基于单元视角下的正弦函数、余弦函数的图象教学

［摘 要］ 人教A版（2019）教材在三角函数的编写上充分发挥单位圆的工具性作用，以单位圆为载体，从点坐标视角给出三角函数的概念，这便于使用GeoGebra软件直观展示正弦函数在一个周期内的精准图象的制作过程，在明确图象走势的基础上，学生能用“五点法”画出草图解决一些简单问题.

［关键词］ 单元视角；可视化；核心素养

单元教学是新课改的亮点，课时教学设计应该在单元教学的基础上进行，以充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方式的普适性和思维的系统性，切实防止碎片化教学，能更好地强化学生的“四基”，发展学生的“四能”，使数学学科核心素养真正落实于数学课堂.

单元内容及其解析

三角函数单元内容包括任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式、三角函数的图象和性质.

本单元从研究生活实际中的周期现象出发，通过数学抽象为质点做匀速圆周运动. 如图1所示，先将角的范围推广到任意角，然后介绍弧度制，引入单位圆简化计算，实现角度制与弧度制的互化，这解决了从点坐标视角引入三角函数概念的定义域问题. 接着介绍同角三角函数基本关系和诱导公式，目的是将余弦函数的图象转化为正弦函数的图象，先研究正弦函数一个周期内的图象和性质，再扩展到整个定义域内，并通过类比研究正切函数的图象和性质.

教学目标及其解析

1. 教学目标

（1）了解任意角的概念，能进行角度制与弧度制的互化，体会引入弧度制的必要性.

（2）借助单位圆理解三角函数的概念，能作出三角函数的图象，借助图象了解三角函数的周期性和奇偶性. 借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式.

（3）理解同角三角函数基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tanx.

（4）借助图象理解正弦函数在［0，2π］上、余弦函数在［-π，π］上、正切函数在

-，

上的性质.

2. 目标解析

通过任意角和弧度制的学习，为理解单位圆上点P的坐标与旋转角α之间的对应关系，以及给出三角函数的概念做铺垫，提升学生的数学抽象素养，同时为作正弦函数的图象奠定基础.

单位圆的引入，不仅可以简化计算，还可以构造直角三角形. 通过图形直观展示，助学生发现同角三角函数基本关系式，提升学生的直观想象素养，同时为正切函数的图象和性质的教学奠定基础. 借助单位圆的对称性可得诱导公式，提升学生的数学运算素养，同时可将余弦函数的图象转化为正弦函数的图象，并将正弦函数的图象聚焦在［0，2π］内进行研究，提高学生分析问题和解决问题的能力.

教学策略分析

人教A版（2019）教材（下文简称新教材）与旧教材相比有较大变化，主要体现在新教材以单位圆为载体，从点坐标视角给出三角函数的概念. 教学时应以质点作匀速圆周运动为背景，提出研究周期性现象的变化规律的必要性，从而势必将角的范围推广到任意角. 为准确刻画周期性现象的变化规律，需要画出质点运动的图象，前提是将角度转化为实数，从而认识到引入弧度制的必要性. 为简化计算，巧妙地引入单位圆，从而利用质点在单位圆上的运动引出三角函数的概念，由质点坐标间的关系自然过渡到同角三角函数基本关系，由质点在不同位置的对称关系自然过渡到诱导公式，从而便于学生理解在［0，2π］内研究正弦函数图象的重要性. 可以借助信息技术，如GeoGebra软件精准、直观地作出正弦函数的图象，通过图象研究其性质. 通过优化正弦函数的图象和性质的研究路径，启发学生规划正切函数的图象和性质的研究.

正弦函数、余弦函数的图象的教学设计

1. 课时目标

（1）理解正弦曲线和余弦曲线之间的关系，用“五点法”画出给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.

（2）掌握正弦函数图象与余弦函数图象之间的关系，以及图象变换，利用函数图象解决简单问题.

2. 教学重点和难点

教学重点：正弦函数与余弦函数的图象.

教学难点：作正弦函数的图象.

3. 教学设计

（1）创设情境，引出课题

问题1 如图2所示，点P在单位圆上自点A（1，0）逆时针旋转x弧度，你能写出此时点P的坐标吗？

由点P的坐标引出正弦函数y=sinx和余弦函数y=sinx，从而板书课题.

问题2 什么是正弦函数和余弦函数？它们的定义域是什么？它们是怎么得来的？

它们的定义域均为R，但是部分学生不理解，此时可以帮助学生回顾任意角的推广过程，在弧度制下建立角的集合与实数集R之间的一一对应关系，统一三角函数的自变量和函数值的单位. 为帮助学生用定义法作正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象做准备.

设计意图 创设问题情境，激发学生回顾旧知，引出三角函数的定义，再次认识其定义域，为用定义法研究三角函数的图象奠定基础.

（2）提出问题，激发思维

问题3 教材给出正弦函数和余弦函数的定义后，为什么不像以往研究幂函数、指数函数和对数函数一样立即研究它们的图象和性质呢？

让学生明白此时知识储备不足，能力还不够强大，暗示同角三角函数基本关系和诱导公式将在研究正弦函数和余弦函数的图象中发挥重要作用.

问题4 诱导公式sin（α+2kπ）=sinα对我们研究正弦函数的图象有何启示？

对于正弦函数y=sinx，x∈R的图象，由周期现象可知，只需研究y=sinx在一个周期内的图象即可，初步体现三角函数的周期性的价值.

