夯实基础 提升能力 发展素养

［摘 要］ 新课标背景下的数学教学，除了要考察学生对知识基础与技能的掌握程度外，还要关注学生各项能力的发展与核心素养的培育情况. 研究者以“函数的单调性”教学为例，从“情境创设，启迪思维”“多元表征，夯实基础”“抽象概念，辨析理解”“应用例题，提升能力”“总结归纳，发展素养”五个环节展开实践，并谈一些思考.

［关键词］ 基础；能力；素养；教学

函数贯穿整个中学数学学习生涯，函数的单调性历来是教学重点与难点. 随着新课改的推进，这部分内容的教学引发许多教育工作者的深入探索与研究. 若想让学生真正掌握“函数的单调性”，并能将这部分知识灵活应用到解题中，最根本的原则是立足知识基础，借助教学推动学力发展，让学生在知识探索与研究中养成良好的逻辑推理、直观想象、数学抽象等能力.

教学过程简录

1. 情境创设，启迪思维

师：众所周知，函数属于一种模型，具有描述现实世界的作用，人们常通过函数变化规律来分析现实世界存在的一些现象. 本节课，我们将探索函数的“变”与“不变”的性质.

师：如何探索一般函数的性质呢？

生1：以具体函数为着力点，从特殊到一般获得相应函数的性质.

师：可否举例说明？

生2：之前应用函数y=2x+1，y=，y=x2等分析过一次函数、反比例函数和二次函数.

师：很好，现在请大家快速在草稿纸上作出以上三个函数的图象，思考这几个图象可以表达函数的哪些性质.

如图1所示，学生自主作图，并以小组合作的方式交流各个函数所对应的性质.

生3：图1②描述的是反比例函数y=的图象，该图象关于原点对称；图1③描述的是函数y=x2的图象，该图象关于y轴对称. 这两个图象均有对称性.

师：还有其他发现吗？

生4：函数y=2x+1，y=x2的定义域均为R，图象具有连续性特征，但函数y=的图象被分割成了完全独立的两部分，其定义域是｛x

x≠0｝.

生5：y=2x+1的图象为一条直线，从左往右呈现不断上升的趋势；y=x2的图象从左往右，先逐渐下降，再逐渐上升；函数y=的图象虽然被分割成了两部分，但从左往右都呈现下降趋势.

师：观察得很仔细. 这种上升与下降趋势，可以怎样用y与x的变化来描述呢？

生6：图1①可描述为函数值y随着x的增大而增大. 图1②可描述为y轴左右两侧，函数值y随着x的增大而减小. 图1③可描述为y轴左侧，函数值y随着x的增大而减小；y轴右侧，函数值y随着x的增大而增大.

师：总结得很完整，大家所分析的函数值y随着x的变化而变化的趋势，就是本节课的探索主题——函数的单调性. 鉴于函数y=x2的图象具备不同变化趋势，本节课就以该函数为典范进行探索.

设计意图 问题情境的应用，成功激活了学生的思维，让学生自主回顾认知范围内的三种典型函数，并通过作图、观察、分析与表达，顺利引入本节课的探索主题. 此环节以基础知识为着力点，简洁、朴实、自然，学生思维随问题驱动而提升，展现了现代数学课堂的简约和谐之美.

2. 多元表征，夯实基础

师：大家已了解用变量关系描述图象变化，并熟悉用集合语言来优化函数定义. 根据已有的认知经验，大家能否用精准的数学符号语言来表征函数的单调性呢？以函数y=x2处于y轴右侧的图象为例展开分析.

话音刚落，就有学生踊跃举手，用自然语言表征为：函数y=x2在（0，+∞）上，y值随着x的增大而增大；用图象语言表征为：函数y=x2的图象在y轴右侧从左往右呈现逐渐上升的趋势.

师：怎样用符号语言来表征呢？

学生通过合作交流达成共识：对于函数f（x）=x2，①在区间（0，+∞）内，若x<x，则f（x）<f（x）；②在区间（0，+∞）内任意取x，x，若x<x，则f（x）<f（x）；③在区间（0，+∞）内任意取x，若Δx>0，则f（x）<f（Δx+x）.

为了进一步夯实知识基础，并借助探索发展学力，继续引导如下：

师：可否将以上结论中的“任意”用“无数多个”来替代？

生7：不可以，以f（1）<f（2）为例，那么图象的其他位置就可能出现升降不一的情况（见图2）.

最终确定函数f（x）=x2在区间（0，+∞）内单调递增. 教师肯定学生的描述，并强调引用数学语言时需保持严谨和周密的态度，这是数学学科的特性. 关注到这一点，不仅能巩固学生的知识基础，还能培养学生科学严谨的学习习惯.

师：可否从数的角度求证f（x）<f（x）？

学生分别利用不等式的性质与作差法等进行分析，体现了数学“数形一致性”的特点. 基于此，教师鼓励学生自主表征函数f（x）=x2在区间（-∞，0）内单调递减，并分析函数f（x）= -x2，f（x）=x的单调性.

师：实例表明，函数y=f（x）在其定义域内可能不总是单调的，但在特定区间内可以表现出单调性. 以图3为例，请大家用符号语言描述该函数的单调性.

设计意图 通过多元表征函数特点，培养学生从多角度观察和分析函数图象的能力，以及严谨的数学学习习惯. 随着符号语言的规范，学生对函数的单调性有了深刻认识，尤其是上述问题的提出，进一步夯实了学生的知识基础，且促使学生尝试用迁移法去分析数学问题，有效推动了学力的发展.

