基于概念生长的单元整体教学设计

［摘 要］ 当前正弦、余弦定理的教学大多注重公式的记忆和应用，疏忽了发现和探索，以及知识联系和框架的构建. 文章基于概念生长设计单元整体教学模式，重构解三角形章节内容，帮助学生把握整体框架，自主探求定理.

［关键词］ 单元整体教学；概念生长；余弦定理；正弦定理

引言

单元整体教学是系统论下的教学策略，是指在实施教学时，选取单元知识作为教学主体，引导学生整体获取知识，提高学习效率. 数学单元教学设计是在整体思维指导下，从提升学生数学学科核心素养出发，通过教学团队合作，对相关教材内容进行统筹重组和优化，并将优化后的教学内容视为一个相对独立的教学单元，以突出数学内容的主线以及知识间的关联性，在此基础上对教学单元整体进行循环改进的动态教学设计［1］. 以往的中学数学课堂多以课时的形式组织教学，导致原本具有逻辑联系的数学知识被分解成一个个的知识点，长期向学生灌输碎片化的知识内容却不讲清楚其内在联系，不利于学生把握知识本质，无法构建清晰的知识结构框架. 因此，新一轮的课程改革注重单元整体教学模式，《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》的颁布，让单元整体教学成为研究热点，基于核心素养的单元整体教学成为一线教师及职前教师的创造和研究重心［2］.

概念生长是数学单元整体教学主题之一，即由旧概念生长新概念或以命题为主线贯穿单元来组织教学.将原有的核心概念进行外延扩大或内涵缩小，产生一些与原有的核心概念密切相关的新概念就是所谓的概念生长过程. 因此，在探索余弦定理和正弦定理时，借助从解直角三角形到解三角形的概念生长过程，构建解三角形的单元结构，引导学生探索和证明余弦定理和正弦定理，让学生体会数学知识的关联性和整体性，发展学生的整体性思维［3］.

总体教学分析

1. 知识结构与内容分析

从三角形的知识结构来看，余弦定理和正弦定理描述了三角形的边角关系，对解三角形具有重要价值. 初中学习解直角三角形为高中学习解三角形奠定了基础.

从向量的知识结构来看，余弦定理和正弦定理的证明属于向量知识应用范畴：先将三角形三边关系转化为向量等式，然后将向量等式数量化. 这一过程将几何问题转化为代数问题，体现了向量在数学领域的实用价值. 等式不断转化的过程就是余弦定理和正弦定理的证明过程.

从教材课时编排来看，人教A版教材将余弦定理和正弦定理并入“向量的应用”章节，分两课时讲授. 苏教版教材以解三角形为主题单独成章，将余弦定理放在第一课时讲授. 两版教材的编制都体现了向量法在余弦定理和正弦定理证明中的重要性.

通过上述分析，现以概念生长的单元教学为导向，将解三角形这一章节分配课时如下：第一课时，利用单元知识框架探索得出余弦定理和正弦定理，掌握其证明方法，并解决简单的解三角形问题；第二课时，通过观察和分析，明晰余弦定理和正弦定理可以解决哪几类解三角形问题；第三课时，建立数学模型，应用余弦定理和正弦定理解决实际问题. 本文将聚焦第一课时的内容进行教学设计.

2. 教学目标及重点和难点

根据课程标准要求和上述教学分析，确定教学目标如下：①经历从特殊到一般的推理过程，构建从解直角三角形到解三角形的结构框架，了解探索三角形边角关系的必要性.②探索三角形的边角关系，发散思维寻找更多的证明方法，并通过比较领悟向量法的价值，在此过程中发展直观想象和逻辑推理素养. ③掌握余弦定理和正弦定理，能用两定理解决简单的实际问题. ④掌握从特殊到一般的数学思维逻辑，把握解直角三角形和解三角形的密切联系，理解数学知识的关联性和整体性对探索新知的意义.

教学重点：①构建从解直角三角形到解三角形的结构框架，理解从特殊到一般的知识生长逻辑. ②掌握余弦定理、正弦定理的内容和证明方法，用两定理解决简单的实际问题.

教学难点：①探索三角形边角关系，采用“化斜为直”法和向量法证明两定理. ②了解余弦定理、正弦定理的多种证明方法，体会向量法的价值和简捷性.

