一道最值题的破解

近年的高考数学试题中经常涉及“双变元”或“双参”的相关问题，此类问题主要涉及函数与导数、不等式等模块知识，能力要求高，综合性强，难度较大，往往以压轴题的形式呈现.

而涉及双变元代数式的最值（或取值范围）问题，是其中比较常见的一类考查方式，借助双变元代数式的结构特征，或消参处理，或齐次化处理，或换元处理等，都是解决此类问题中比较常用的技巧方法，成为破解问题的关键.

1 问题呈现

此题题目简捷明了，以两个正数变量为背景，利用双变元之和为定值1，进而创设求解对应的分式代数式的最值问题.

解题时，关键是从双变量以及题设条件入手，合理通过消参处理、齐次化处理或换元思维，将双变元问题转化为单变量问题，进而利用相应的技巧方法来分析与解决，实现部分的突破与求解.

2 问题破解

2.1 消参思维

点评：对于双变元的代数式问题，合理的消元处理就是一个关键的步骤.而在消参变化后，其中利用基本不等式的放缩思维来解决代数式的最值问题，是解决此类问题中最为常见的一种基本技巧方法，其基本思路就是合理配凑关系式，使之吻合利用基本不等式的条件.另一种基本思路就是通过构建函数，借助函数与导数的综合法来处理与应用.

2.2 齐次化思维

根据题设条件，运用齐次化思维来恒等变形，借助比值换元，化双变元代数式为单变量问题，进而利用单变量问题的基本解题方法来分析与处理.

解法5：判别式法2.

点评：根据题设中双变元之和为定值，利用分式代数式的齐次化处理，给代数式的最值问题求解提供更加宽广的空间.齐次化处理后，依托单变量代数式的结果，可以通过整体思维转化为方程问题，利用判别式法来转化，借助不等式的求解来确定；也可以通过合理的配凑与转化，利用基本不等式来放缩，实现代数式最值的求解；而导数法也为问题的解决提供另一种思路.

2.3 换元思维

借助题设条件，结合等差数列的等差中项性质，合理进行换元处理，化双变元代数式为单变量问题，进而利用单变量问题的基本解题方法来分析与处理.

点评：根据题设中双变元之和为定值，借助等差数列的等差中项引入参数进行换元处理，进而构建对应的单变量问题，为进一步解决问题奠定条件.而对于单变量问题的最值问题，除了以上的方程的判别式法外，还可以通过基本不等式法、导数法等来分析与处理，实现问题的分析与求解.

3 教学启示

涉及“双变元”或“双参”的代数式的最值（或取值范围）问题，问题的设置形式多样，联系的知识面广，数学思维的层面可以考虑从消参、齐次化、换元、同构等方式入手，进而结合基本不等式法、方程的判别式法、函数与导数法、三角换元法等来解决，很好融合函数与方程、函数与导数、不等式、三角函数等相关的数学知识，有效进行知识的交汇、方法的融合，成为高考命题的一个基本方向与趋势.

此类问题难度往往都比较大，数学思维要求高，解决技巧方法多种多样，基于数学“四基”的有效落实，很好地考查考生的“四能”情况，给考生提供更多的机会与展示空间，有利于考生的选拔与区分，以及培养学生思维的发散性与开拓性，全面开拓学生的视野，提升数学能力与数学品质，培养学生的核心素养.