3. 抽象概念，辨析理解

用PPT展示函数单调性的概念，以图文并茂的方式呈现何为单调增区间，并要求学生以类比法说明何为单调减区间.

师：假设区间D内一些自变量构成的集合为A，若∀x，x∈A，且x<x，f（x）<f（x），可确定函数y=f（x）在D区间内单调递增吗？

学生一致表示不能确定，以图1③的图象为例，取集合A=｛x

x=-1或x≥2｝，与条件相符，但f（x）=x2在区间［-1，+∞）内并不单调递增.

师：非常好，此为典型的反例法，其常用且效果好. 通过以上探索，现在大家能否自主描述函数y=的单调性以及单调区间呢？

设计意图 概念的呈现进一步夯实了学生的“四基”，几个问题的牵引，进一步帮助学生客观、辩证地认识了函数单调性的本质. 反例法的应用，以及y=的单调性与单调区间的探索，加强学生知识基础的同时促进了学力的发展. 学生在探索过程中培养了辩证思维和研究能力.

4. 应用例题，提升能力

例1：结合函数单调性的定义，分析函数f（x）=kx+b（k≠0）具有怎样的单调性.

例2：波义耳定律P=（k是正常数）是物理学科中的一个经典定律，该定律表示一定量的气体，若体积V值变小，那么其压强P就会变大，请结合函数的单调性证明该定律.

例3：求证函数y=+x在（1，+∞）内为增函数.

师：通过以上三个例题的探索，大家可否从中提炼出用定义求证函数单调性的基本流程？

学生合作交流，提出：第一步，设元，即任意取x，x∈D，令x<x；第二步，作差，计算f（x）-f（x）并化简；第三步，确定结论的正负，以判定函数在给定区间内的单调性.

设计意图 在上个环节中，学生经历了函数单调性的精准化抽象过程，此环节中的三个例题意在引发学生进一步感知数形结合的重要性. 例2的应用，促使学生感知函数的单调性并非局限于数学学科，在物理学科中也有所应用，由此进行跨学科关联，起到发散思维、提升学力的作用. 上述三个例题由浅入深，从学生认知范围出发，逐步拓展到学生认知外的函数，从真正意义上拔高了学生的思维，为学生发展素养奠定了基础.

5. 总结归纳，发展素养

师：反思本节课的学习，说说经历了哪些探究过程.

学生通过组内合作，总结为：①经历了以初等函数图象为起点，过渡到用自然语言与符号语言描述其单调性的过程；②经历了研究方法从定性到定量的过程；③探索函数的性质，遵循“图象观察—性质猜想—推理—获得结论”的过程.

师：本节课的学习要点有哪些？

引导学生分别从知识基础、思想方法、学力发展与素养提升四个方面进行梳理与提炼.

设计意图 课堂总结具有“点睛”之功效，引导学生自主提炼研究过程，整理知识、方法、能力等要点，进一步帮助学生夯实知识基础，构建完整的知识体系，同时促进学力发展，使核心素养扎地生根.

教学思考

1. 夯实知识基础是发展学力的根本

夯实知识基础是学科教学的首要任务. 想让学生在数学课堂中获得发展，教师充分了解学情尤为必要. 基于学生已有认知搭建新的知识框架，实现新旧知识的有机融合，可完善学生的认知结构. 学生在接触函数单调性前已经了解了一次函数、二次函数与反比例函数，将学生的认知作为教学起点，可让每个学生都能顺利迈入函数单调性的探索大门，并在直观感知、多元表征等基础上实现思维的进阶，顺利抽象出概念［1］. 从教学反馈情况来看，这种设计是成功且有效的，学生在问题的驱动下，不仅夯实了知识基础，还在知识探索中发展了学力，促进了个人探究能力的提升.

2. 发展学力是推动素养发展的关键

学生遇到问题时的直观反映与应对措施决定着解题成败，此为学力的表现. 在数学教学过程中，学力的发展离不开知识基础的支撑，更离不开数学思想方法、运算、数据分析、逻辑推理等能力的助力. 学生只有拥有坚实的知识基础与良好的判断力，才能在短时间内建构并内化新知. 实践表明，学力是推动核心素养发展的关键. 若学生拥有良好的数据分析能力，就能促进数学运算、逻辑推理以及数据分析素养的发展；若学生拥有丰富的数学思想，则遇到问题时就能自然而然地“化未知为已知”，有效提升数学建模、直观想象等素养.

3. 核心素养是终身持续发展的保障

新课标引领下的数学教学将发展学生学科核心素养作为重要目标. 事实上，学科核心素养是促进学生个体终身可持续发展的基础. 如果一个学生在数学学科上具备了扎实的核心素养，那么他必然掌握了数学抽象、知识建构、数学运算和逻辑推理等多方面的能力. 这些能力的近期表现为理解并建构新知，远期表现为在摒弃具体知识的情况下用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考现实世界、用数学语言表达现实世界，此为创新根本.

总之，函数单调性的研究体现了数与形的结合，通过对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征［2］. 教师在精研教材的基础上设计教学活动，可促使学生深刻理解知识内涵与思想方法，提升核心素养.

参考文献：

［1］ 马晴燕.教师多元角色担当 促进学生素养发展：“函数的单调性”课例与思考［J］. 中学数学月刊，2021（4）：28-31.

［2］ 尉根强. 立足概念教学 培育核心素养：以“函数的单调性”教学设计为例［J］. 福建中学数学，2019（1）：20-24.