点为起点出发前往B点，先走完总路程的二分之一，接着走完总路程的四分之一、八分之一、十六分之一……以至无穷划分下去，无法抵达B点. 《庄子·天下篇》中写道：一尺之锤，日取其半，万世不竭.

设计说明 数学历史名题具有重要的研究价值和丰富的内涵. 通过阅读了解古今中外各式各样方程的解法，探寻二分法的由来，感受二分法蕴含的取中思想、逼近思想、算法思想、极限思想，感知近似和精确的统一，并从不同角度理解问题，领悟真理的形态不唯一.

3. 借鉴数学史设计例题与习题

在高三数学一轮单元复习课中，以历史问题为基础，变换提问方式，引导学生深入思考，从而巩固和深化知识应用.

案例3 人教A版（2019）普通高中数学教科书必修第二册“8.6 空间直线、平面的垂直”的教学.

《九章算术·商功》中记载：斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.刘徽注：此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云. 中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.

例：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑. 如图2所示，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=DC=1，BC=，E为棱PC的中点，过E作EF⊥PB交PB于F，连接DE，DF，BD，BE.

（1）证明：PB⊥平面DEF；

（2）若平面PAD∩平面PBC=l，证明：AD∥l；

（3）判断四面体DBEF是否为鳖臑；

（4）求直线DF与直线BC所成角的余弦值；

（5）求直线DF与平面ABCD所成角的余弦值；

（6）求平面DEF与平面ABCD所成的二面角的大小；

（7）求阳马P-ABCD的外接球的体积；

（8）求阳马P-ABCD的内切球的半径.

思考：请以小组为单位，自主编题并解答.

设计说明 从历史原题中提取模型，为单元复习提供问题背景，设计、解决、衍生、改进问题，复习大单元专题系列知识点，整合知识，应用方法.

案例4 人教A版（2019）普通高中数学教科书必修第二册“6.4.3 余弦定理、正弦定理”的教学.

例：我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式S=，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边. 该公式和古希腊数学家海伦所列的三角形面积公式颇为统一：S=

p=（a+b+c）

.

（1）已知b=2，tanA=，求△ABC面积的最大值；

（2）用正弦定理和余弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式.

设计说明 对于第（1）问，先把tanA=转化为=，再转化为sinA-sinAcosB=cosAsinB，变形为sinA=sin（A+B）=sinC，得c=a. 考查两角和的正弦公式和正弦定理. 又S===（可从二次函数的角度求出其最值），得到：当a=2时，△ABC面积的最大值为.这是用“三斜求积”公式求解的代数解法. 也可以通过数形结合，利用边b为定值的特殊性，构建平面直角坐标系，设B为动点，尝试求它的轨迹方程，三角形的最值即为高的最值，此为几何解法.

对于第（2）问，可巧借余弦定理和正弦定理验证“三斜求积”公式.

“三斜求积”公式：S=acsinB=ac·=ac·=.

海伦公式：S====.

从三角形面积公式推导出“三斜求积”公式和海伦公式，体现不同形式的公式本质相同.

4. 进行数学史相关的研究项目

案例5 人教A版（2019）普通高中数学教科书必修第一册“5.4 三角函数的图象与性质”的教学.

任务1 文献阅读与数学写作.

我国唐代天文学家一行（683—727）是接触应用正切函数的第一人，《大衍历》便是出自他之手，在“步晷漏术”中制作了一个太阳天顶距和0°～80°每度影长的对应数表.

将数学史融入数学教学，查找相关资料，认真分析素材，谈一谈自己的看法与体会，形成读书报告.

作业成果：随笔.

成果评价：根据现有任务要素，确定评价指标，为学生研究提供理论支持.

设计意图 将数学文化融入高中数学教学，以核心概念为指导，培养学生数学素养，关注数学概念的历史发展，理解数学知识的形成过程，拓宽学生的视野，引导他们运用数学语言解释世界.

任务2 实际应用.

数学家傅立叶曾说过，正弦函数的和，能够以周期函数的方式体现. 请同学们欣赏一首钢琴曲，感受音色可以表示成简单的正弦函数之和. 正弦函数与余弦函数的叠加，可解释声波的共振现象.

自从降生到这个世界，个体的情绪、体力和智力便开始进入发展状态，且呈现出周期趋势. 心理学家研究发现，人的生物节律由情绪节律、体力节律和智力节律组成. 同时，对应相应的节律周期. 不仅如此，不管哪个节律周期，又细分为三个阶段，分别是临界日、高潮期和低潮期. 其中，临界日即三个节律周期的半数. 情绪节律的临界日是14天，体力节律的临界日是11.5天，智力节律的临界日是16.5天. 以临界日为界，高潮期为前半期，低潮期为后半期. 以生日前一天为起点，按照实际的出生日期，尝试把情绪、体力和智力曲线分别绘制出来. 同时，确认哪一节点应控制情绪，哪一节点应加强锻炼.

以“生活中的三角函数”为课题，形成学习小组，分工合作，查找资料，制作PPT或视频，准备交流发言.

设计意图 三角函数实际应用十分广泛，不仅源于并服务于实际生活，更存在于人的生理和心理领域. 人生境遇各有不同，有波峰有波谷，让学生感悟到学习要劳逸结合，不以物喜，不以己悲，要以良好的心态面对生活与学习，改进行为习惯、生活能力，提升意志品质、思想品质.

结语

高中数学教学应注重教材的整体性，采用单元教学法，培养结构化思维. 同时，教师应利用数学史中的丰富内容，包括理论、逻辑、规律、方法和智慧，激发学生的自主学习兴趣，促进知识的深入理解和能力的提升. 在历史和数学的发展中，回顾过去，审视现在，展望未来.