高处着眼、低处入手的高考试题

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，教师要理解与高中数学关系密切的高等数学内容，能够从更高的观点理解高中数学知识的本质[1]，这对教师的专业知识素养提出了一定的要求.随着具有高等数学背景高考题的频繁涌现，以高观点的视角来认识中学数学显得尤为重要，但仍不能忽视学生已有认知，如果跨度太大会造成学生被动参与的假象.因此本文从低起点出发对试题进行研究，吸引学生参与互动并逐步完善其认知结构，开拓思维，引导学生登上新的高度，实现低起点切入与高观点完善的统一.

1 试题呈现

分析：本题涉及对极值点的属性进行深度挖掘，不能仅停留在极值点的导数值为0这一特性上，对化归思想和分类讨论思想的要求较高.在此略去第一问.第二问参考答案是将函数极值点进行等价转化，难度略大，本文中给出的另一种求解方法更便于理解.同时，若利用泰勒展开式与极值的第三充分条件，将会暴露出问题的本质.

2 题1解法探究

2.1 导数法

2.2 拉格朗日乘数法

2.3 琴生不等式

3 题2第（2）问解法探究

3.1 由极值点联想单调性

部分学生遇到极值点问题时，会立马想到导数值为0，但对极值点附近函数单调性的变化却有所忽略.

3.2 泰勒公式与极值第三充分条件

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020：97-98.

[2]吕夏雯.拉格朗日乘数法在高中数学中的改进和应用[J].文理导航，2020（26）：13，20.

[3]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：147，154.