问题5 诱导公式sin

α+

=cosα对我们研究余弦函数的图象有何启示？

想到y=cosx=sin

x+

，说明余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到. 因此，可将正弦函数和余弦函数的图象问题聚焦于研究y=sinx在一个周期内的图象问题.

设计意图 利用问题串帮助学生回顾单元知识结构，理清本节重点内容是研究正弦函数在一个周期内的图象.

（3）借助技术，聚焦定义

问题6 如何精准画出正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象？

问题2让学生清楚了在［0，2π］内∠AOP的弧度数x与的长度值相等，此时可利用GeoGebra软件操作如下：

在单位圆O上取点P→选中扇形AOP→度量的长度为x→绘制点（x，0）→右击开启跟踪→让点P与点A重合→在圆O上按逆时针方向旋转点P，如图3所示. 学生发现点N（x，0）的横坐标就是的长度. 过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接线段MP→过点P作x轴的平行线，与过点N的x轴的垂线相交于点T（x，sinx）→右击开启跟踪→在圆O上自原点开始按逆时针方向旋转点P一周→绘制出正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象，如图4所示.

问题7 正弦函数y=sinx，x∈［0， 2π］的图象与直线y=x有几个交点？

当x∈

0，

时，引导学生观察图5，发现sinx=

MP

<

，即点T的横坐标大于它的纵坐标，点T在直线y=x的下方，所以正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象与直线y=x有且仅有1个交点为原点.

设计意图 利用GeoGebra软件作图，展示正弦函数的图象与直线y=x有且只有一个交点，为介绍三角不等式sinx<x<tanx，x∈

0，

，以及后面利用图象关系解决简单问题做准备.

问题8 如何画出正弦函数y=sinx，x∈R的图象？

由sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z，且k≠0）可知，函数y=sinx，x∈［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z，且k≠0）的图象与函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象完全一致，因此将函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象不断向左、向右平移（每次平移2π个单位），从而得到y=sinx，x∈R的图象（同时利用GeoGebra软件展示图6所示的图象）. 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

问题9 如何画出余弦函数y=cosx，x∈R的图象？

由y=cosx=sin

x+

可知，只需将y=sinx，x∈R的图象向左平移个单位即可得余弦函数y=cosx，x∈R的图象（同时在GeoGebra软件上向左（φ>0）或向右（φ<0）拖动

φ

个单位展示动态图象，如图6所示）. 余弦函数的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

（4）动手作图，感受变化

问题10 在正弦函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上，哪些点比较关键？

观察图象走势，发现两类点比较关键：一是与x轴的交点（0，0），（π，0），（2π，0）；二是图象的最高点

，1

和最低点

，-1

. 向学生介绍“五点法”作图.

问题11 在同一直角坐标系内画出下列函数的简图：①y=sinx，x∈［0， 2π］；②y=-2+sinx，x∈［0，2π］.

练习 在同一直角坐标系内画出下列函数的简图：①y=cosx，x∈

-，

；②y=-cosx，x∈

-，

.

（5）课堂小结

让学生自己总结所学内容和其中蕴含的数学思想方法.

设计意图 旨在强化学生用“五点法”作图，让学生通过作图，从对应点间的关系去感受图象的平移变换，为后面研究正弦函数和余弦函数的性质服务，也为研究y=Asin（ωx+φ）的图象和性质做准备.

教学反思

1. 理清知识结构，做好单元教学

教师教学站位要高，要从学科知识体系出发，理清单元知识结构和编写意图，做好单元起始课和章末单元复习课教学准备. 在三角函数单元中，引入任意角和弧度制可解决三角函数的定义域问题，引入同角三角函数的基本关系，可帮助学生理解同角正弦值、余弦值和正切值之间的内在联系，为研究正切函数的图象和性质服务. 诱导公式的引入，将正弦、余弦函数的图象问题聚焦在正弦函数的一个周期内，突出研究重心，达到“窥一斑而知全貌”的效果，使学生明确周期类问题的解决通法，为研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质做准备.

2. 立足学生认知，做好问题设计

问题设计要立足学生认知，理解学生的认知特点、学习方式和知识水平，这是设计问题的出发点和依据.教师只有理解了学生，才能根据学生的最近发展区做好教学设计，才能厚积薄发，做到有的放矢.通过对函数的概念和性质，以及幂函数、指数函数和对数函数的学习，学生掌握了研究新知的套路；通过对三角函数的概念的学习，学生认识到它是一种特殊的函数. 利用问题串让学生回忆三角函数的定义，清楚定义域的来源，明白弧度制对实现由“角”到“数”的转化的价值所在，理解教材介绍同角三角函数基本关系和诱导公式的教学目的，认识到单位圆上点的纵坐标与其对应的角的正弦值始终相等，能借助单位圆画出正弦函数的图象.整个教学过程都在问题的引导下，把思考的机会留给学生，彰显学生的能力.

3. 借助信息技术，做好直观展示

教师要提升信息技术的使用能力.新课标指出：教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.在人教A版（2019）必修第一册教材的第87页专门介绍了GeoGebra软件. 教师要掌握GeoGebra，Excel和几何画板等常用数学软件的使用方法，提高信息技术与数学教学整合水平，助力学生思维. 例如通过对单位圆上点坐标的分析，利用GeoGebra软件，充分发挥单位圆的功能，精准画出正弦函数在区间［0，2π］上的图象，直观展示三角函数的图象走势，教学生用“五点法”画简图. 顺势剖析正弦函数的图象与直线y=x之间的位置关系，为介绍三角不等式和利用三角函数图象关系解决简单问题奠定基础.