教学活动设计

1. 唤醒旧知

课前小组活动 以小组为单位，画出解直角三角形的知识框架.

课堂初始，组织各小组汇报总结.

设计意图 利用课前活动，引导学生回顾解直角三角形的知识结构.课堂开头让学生汇报总结，教师进行评价和引导，帮助学生完善解直角三角形的知识框架，如图1所示.该活动为接下来的解三角形的单元知识框架的构建提供了参照.

2. 激活新知

教学活动 类比构建解一般三角形的知识框架.

情境 扬州是一座河网密布的运河城市，为缓解交通压力，在已有水下隧道AC的基础上，计划在AB处建造一座桥梁，则需要测量河流两岸之间的距离. 可采用构建三角形的方法测量. 如图2所示，已知隧道AC的长度，运用专业工具测得B，C之间的距离和角C的大小，则可以计算得到A，B之间的距离.

问题1 根据上述情境表明，在实际生活中，大多需要根据一般三角形的已知边和角求解未知边和角，所以你能类比解直角三角形的知识框架，构建解一般三角形的知识框架吗？

设计意图 该问题显示，学习解三角形既符合数学学习逻辑，又满足实际应用需求，具有双重必要性. 学生借助对三角形知识系统的认识，明白从解直角三角形到解三角形是概念扩展的过程，理解“一般化”的解三角形可以解决更多实际问题.基于二者之间的联系，学生类比解直角三角形的知识框架，得到解三角形的知识框架，包括从本质、条件到应用的一般套路和需要具体研究的内容［4］.

问题2 观察框架，你能填补解一般三角形知识框架哪些内容？哪些要继续探究？

设计意图 该问题是让学生对照解直角三角形的知识框架，推测解三角形的本质，填补三角形边之间的关系和角之间的关系. 通过图3左右两侧知识内容的比较，学生明确需要进一步探究三角形边、角之间的关系，进而启动本节课的探究.

3. 探究新知

教学活动1 探索并证明余弦定理.

问题3 如图2所示，在三角形ABC中，如果已知边AC，BC的长度和角C的大小，如何求AB的长度？（为解决此问题，教师利用3个追问逐步引导学生思考.）

追问1：该三角形是否唯一？

追问2：既然三角形是唯一的，那么边AB也是唯一的，依据现有的已知条件，有哪些方法能够求得AB的长度？每一种方法的思路如何？

追问3：请奇数组（序号为奇数的小组）采用向量法，偶数组（序号为偶数的小组）采用“化斜为直”法求解，并观察结论，能发现三角形各元素间具有怎样的关系吗？

设计意图 该问题是探索余弦定理的重要模型，三个追问引导学生逐步解决问题.追问1：学生明确在两边及其夹角确定的条件下，三角形是唯一的，可以求解其他未知元素. 追问2：让学生在明确目标后探索方法，教师根据学生的认知水平进行不同程度的引导.学生若无求解思路，教师引导学生分析已知条件并思考：“在已学知识中，哪些能将长度与角度联系在一起？”学生能联想到直角三角形中的边角关系和向量.由此，启发学生运用转化与化归思想构建直角三角形，“化斜为直”的求解思路易于形成，但向量法的产生则需要做进一步引导. 教师引导学生从向量的视角理解已知条件和求解目标，构建三角形三边关系的向量等式，然后提问：“为求得目标，你要如何‘加工’上述向量等式？”为实现向量向数量转化，学生联想到向量数量积运算，从而疏通向量法的求解思路. 追问3：让学生分成两个小组分别用两种方法（其他方法留作课后作业）解决问题，得出余弦定理. 问题求解完毕后比较两种方法，让学生体会向量法用于证明余弦定理的简捷性，激起学生对向量法的重视.

问题4 请同学们观察，如果图2中的角C是直角，那么由余弦定理可得到什么结论？你有何发现？

设计意图 该问题引导学生发现勾股定理与余弦定理是特殊与一般的关系，并启发正弦定理的探究思路.

教学活动2 类比方法，探索并证明正弦定理.

问题5 从问题4中发现，直角三角形的边角关系可能隐藏着更一般的结论. 请同学们写出直角三角形中用正弦表示的边角关系. 同学们能从中发现新关系吗？

设计意图 经过问题4的铺垫，学生认识到从知识内在结构中生长新概念的过程. 在教师的引导下，学生从直角三角形的边角关系中发现三个角的正弦之间存在某种关系，并通过转化猜想到正弦定理.

问题6 这种新关系在锐角、钝角三角形中也成立吗？你能类比余弦定理的证明，探索正弦定理的证明吗？请先分析思路，然后再证明.

设计意图 学生类比余弦定理的证明，自然得出“化斜为直”法和向量法. 教师同样将学生分成奇数组和偶数组，分别采用两种方法，合作完成正弦定理的证明，并通过互动交流，使所有学生都能在课堂上经历两种方法的证明过程（其他证明方法留在课后作自主练习和拓展）.

教学活动3 归纳总结余弦定理和正弦定理.

教师板书余弦定理和正弦定理，介绍其文字表述及公式变形.借助单元知识框架，帮助学生明晰宏观角度的直角三角形到一般三角形和微观角度的边角关系都存在从特殊到一般的内在联系.

4. 总结课堂，启发思考

问题7 本节课学习经历了哪些过程？回顾这些过程，我们是怎样完善解三角形知识框架的？还要做什么以进一步完善？

设计意图 反思本节课的学习过程，让学生把握解三角形的单元知识框架，明晰解直角三角形与解三角形的联系.通过分析框架的完整性，明确还需要探究余弦定理和正弦定理可以解决哪几类解三角形问题，以及两定理在实际问题中的应用.

5. 课后活动

练习题：工程队要在河道上建造一座桥梁，如图2所示，需要求得河道两岸之间的距离AB.

（1）如果测得AC=80 m，BC=60 m，∠C=60°，求AB（精确到1 m）.

（2）如果测得BC=75 m，∠B=60°，∠C=45°，求AB（精确到1 m）.

思考题：思考并尝试整理余弦定理和正弦定理可以解决哪几类解三角形问题.

设计意图 本节课引导学生探索两个定理及其证明过程，课程容量较大，因此将练习题设置在课后活动中，其内容与课上的情境相呼应，形成解决问题的闭环. 经过本节课的学习，学生具有一定的推理和归纳能力，思考题的设计在学生能力范围内，同时承接第二课时的内容.

反思总结

上述设计对余弦定理和正弦定理证明过程的启发和引导没有做详细说明，在教学实施中，教师需要根据学生的实际情况进行点拨和启发，尤其是向量法的应用，需要先引导学生形成论证思路，然后再放手让学生自主证明. 这里主要是呈现余弦定理和正弦定理的整体式设计结构，体现两个定理的内容和证明方法，以及教学的内在结构性，构建自然的生长机理.

1. 深析知识关联，概念自然生长

数学概念间的关系密切，但教材中的数学概念大多是碎片化的.因此，教师在设计课堂活动时要深入分析知识间的关系，从整体上把握知识脉络，实行单元整体教学活动. 本教学设计借助概念生长逻辑构建单元知识框架，从特殊到一般，引导学生自主构建新旧概念的关系，激发学生的探索欲，在整体把握知识结构的同时体会到学习余弦定理和正弦定理的必要性.

2. 践行生本课堂，新知自主探究

学生是课堂主体，教师要鼓励学生在最近发展区内自主探索新知识.本教学设计课前回忆旧知，建立解直角三角形的知识框架；课上学生自主类比，构建解三角形的知识框架，确定探究目标，在教师的引导下自主探索证明方法，小组通过合作，得出余弦定理和正弦定理；课后让学生自主完善单元知识结构框架，并将思维延伸到下一课时的学习内容. 整堂课的教学活动都是学生自由、主动的探索过程，有利于学生深度理解知识结构，把握知识本质.

3. 激发思维活力，素养自行发展

数学课堂需要给予学生思维展示的机会，也要促进学生思维能力的提升，从而落实核心素养. 本教学设计的问题给学生提供了思考载体，能够激发学生的思维活力，学生经历概念生长的探索过程，从特殊到一般的思维过程，以及从既定目标寻找方法解决问题的过程，有助于发展数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养.

参考文献：

［1］ 吕世虎，杨婷，吴振英. 数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［J］. 当代教育与文化，2016， 8（4）：41-46.

［2］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 陈算荣，王莹. 数学教学“结构思想”的意蕴与内化［J］. 教学与管理，2023（22）：37-40.

［4］ 薛红霞. 转变数学知识观 做好单元教学设计［J］. 数学通报，2022，61（2）：12-16.